Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții cu noțiunile pe care le-am învățat împreună după care îți voi propune o fisă cu exerciții asemănătoare pe care să le rezolve singurel copilul tău.
"Efortul își arată roadele după ce o persoană refuză să se oprească.
Napoleon Bonaparte
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună prima lecție de Geometrie în plan: Punctul și Drapta.Punctul și dreapta sunt noțiunile cele mai simple din Geometrie fiind create de mintea umană.
Ni-l putem imagina ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful unui creion bine ascuțit.
Îl reprezentăm grafic printr-o bulină sau printr-un "x" (două liniuțe care se intersectează).
Punctele se notează cu litere mari.
Poziții relative a două puncte:
puncte identice (coincid)dacă cele două puncte sunt situate în același loc
puncte distincte (diferite) dacă cele două puncte sunt situate locuri diferite.
Dreapta:
Ne-o putem imagina ca fiind un fir de ață întins prelungit la infinit.
Dreptele se notează cu literele mici ale alfabetului sau cu două litere mari prin care am notat două puncte distincte ce aparțin dreptei.
Dreapta este o figură geometrică (o mulțime de puncte) și este nelimitată.
Pentru a reprezenta grafic o dreaptă folosim rigla.
Axioma dreptei:
Două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.
Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.
Pozițiile relative ale uni punct față de o dreaptă:
Punct exterior unei drepte: atunci când punctul nu este situat pe dreapta d
Punct interior unei drepte: atunci când punctul este situat pe dreapta d sau mai spunem că punctul aparține dreptei d.
Puncte coliniare: Trei (sau mai multe puncte) sunt coliniare dacă există o dreaptă care să conțină cele trei puncte.
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com
De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:
"Zadarnic vei vrea să-l înveţi pe cel ce nu e dornic să fie învăţat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăţa."
Comenius
Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Amplificarea Rapoartelor. (mai mult…)
Exercițiul 1: Amplificați cu rapoartelor:
a)
b)
Rezolvare:
a)
Amplificarea raportului algebric constă în înmulțirea atât a numărătorului cât si a numitorului cu expresia algebrică .
b)
Exercițiul 2: Amplificați cu următoarele rapoarte, oricare ar fi :
a)
b)
c)
Rezolvare:
a)
Amplificarea raportului algebric constă în înmulțirea atât a numărătorului cât si a numitorului cu expresia algebrică .
Desfacem parantezele atât la numărător cât și la numitor înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză tinând cont de semne:
Socotim termenii asemenea și obținem:
.
b)
Aplicăm formulele de calcul prescurtat : pentru numărător și pentru numitor și obținem:
c)
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Amplificarea Rapoartelor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:
"Victoriile adevărate nu sunt ale celor puternici, ci ale celor perseverenţi."
Napoleon Bonaparte
Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi.
Exercițiul 1: Calculați:
a)
b)
c)
d)
e)
Rezolvare:
a)
Dacă numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.
b)
Calculez primele două numere în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :
Pentru că numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :
c)
Pentru că în fața numărului 13 nu este nici un semn asta înseamnă că este semnul +.
Efectuez calculele în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :
Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :
Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :
Pentru că următoarele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :
Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :
d)
Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :
Observ că în fața lui 13 am două semne . Mai întâi reduc la un singur semn aplicând regula : . Astfel obțin:
Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :
.
Exercițiul 2: Să se efectueze:
a)
b)
Rezolvare:
a)
Mai întâi rezolvăm paranteza rotundă. Astfel obținem:
Pentru că în paranteza pătrată avem două semne succesive mai întâi stabilim semnul în paranteza pătrată. Știm că și transform paranteza pătrată în paranteză rotundă astfel obținem:
b)
Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:
Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă și acolada în pătrată. Astfel obținem:
Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:
Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă. Astfel obținem:
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Adunarea și Scăderea Numerelor Intregi pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Adunarea numerelor intregi
Succes!
PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !
„Cu un talent și o perseverență extraordinare toate lucrurile pot fi atinse.”
Thomas Foxwell Buxton
Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Transformarea fracțiilor zecimale în fracție ordinare.
Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecțiaTransformarea fractiilor periodice in fractii ordinare!
PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !(mai mult…)
Exercițiul 1: Transformați în fracții ordinare următoarele fracții zecimale:
a) ; b);
c); d) ;
e) ; f) ;
Rezolvare:
a) este o fracție zecimală finită
Pentru că avem o singură cifră după virgulă numitorul este 10. În cazul în care vom avea mai multe cifre după virgulă vom pune atâția dea 0 cate cifre avem după virgulă.
b) .
În acest caz avem două cifre după virgulă am pus doi de 0 la numitor.
c)este o fracție periodică simplă.
Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 132) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 13), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă. Astfel obținem:
Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă.
d) este o fracție periodică mixtă (deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă)
Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 25) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 2), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă și o cifră de 0 deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă. Astfel obținem:
Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă, iar dacă avem mai multe cifre între virgulă și perioadă punem atâția de 0 câte numere avem între virgulă și perioadă.
e)
f)
Exercițiul 2: Se consideră numărul .
a) Determinați a 2018-a zecimală a numărului x.
b) Calculați suma primelor 100 zecimale ale lui x.
c) Transformați numărul x în fracție ordinară.
Rezolvare:
Observăm că numărul x are după virgulă o cifră (1), iar în perioadă două cifre (39). Știm că cifra dintre virgulă și perioadă nu se repetă iar cifrele din perioada se repetă la nesfârșit.
Scris ca număr zecimal fară perioadă numărul x ar arăta așa:
Pentru a determina a 2018-a zecimală a lui x scădem din (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă).
După care împărțim 2017 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă).
Pentru că am obținut restul 1 a 2018-a zecimală a lui x este 3 (prima cifră din perioadă).
b) Pentru a calcula suma primelor 100 zecimale ale lui x scădem :
(deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă)
După care împărțim 99 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă) și obținem:
Obținem că suma celor 100 de zecimale ale lui x sunt:
=
Pentru că se repetă de 49 de ori.
Astfel putem scrie:
c)
Exercițiul 3: Determinați cifra știind că :
Rezolvare:
Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:
Aducem la același numitor prin amplificarea celei de-a doua fracții cu 10. Astfel obținem:
Desfacem în baza 10 numerele: și astfel: iar .
Obținem:
.
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare Transformarea fracților zecimale în fracții ordinare pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru fractii periodice
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți
fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.
Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un
grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te
Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:
a) și
b) și
c) și
d) și
Rezolvare:
a) și
Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 a și b sunt multipli lui 6 și , iar .
Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.
Înlocuim a și b și obținem:
Astfel obținem posibilitățile:
Cazul I : și
Cazul II: și
b) și
Știm formula: . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.
.
Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 a și b sunt multipli lui 15 și , iar .
Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.
Înlocuim a și b și obținem: .
Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :
Cazul I: și
Cazul II: și
Cazul III: și
Cazul IV: și
În acest caz nu putem lua perechile de numere și deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.
c) și
Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 a și b sunt multipli lui 14 și , iar .
Înlocuim în a și b și obținem:
Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :
Cazul I: și
Cazul II: și
Cazul III: și
Cazul IV: și
Cazul IV: și
Cazul V: și
Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.
Rezolvare:
Din enunțul problemei știm că:
.
Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.
Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.
Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți
fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.
Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un
grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te
„Un om educat se deosebeşte de un om needucat, asa cum un om viu se deosebeşte de un om mort.”
Aristotel
Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c).
Exercițiul 1: Aflați cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere:
a)
b)
c)
d)
Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.
a)
Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor comuni și necomuni luați o singură dată la puterea cea mai mare.
b)
Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.
c)
Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.
d)
Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.
Exercițiul 2: Aflați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit pe rând la 6, 16 și 12 dă de fiecare dată restul 5.
Rezolvare:
Din enunțul problemei știm că:
. Aplicăm teorema împărțirii cu rest și obținem:
Mai știm:
.
Scădem din fiecare relație câte un 5 și obținem:
Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 6, 16 și 12.
Mai întâi descompunem în factori primi numerele:
Obținem astfel:
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Cel Mai Mic Multiplu Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru CMMMC
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți
fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.
Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un
grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te
„Fără educaţie, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al raţiunii.”
Joseph Addison
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la marimi invers proporționale.
Exercițiul 1: Suma a trei numere este egală cu 20.Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 3; 2,(4); și 11.
Rezolvare:
Considerăm trei numere a; b și c.
Știm din enunțul problemei că suma celor trei numere este egală cu 20
Tot din enunțul problemei știm:
Transformăm fracția periodică în fracție ordinară astfel:
. Astfel obținem:
Înlocuim a, b și c în relația și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:
Aducem fracția la același numitor calculând c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor.
. Astfel obținem:
Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:
Exercițiul 2: Produsul a trei numere este egal cu 1. Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 4; 16; și 27.
Rezolvare:
Considerăm trei numere a; b și c.
Știm din enunțul problemei că produsul celor trei numere este egal cu 1.
Tot din enunțul problemei știm:
Înlocuim a, b și c în relația și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:
Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:
PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Mărimi invers proporționale pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa usoara marimi invers proportionale
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți
fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.
Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un
grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te
"Inteligența nu înseamnă să nu faci greșeli, ci să vezi repede cum poți să le îndrepți"
Brelot Breckt
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la “Modulul unui număr intreg”. (mai mult…)
Exercițiul 1: Completați pentru a obține propoziții adevarate:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Rezolvare:
Știm că modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg este valoarea pozitivă a acelui număr.
a) ; b) ; c) ;
d)
Știm că semnul minus la putere pară obținem semnul + , astfel . Astfel obținem:
e)
Știm că semnul minus la putere impară obținem semnul - , astfel . Astfel obținem:
f)
Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.
Știm că la adunarea a două numere întregi păstrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere între termini. Astfel obținem:
g)
Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.
Știm că la scăderea a două numere întregi negative păstrăm semnul și efectuăm adunare între termini. Astfel obținem:
h)
Mai întâi ridicăm numerele întregi la putere, apoi facem calculele după care explicităm modulul. Astfel obținem:
i)
Pentru a putea explicita modului trebuie mai întâi să comparăm puterile:
Comparăm cu .
Observăm că , iar . Astfel obținem:
comparat cu . Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:
comparat cu comparat cu .
Pentru că am obținut același exponent, comparăm bazele iar numărul cu baza mai mare va fii mai mare. Obținem astfel că : semnul rezultatului din modul va fii negative. În acest caz vom scoate termenii de sub modul cu semen schimbate.
Pentru că avem puteri foarte mari lăsăm așa răspunsul final.
Exercițiul 2: Rezolvați în ecuațiile:
a)
b)
c)
d)
Rezolvare:
a)
b)
Egalăm pe rând valoarea din modul cu 21 și cu -21.
d)
Aplicăm metoda mersului invers.
Egalăm pe rând valoarea din modul cu 7 și cu -7.
Exercițiul 3 : Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile:
a)
b)
c)
Rezolvare:
a)
b)
c)
În momentul în care înmulțim o inecuație cu un număr negativ se schimbă semnul. Astfel obținem:
PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !
"Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat"
Sarah Caldwel
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la "Adunarea și Scăderea Fracțiilor".
Exercițiul 1: Calculați:
a)
b)
c)
d)
Rezolvare:
a)
Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.
b)
Avem la numărător numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem păstrăm semnul + și efectuîm 11-10
c)
Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.
Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.
Descompunem în factori primi cele 4 numere:
Calculăm c.m.m.m.c
Deci numitorul comun este 30.
Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 30.
Știm că semnul înmulțit cu semnul obținem , iar semnul înmulțit cu semnul obținem . Astfel obținem:
d)
Determinăm numitorul comun:
Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 540.
Exercițiul 2: Efectuați calculele:
a)
Introducem întregii în fracție:
Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:
Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este
Amplificăm fracțiile și obținem:
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți
fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.
Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un
grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te