Matematica Mai Usoara - “Matematica Mai Usoara” este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

17
mart.
2020

Exerciții rezolvate la Divizorul și Multiplul unui număr natural.

"Lucrează la visul tău sau altcineva te va angaja să lucrezi la visul lui."

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!

Data trecută am vorbit despre:Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural

Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții cu noțiunile pe care le-am învățat împreună după care îți voi propune o fisă cu exerciții asemănătoare pe care să le rezolve singurel copilul tău.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21:

Rezolvare:
Divizorii proprii ai numărului 21 sunt: 3 și 7.
Divizorii improprii ai numărului 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2:

Determinați numărul natural x știind că: x-3 este divizorul numărului 15.

Rezolvare:
$x-3 \in D_{{15}}$ $\Rightarrow$ $x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}$ $\Rightarrow$
$x-3=1$ $| +3$ $\Rightarrow x=1+3$ $\Rightarrow x=4$
$x-3=3$ $| +3$ $\Rightarrow$ $x=3+3$ $\Rightarrow x=0$
$x-3=5$ $| +3$ $\Rightarrow x=5+3$ $\Rightarrow x=8$
$x-3=15$ $| +3$ $\Rightarrow x=15+3$ $\Rightarrow x=18$

$\Rightarrow x=\left \{ 4,6,8,18 \right \}$

Exercițiul 3: Determinați :

a) $D_{{28}} \cup D_{{12}}$

b) $D_{{28}} \cap D_{{12}}$

Rezolvare:

$D_{{28}}$ reprezintă mulțimea divizorilor numărului natural 28. Iar $D_{{12}}$ reprezintă mulțimea divizorilor numărului natural 12.

Dacă cumva copilul tău a uitat aceste noțiuni le găsești aici: Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

$D_{{28}} =\left \{ 1,2,4,7,14,28 \right \}$
$D_{{12}} =\left \{ 1,2,3,4,6,12 \right \}$

Acum facem reuniunea celor două mulțimi:

17
mart.
2020

Punctul și Dreapta

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură

"Efortul își arată roadele după ce o persoană refuză să se oprească.

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună prima lecție de Geometrie în plan: Punctul și Drapta.Punctul și dreapta sunt noțiunile cele mai simple din Geometrie fiind create de mintea umană.

(mai mult…)

Punctul:

Ni-l putem imagina ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful unui creion bine ascuțit.

Îl reprezentăm grafic printr-o bulină sau printr-un "x" (două liniuțe care se intersectează).

Punctele se notează cu litere mari.

Poziții relative a două puncte:

puncte identice (coincid) dacă cele două puncte sunt situate în același loc

puncte distincte (diferite) dacă cele două puncte sunt situate locuri diferite.

Dreapta:

Ne-o putem imagina ca fiind un fir de ață întins prelungit la infinit.

Dreptele se notează cu literele mici ale alfabetului sau cu două litere mari prin care am notat două puncte distincte ce aparțin dreptei.

Dreapta este o figură geometrică (o mulțime de puncte) și este nelimitată.

Pentru a reprezenta grafic o dreaptă folosim rigla.

Axioma dreptei:

Două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.

Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.

Pozițiile relative ale uni punct față de o dreaptă:

Punct exterior unei drepte: atunci când punctul nu este situat pe dreapta d

Punct interior unei drepte: atunci când punctul este situat pe dreapta d sau mai spunem că punctul aparține dreptei d.

Puncte coliniare: Trei (sau mai multe puncte) sunt coliniare dacă există o dreaptă care să conțină cele trei puncte.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

05
feb.
2019

Exerciții rezolvate la Amplificarea Rapoartelor

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

"Zadarnic vei vrea să-l înveţi pe cel ce nu e dornic să fie învăţat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăţa."

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Amplificarea Rapoartelor. (mai mult…)

Exercițiul 1: Amplificați cu $x \in R^{*}$ rapoartelor:

a) $\frac{13}{x}$

b) $-\frac{11x+3}{x^2-1}$

Rezolvare:

a) $^{x)}_\textrm{\frac{13}{x}}={\frac{13\cdot x}{x\cdot x}}={\frac{13x}{x^2}}$

Amplificarea raportului algebric $\frac{13}{x}$ constă în înmulțirea atât a numărătorului cât si a numitorului cu expresia algebrică $x$ .

b) $_{{^{x)}\textrm{-\frac{11x+3}{x^2-1}}$ $=-\frac{x\cdot (11x+3)}{x\cdot (x^2-1)}}=$ $-\frac{(11x^2+3x)}{ (x^3-x)}}$

Exercițiul 2: Amplificați cu $x+1$ următoarele rapoarte, oricare ar fi $x\in R\setminus\left \{ -1 \right \}$ :

a) $\frac{2-5x}{7x-3}$

b) $\frac{x-1}{x+1}$

c) $\frac{x-1}{4x^2+x+1}$

Rezolvare:

a) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{2-5x}{7x-3}}$

Amplificarea raportului algebric $\frac{(2-5x)}{(7x-3)}$ constă în înmulțirea atât a numărătorului $(2-5x)$ cât si a numitorului $(7x-3)$ cu expresia algebrică $x+1$ .

$_{}^{x+1)}\textrm{\frac{2-5x}{7x-3}}$ $=\frac{(x+1)\cdot (2-5x)}{(x+1)\cdot (7x-3)}=$

Desfacem parantezele atât la numărător cât și la numitor înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză tinând cont de semne:

$=\frac{(x+1)\cdot (2-5x)}{(x+1)\cdot (7x-3)}=\frac{(x\cdot 2-x\cdot 5x+1\cdot 2-1\cdot 5x)}{(x\cdot 7x-x\cdot 3+1\cdot 7x-1\cdot 3)}$ $=\frac{( 2x-5x^2+ 2-5x)}{( 7x^2- 3x+7x-3)}$

Socotim termenii asemenea și obținem:

$=\frac{( 2x-5x^2+ 2-5x)}{( 7x^2- 3x+7x-3)}=\frac{( -5x^2-3x+ 2)}{( 7x^2+4x-3)}$ .

b) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{x-1}{x+1}}={\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}}=$

Aplicăm formulele de calcul prescurtat : $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ pentru numărător și $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ pentru numitor și obținem:

$={\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}}={\frac{x^2-1^2}{x^2+2\cdot x \cdot 1+1^2}}=$ ${\frac{x^2-1}{x^2+2 x +1}}$

c) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{x-1}{4x^2+x+1}}$ $= {\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(4x^2+x+1)}}=$ ${\frac{x^2-1^2}{x\cdot 4x^2+x\cdot x+x\cdot 1+1\cdot 4x^2+1\cdot x+1\cdot 1}}=$ ${\frac{x^2-1}{ 4x^3+x^2+x+4x^2+ x+1}}=$ ${\frac{x^2-1}{ 4x^3+5 x^2+2x+1}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Amplificarea Rapoartelor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:

Amplificarea rapoarte

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

31
ian.
2019

Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi

categories: Numere Întregi

"Victoriile adevărate nu sunt ale celor puternici, ci ale celor perseverenţi."

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi.

Exercițiul 1: Calculați:

a) $-15 +4=$

b) $-12-6+8=$

c) $13-20-18+6=$

d) $17-(+19)=$

e) $-30+(-3)-(-13)=$

Rezolvare:

a) $-15+ 4=-11$

Dacă numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.

b) $-12-6+8=$

Calculez primele două numere în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-12-6+8=- 18+8=$

Pentru că numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$- 18+8=-10$

c) $13-20-18+6-4+15=$

Pentru că în fața numărului 13 nu este nici un semn asta înseamnă că este semnul +.

$+13-20-18+6-4+15=$

Efectuez calculele în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-7-18+6-4+15=$

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-25+6-4+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-19-4+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-23+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-23+15=-8$

d) $(-30)+(-3)-(-13)=$

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$(-30)+(-3)-(-13)=(-33) -(-13)$

Observ că în fața lui 13 am două semne $-(-13)$ . Mai întâi reduc la un singur semn aplicând regula : $(-)\cdot (-)=+$ . Astfel obțin:

$(-33)-(-13)=(-33)+13=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$(-33)+13=-20$ .

Exercițiul 2: Să se efectueze:

a) $7-[3-(10-15)]=$

b) $-36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=$

Rezolvare:

a) $7-[3-(10-15)]=$

Mai întâi rezolvăm paranteza rotundă. Astfel obținem:

$7-[3- (-5)]=$

Pentru că în paranteza pătrată avem două semne succesive mai întâi stabilim semnul în paranteza pătrată. Știm că $(-)\cdot (-) =+$ și transform paranteza pătrată în paranteză rotundă astfel obținem:

$7-[3- (-5)]=7-(3+5)=7-8=-1$

b) $-36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

$-36 + \left \{ -2+[6+(-34)] \right \}=$

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula $(-)\cdot (+)= (-)$ . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă și acolada în pătrată. Astfel obținem:

$-36+\left [ -2+(6-34) \right ]=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

$-36+\left [ -2+(-28) \right ]=$

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula $(-)\cdot (+)= (-)$ . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă. Astfel obținem:

$-36+( -2-28 )=$ $-36+( -2-28 )= -36+ (-30)=-36-30=-66$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Adunarea și Scăderea Numerelor Intregi pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Adunarea numerelor intregi

Succes!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

25
ian.
2019

Transformarea fracțiilor zecimale (periodice)

categories: Uncategorized

„Cu un talent și o perseverență extraordinare toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Transformarea fracțiilor zecimale în fracție ordinare.

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecțiaTransformarea fractiilor periodice in fractii ordinare!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! (mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați în fracții ordinare următoarele fracții zecimale:

a) $7,5$ ; b) $0,03$ ;

c) $13,(2)$ ; d) $0,2(5)$ ;

e) $0,2(5)$ ; f) $15,14(15)$ ;

Rezolvare:

a) $7,5$ este o fracție zecimală finită $\Rightarrow$ $7,5=\frac{75}{10}^{(5}=\frac{15}{2}$

Pentru că avem o singură cifră după virgulă numitorul este 10. În cazul în care vom avea mai multe cifre după virgulă vom pune atâția dea 0 cate cifre avem după virgulă.

b) $0,03=\frac{3}{100}$ .

În acest caz avem două cifre după virgulă am pus doi de 0 la numitor.

c) $13,(2)$ este o fracție periodică simplă.

Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 132) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 13), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă. Astfel obținem:

$13,(2)=\frac{132-12}{9}=\frac{119}{9}$

Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă.

d) $0,2(5)$ este o fracție periodică mixtă (deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă)

Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 25) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 2), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă și o cifră de 0 deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă. Astfel obținem:

$0,2(5)=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$

Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă, iar dacă avem mai multe cifre între virgulă și perioadă punem atâția de 0 câte numere avem între virgulă și perioadă.

e) $10,12(3)=\frac{10123-1012}{900}=\frac{9111}{{900}}^{(3}=\frac{3037}{{300}}$
f) $15,14(15)=\frac{151415-1514}{9900}=\frac{149901}{{9900}}^{(3}=\frac{49967}{{300}}$

Exercițiul 2: Se consideră numărul $x=2,1(39)$ .

a) Determinați a 2018-a zecimală a numărului x.

b) Calculați suma primelor 100 zecimale ale lui x.

c) Transformați numărul x în fracție ordinară.

Rezolvare:

Observăm că numărul x are după virgulă o cifră (1), iar în perioadă două cifre (39). Știm că cifra dintre virgulă și perioadă nu se repetă iar cifrele din perioada se repetă la nesfârșit.

Scris ca număr zecimal fară perioadă numărul x ar arăta așa:

$x=2,1(39)=2,139393939..........39......$

Pentru a determina a 2018-a zecimală a lui x scădem din $2018 - 1=2017$ (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă).

După care împărțim 2017 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă).

$2017\ \ \ :\ \ \ \ 2=1008 \ \ \ rest \ \ 1$

Pentru că am obținut restul 1 a 2018-a zecimală a lui x este 3 (prima cifră din perioadă).

b) Pentru a calcula suma primelor 100 zecimale ale lui x scădem :

$100-1=99$ (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă)

După care împărțim 99 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă) și obținem:

$99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1$

Obținem că suma celor 100 de zecimale ale lui x sunt:

$S=1+3+9+3+9+3+9+......+3$ =

Pentru că $99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1$ $\Rightarrow 3+9$ se repetă de 49 de ori.

Astfel putem scrie: $S=1+49\cdot (3+9)+3$ $\Rightarrow S=1+49\cdot 12 +3$ $\Rightarrow S=1+588 +3$ $\Rightarrow S= 592$

c) $x=2,1(39)$ $\Rightarrow x=\frac{2139-21}{{990}}=\frac{2118}{{990}}^{(2}=\frac{1059}{{495}}^{(3}=\frac{353}{{165}}$

Exercițiul 3: Determinați cifra $a$ știind că :

$\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} \in N$

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} =$ $\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{a}{9}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$

Aducem la același numitor prin amplificarea celei de-a doua fracții cu 10. Astfel obținem:

$\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ ^{10)_}\textrm{\frac{a}{9}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$ $\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{10a}{90}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$ $\frac{\overline{1a}-1+10a+\overline{a1}-a}{{90}}$

Desfacem în baza 10 numerele: $\overline{1a}$ și $\overline{a1}$ astfel: $\overline{1a}= 10 +a$ iar $\overline{a1}= 10a +1$ .

Obținem: $\frac{10 +a -1+10a+10a+1 -a}{{90}}$ $=\frac{10+20a}{{90}}=$ $=\frac{10\cdot(1+2a)}{{90}}^{(10}=$ $=\frac{1+2a}{{9}} \in N$ $\Rightarrow 1+2a=9 |\ \ -1$

$\Rightarrow 2a=9 -1$ $\Rightarrow 2a=8 \ \ | \ \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow a=8 \ \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow a=4$ .

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare Transformarea fracților zecimale în fracții ordinare pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru fractii periodice

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

18
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

categories: Mulţimea numerelor naturale

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

09
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c)

categories: Mulţimea numerelor naturale

„Un om educat se deosebeşte de un om needucat, asa cum un om viu se deosebeşte de un om mort.”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2^1\cdot 3^2$

Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor comuni și necomuni luați o singură dată la puterea cea mai mare.

$[24, 12, 18]=2^3\cdot 3^2=8 \cdot 9=72$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$28=2^2\cdot 7$

$147=3\cdot 7^2$

$63=3^2\cdot 7$

$[28, 147, 63]=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2=4\cdot 9\cdot 49=1764$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240= 2^4\cdot 3\cdot 5$

$360= 2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$[120, 240, 360]= 2^4\cdot 3^2\cdot 5=16 \cdot 9\cdot 5=720$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$121= 11^2$

$330= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49= 7^2$

$[121, 330, 49]= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2\cdot 11^2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 49\cdot 121= 177870$

Exercițiul 2: Aflați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit pe rând la 6, 16 și 12 dă de fiecare dată restul 5.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ :\ \ \ 6=c_{{1}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ . Aplicăm teorema împărțirii cu rest și obținem: $x =6\cdot c_{{1}} + 5$

Mai știm: $x\ \ \ :\ \ \ 16=c_{{2}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=16\cdot c_{{2}}+ 5$

$x\ \ \ :\ \ \ 12=c_{{3}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=12\cdot c_{{3}}+ 5$ .

Scădem din fiecare relație câte un 5 și obținem:

$\Rightarrow x-5=6\cdot c_{{1}}$

$\Rightarrow x-5=16\cdot c_{{2}}$

$\Rightarrow x-5=12\cdot c_{{3}}$

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 6, 16 și 12.

Mai întâi descompunem în factori primi numerele:

$6=2\cdot 3$

$16=2^4$

$12=2^2 \cdot 3$

$\left [ 6,16,12 \right ]= 2^4 \cdot 3=16\cdot 3=48$

Obținem astfel:

$x-5 = 48 | \ \ \ +5$ $\Rightarrow x=48+5$ $\Rightarrow x=53$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Cel Mai Mic Multiplu Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru CMMMC

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

08
ian.
2019

Exercitii rezolvate la Mărimi Invers Proporționale

categories: Rapoarte. Proportii

„Fără educaţie, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al raţiunii.”

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la marimi invers proporționale.

Exercițiul 1: Suma a trei numere este egală cu 20.Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 3; 2,(4); și 11.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că suma celor trei numere este egală cu 20 $\Rightarrow$ $a+b+c=20$

Tot din enunțul problemei știm:

$\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 3;\ \ \ \ 2,(4);\ \ \ \ 11 \right \}$

$\Rightarrow a\cdot 3=b\cdot 2,(4)=c \cdot 11=k$

$\Rightarrow a\cdot 3=k \Rightarrow a=\frac{k}{{3}}$

$\Rightarrow b\cdot 2,(4)=k$

Transformăm fracția periodică în fracție ordinară astfel:

$2,(4)=\frac{24-2}{{9}}=\frac{22}{{9}}$ . Astfel obținem:

$\Rightarrow b\cdot \frac{22}{{9}}=k \ \ \ |\ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}$ $\Rightarrow b=k \ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}$ $\Rightarrow b=k \cdot \frac{9}{{22}}$ $\Rightarrow b=\frac{9k}{{22}}$

$\Rightarrow c\cdot 11=k \Rightarrow c=\frac{k}{{11}}$

Înlocuim a, b și c în relația $a+b+c=20$ și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

$\frac{k}{{3}} + \frac{9k}{{22}} +\frac{k}{{11}}=20$

Aducem fracția la același numitor calculând c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor.

$3=3$

$22=2 \cdot 11$

$11=11$

$\left [3,22,11 \right ]=3\cdot 2 \cdot 11=66$ . Astfel obținem:

${22)}^_{{\frac{k}{{3}}}}+ 3)^_{{\frac{9k}{{22}}}}+ 6)^_{{\frac{k}{{11}}}}=66)^_{{\frac{20}{{1}}}}$

$22k+27k+6k=1320$ $\Rightarrow 55k=1320 | \ \ \ : \ \ \ 55$ $\Rightarrow k=1320 \ \ : \ \ \ 55$ $\Rightarrow k=24$

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

$\Rightarrow a= \frac{24}{{3}}\Rightarrow a= 8$

$\Rightarrow b= \frac{9\cdot 24}{{22}}\Rightarrow b= \frac{216}{{22}}^{(2}\Rightarrow b= \frac{108}{{11}}$

$\Rightarrow c= \frac{ 24}{{11}}$

Exercițiul 2: Produsul a trei numere este egal cu 1. Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 4; 16; și 27.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că produsul celor trei numere este egal cu 1. $\Rightarrow$ $a \cdot b \cdot c =1$

Tot din enunțul problemei știm:

$\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 4;\ \ \ \ 16;\ \ \ \ 27 \right \}$ $\Rightarrow a \cdot 4= b \cdot 16= c \cdot 27 = k$

$\Rightarrow a\cdot 4 = k \Rightarrow a=\frac{k}{{4}}$

$\Rightarrow b \cdot 16 = k \Rightarrow b=\frac{k}{{16}}$

$\Rightarrow c \cdot 27 = k \Rightarrow c =\frac{k}{{27}}$

Înlocuim a, b și c în relația $a \cdot b \cdot c =1$ și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

$\frac{k}{{4}} \cdot \frac{k}{{16}} \cdot \frac{k}{{27}} =1$ $\Rightarrow \frac{k^3}{{1728}} =1 |\ \ \ \cdot 1728$

$\Rightarrow k^3 = 1728$ $\Rightarrow k^3 = 12^3 \Rightarrow k=12$

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

$\Rightarrow a=\frac{12}{{4}} \Rightarrow a= 3$

$\Rightarrow b=\frac{12}{{16}}^{(4 }\Rightarrow b=\frac{3}{{4}}$

$\Rightarrow c=\frac{12}{{27}}^{(3 }\Rightarrow c=\frac{4}{{9}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Mărimi invers proporționale pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa usoara marimi invers proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

18
sept.
2018

Exerciții rezolvate la modulul unui număr întreg

categories: Mulţimea numerelor întregi

"Inteligența nu înseamnă să nu faci greșeli, ci să vezi repede cum poți să le îndrepți"

Brelot Breckt

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la “Modulul unui număr intreg”. (mai mult…)

Exercițiul 1: Completați pentru a obține propoziții adevarate:

a) $\left \ | -11 \right \ |=?$

b) $\left \ | 13 \right \ |=?$

c) $\left \ | 0 \right \ |=?$

d) $\left \ | (-2)^2 \right \ |=?$

e) $\left \ | -3^4 \right \ |=?$

f) $\left \ | -7 +11 \right \ |=?$

g) $\left \ | -15 -6 \right \ |=?$

h) $\left \ | -2^2+3^2 \right \ |=?$

i) $\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |=?$

Rezolvare:

Știm că modulul sau valoarea absolută a unui număr întreg este valoarea pozitivă a acelui număr.

d) $\left \ | (-2)^2 \right \ |=?$

Știm că semnul minus la putere pară obținem semnul + , astfel $(-2)^2=+ 4$ . Astfel obținem:

$\left \ | (-2)^2 \right \ |=\left \ | 4 \right \ |=4$

e) $\left \ | -3^4 \right \ |=?$

Știm că semnul minus la putere impară obținem semnul - , astfel $-3^4=-81$ . Astfel obținem:

$\left \ | -3^4 \right \ |=\left \ | -81 \right \ |=81$

f) $\left \ | -7 +11 \right \ |=?$

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la adunarea a două numere întregi păstrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere între termini. Astfel obținem:

$\left \ | -7 +11 \right \ |= \left \ | +4 \right \ |= 4$

g) $\left \ | -15 -6 \right \ |= ?$

Efectuăm calculele din modul după care explicităm modulul.

Știm că la scăderea a două numere întregi negative păstrăm semnul și efectuăm adunare între termini. Astfel obținem:

$\left \ | -15 -6 \right \ |= \left \ | - 21 \right \ | = 21$

h) $\left \ | -2^2+3^2 \right \ |= ?$

Mai întâi ridicăm numerele întregi la putere, apoi facem calculele după care explicităm modulul. Astfel obținem:

i) $\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= ?$

Pentru a putea explicita modului trebuie mai întâi să comparăm puterile:

Comparăm $2^{164}$ cu $3^{123}$ .

Observăm că $164=4 \cdot 41$ , iar $123= 3\cdot 41$ . Astfel obținem:

$2^{4\cdot 41}$ comparat cu $3^{3\cdot 41}$ . Aplicăm regulile de calcul cu puteri și obținem:

$(2^{4})^{41}$ comparat cu $(3^{3})^{41}$ $\Rightarrow 16^{41}$ comparat cu $\Rightarrow 27^{41}$ .

Pentru că am obținut același exponent, comparăm bazele iar numărul cu baza mai mare va fii mai mare. Obținem astfel că : $2^{164} \lt 3^{123}$ $\Rightarrow$ semnul rezultatului din modul va fii negative. În acest caz vom scoate termenii de sub modul cu semen schimbate.

$\left \ | 2^{164}-3^{123} \right \ |= - 2^{164}+3^{123}$

Pentru că avem puteri foarte mari lăsăm așa răspunsul final.

Exercițiul 2: Rezolvați în $Z$ ecuațiile:

a) $\left \| x \right \|=5$

b) $\left \| 2x-17 \right \|=21$

c) $29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4$

d) $3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7$

Rezolvare:

a) $\left \| x \right \|=5 \Rightarrow x= \pm 5$

b) $\left \| 2x-17 \right \|=21$

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 21 și cu -21.

$\left \| 2\cdot x-17 \right \|=21 \Rightarrow 2\cdot x-17=21$ $\Rightarrow 2\cdot x=21+17 \Rightarrow 2\cdot x=38$ $\Rightarrow x=38 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=19$
$\left \| 2x-17 \right \|=21\Rightarrow 2x-17=-21$ $\Rightarrow 2\cdot x=- 21+17 \Rightarrow 2\cdot x=- 4$ $\Rightarrow x=-4 \ \ \ : \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2$

$x\in \left \{-2 \ \ ; \ \ 19 \right \}$

d) $3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7$

Aplicăm metoda mersului invers.

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]-8=7 \ \ \ \ \ \ | \ \ +8$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=7+8$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15$

$3\cdot [ 2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9]=15\ \ \ \ \ \ | \ \ : \ \ 3$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=15 \ \ : \ \ 3$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | -9=5 \ \ \ \ \ \ | \ \ +9$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =5 +9$

$2 \cdot \left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ \ \ \ | \ \ :2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | =14 \ \ \ :\ \ \ 2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7$

Egalăm pe rând valoarea din modul cu 7 și cu -7.

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=-7 \ \ \ | \ \ \ +3$ $\Rightarrow 2\cdot x=-4 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=-2$

$\left \ | 2x- 3 \right \ | = 7\Rightarrow 2\cdot x-3=7 \ \ \ | \ \ \ +3$ $\Rightarrow 2\cdot x=10 \ \ \ | \ \ \ : \ \ \ \ 2 \Rightarrow x=5$

$x\in \left \{ -2\ \ \ ;\ \ \ 5 \right \}$

Exercițiul 3 : Rezolvați în mulțimea numerelor întregi inecuațiile:

a) $\left \| x \right \|\leq 5$

b) $\left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3$

c) $29- 3\cdot \left \| 2x-7 \right \| \geq -4$

Rezolvare:

a) $\left \| x \right \|\leq 5$ $\Rightarrow -5 \leq x\leq 5$ $\Rightarrow x\in \left \{ -5\ ;\ \ \ -4\ ; \ \ \ -3;\ -2;\ -1;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1;\ \ \ \ 2;\ \ \ 3;\ \ \ \ 4;\ \ \ \ 5 \right \}$

b) $\left \| x-6 \right \|\ \ \ \lt \ \ \ 3$ $\Rightarrow -3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x-6\ \ \ \ \lt \ \ \ \3\ \ \ \ | \ \ \ +6$ $\Rightarrow -3+6\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \3+6\ \$ $\Rightarrow 3\ \ \ \ \lt \ \ \ \ x\ \ \ \ \lt \ \ \ \9\ \$ $\Rightarrow x\in \left \{ 4 \ ;\ \ \ \5\ ;\ \ \ \6\ ;\ \ \ \7\ ;\ \ \ \8 \right \}$

c) $29-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4\ \ \ | \ \ \ -29$

$-3\cdot \left \ | 2x-7 \right \ | \geq -4-29$

În momentul în care înmulțim o inecuație cu un număr negativ se schimbă semnul. Astfel obținem:

$\left \ | 2x-7 \right \ | \leq -33 \ \ \ \ :\ \ \ (-3)$

$\left \ | 2x-7 \right \ | \leq 11$ $\Rightarrow -11\leq 2x-7 \leq 11 \ \ \ | \ \ \ +7$ $\Rightarrow -11+7 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 11+7$ $\Rightarrow -4 \leq \ \ \ 2x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ | \ \ \ :\ \ 2$ $\Rightarrow -4\ \ \ :\ \ \ 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 18 \ \ \ :\ \ 2$ $\Rightarrow - 2 \leq \ \ \ x \leq \ \ \ \ 9$

$\Rightarrow x\in \left \{ -2 \ ;\ \ \ \ -1\ ;\ \ \ \ 0 \ ;\ \ \ \ 1 \ ;\ \ 2 \ \ ;\ \ \ 3 \ ;\ \ \ \ 4\ ;\ \ \ \ 5\ ;\ \ \ \ 6\ ;\ \ \ \ 7\ ;\ \ \ \ 8\ ;\ \ \ \ 9\ \right \}$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

09
sept.
2018

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea Fracțiilor

categories: Numere Raţionale

"Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat"

Sarah Caldwel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la "Adunarea și Scăderea Fracțiilor".

Exercițiul 1: Calculați:

a) $\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$

b) $-\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=$

c) $-\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=$

d) $-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=$

Rezolvare:

a) $\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$

Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.

$-\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$ $\frac{7+2+5}{13}=$ $\frac{14}{13}$

b) $-\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=$ $\frac{-10+11-7}{9}=$

Avem la numărător $-10+11-7$ numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem $-10+11$ păstrăm semnul + și efectuîm 11-10

$\frac{-10+11-7}{9}=$ $\frac{+1-7}{9}=$ $\frac{-6}{9}=$ $\frac{-6}{9}^{(3}=$ $\frac{-2}{3}$

c) $-\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=$

Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.

Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.

Descompunem în factori primi cele 4 numere:

$5=5$

$6=2\cdot3$

$2=2$

$15=3\cdot5$

Calculăm c.m.m.m.c $\left [ 5,6,2,15 \right ]=2\cdot3\cdot5=30$

Deci numitorul comun este 30.

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 30.

$-_{{}}^{6)}\textrm{\frac{3}{{5}}}+(-_{{}}^{5)}\textrm{\frac{5}{{6}}})+ (+_{{}}^{15)}\textrm{\frac{1}{{2}}})+(+_{{}}^{2)}\textrm{\frac{4}{{15}}}) =$

$-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=$

Știm că semnul $(+)$ înmulțit cu semnul $(-)$ obținem $(-)$ , iar semnul $(+)$ înmulțit cu semnul $(+)$ obținem $(+)$ . Astfel obținem:

$-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=$
$-\frac{18}{{30}}}-{\frac{25}{{30}}}+ {\frac{15}{{30}}}+{\frac{8}{{30}}}=$
$\frac{-18-25+15+8}{{30}}}=$
$\frac{-43+15+8}{{30}}}=$
$\frac{- 28+8}{{30}}}=$ $\frac{- 20}{{30}}}^{(10} =- \frac{ 2}{{3}}}$

d) $-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=$

Determinăm numitorul comun:

$18= 2\cdot 3^2$

$108= 2^2\cdot 3^3$

$5=5$

$36= 2^2\cdot 3^2$

$[18, 108, 5, 36]= 2^2\cdot 3^3\cdot 5=4\cdot 27\cdot 5=540$

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 540.

$-_^{30)}\textrm{\frac{13}{{18}}}+(-_^{5)}\textrm{\frac{5}{{108}}})+(-_^{108)}\textrm{\frac{14}{{5}}})+(-_^{15)}\textrm{\frac{7}{{36}}})=$

$-{\frac{13\cdot30}{{18\cdot 30}}}+(-{\frac{5\cdot 5}{{108\cdot 5}}})+(-{\frac{14\cdot 108}{{5\cdot 108}}})+(-{\frac{7\cdot 15}{{36\cdot 15}}})=$

$-{\frac{390}{{540}}}+(-{\frac{25}{{540}}})+(-{\frac{1512}{{540}}})+(-{\frac{105}{{540}}})=$

${\frac{-390-25-1512-105}{{540}}}=$ ${\frac{-(390+25+1512+105)}{{540}}}=$ ${\frac{-2032}{{540}}}^{(2}=$ ${\frac{-1016}{{270}}}^{(2}=$ ${\frac{-508}{{135}}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $[-3\frac{1}{{2}} +1\frac{1 }{{15}} ] + [-1\frac{1}{{7}}+2\frac{7 }{{3}} ]=$

Introducem întregii în fracție:

$(-\frac{3\cdot2+1}{{2}} +\frac{1\cdot 15+1 }{{15}} ) + (-\frac{1\cdot7+1}{{7}}+\frac{2\cdot3+7 }{{3}} )=$

$(-\frac{7}{{2}} +\frac{16 }{{15}} ) + (-\frac{8}{{7}}+\frac{13}{{3}} )=$

Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:

Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7= 210$

Amplificăm fracțiile și obținem:

$(-_{{}}^{105)}\textrm{\frac{7}{{2}}}+_{{}}^{14)}\textrm{\frac{16}{{15}}})+(-_{{}}^{30)}\textrm{\frac{8}{{7}}}+_{{}}^{70)}\textrm{\frac{13}{{3}}})=$ $(-{\frac{735}{{210}}}+{\frac{224}{{210}}})+(-{\frac{240}{{210}}}+{\frac{910}{{210}}})=$

${\frac{-735+224}{{210}}}+{\frac{-240+910}{{210}}}=$ ${\frac{-511}{{210}}}+{\frac{670}{{210}}}=$ ${\frac{-511+670}{{210}}}=$ ${\frac{159}{{210}}}^{(3}=$ ${\frac{53}{{70}}}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”