Matematica Mai Usoara - “Matematica Mai Usoara” este un blog de matematică, mai exact un blog despre cele mai uşoare metode de a învăţa matematica.

18
Sep
2017

Exerciții rezolvate la Numere Prime

" Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate ajuta pe omul cu mentalitate greșită".

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Numere Prime între ele. (more…)

Exercițiul 1: Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

$24=2^3 \cdot 3$

$77=7\cdot 11$

$(24, 77)=1$

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 $\Rightarrow$ cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001

Descompunem în factori primi cele două numere.

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$1001=7\cdot 11 \cdot 13$

$(360, 1001)=1$ $\Rightarrow$ 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$125=5^ 3$

$(84,125)=1$ $\Rightarrow$ 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2: Arată că numerele naturale $(4n+3,\ \ \ 6n+5)$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale $4n+3$ și $6n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $4n+3$ și $6n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(4n+3, 6n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Arată că numerele naturale $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural $5n+6$ și $4n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $5n+6$ și $4n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(5n+6, 4n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Află numărul natural x astfel încât:

a) $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$

b) $(\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1$

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere $\overline{5x}$ și 10 nu au nici un divizor comun scriem mulțimea divizorilor lui 10.

$D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}$

Dacă $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$ $\Rightarrow$ numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă $\overline{5x}$ $\Rightarrow$

Dacă 2 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x este un număr impar $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; dacă 5 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0

$\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

08
Sep
2017

Punctul și Dreapta

categories: Geometrie a VI-a

"Efortul își arată roadele după ce o persoană refuză să se oprească.

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună prima lecție de Geometrie în plan: Punctul și Drapta.Punctul și dreapta sunt noțiunile cele mai simple din Geometrie fiind create de mintea umană.

(more…)

Punctul:

Ni-l putem imagina ca fiind urma lăsată pe hârtie de vârful unui creion bine ascuțit.

Îl reprezentăm grafic printr-o bulină sau printr-un "x" (două liniuțe care se intersectează).

Punctele se notează cu litere mari.

Poziții relative a două puncte:

puncte identice (coincid) dacă cele două puncte sunt situate în același loc

puncte distincte (diferite) dacă cele două puncte sunt situate locuri diferite.

Dreapta:

Ne-o putem imagina ca fiind un fir de ață întins prelungit la infinit.

Dreptele se notează cu literele mici ale alfabetului sau cu două litere mari prin care am notat două puncte distincte ce aparțin dreptei.

Dreapta este o figură geometrică (o mulțime de puncte) și este nelimitată.

Pentru a reprezenta grafic o dreaptă folosim rigla.

Axioma dreptei:

Două puncte distincte determină o dreaptă și numai una.

Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.

Pozițiile relative ale uni punct față de o dreaptă:

Punct exterior unei drepte: atunci când punctul nu este situat pe dreapta d

Punct interior unei drepte: atunci când punctul este situat pe dreapta d sau mai spunem că punctul aparține dreptei d.

Puncte coliniare: Trei (sau mai multe puncte) sunt coliniare dacă există o dreaptă care să conțină cele trei puncte.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

06
Sep
2017

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

categories: Numere Naturale

"Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur "
Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva "Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural". Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!

Exercițiul 1:
Arătați că numărul $a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "a"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că în paranteză avem Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
$a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)$
$a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]$
$a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]$
Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
$a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]$
$a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003$
$a=2003 + 2002 \cdot 2003$
Dăm factor comun pe 2003.
$a=2003\cdot (1 + 2002)$
$a=2003\cdot 2003$
$a=2003^2$ .
$\Rightarrow numarul \$ este pătrat perfect.

Exercițiul 2:
Arătați că numărul $a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "n"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
$a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).$
În paranteză obținem Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
$a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]$
$a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]$
$a=81\cdot 49 \cdot 25$
$a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2$
Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
$a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2$
$a=315^2$

Exercițiul 3:
Arătați că numărul $n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27}$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul $2\cdot 3$
$n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
$n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}$
Observăm că se repetă $3^{27} \cdot 2^{52}$ și îi dăm factor comun.
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3$
$n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1$
$n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}$
$n= 3^{28} \cdot 2^{52}$
$n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2$ $\Rightarrow n$ este pătrat perfect

Exercițiul 4:
Arătați că numărul $n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}$ este pătrat perfect.

Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri putem scrie: $2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}$ ; $2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2}$ și $2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}$ . Obținem astfel:
$n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}$
Observăm că se repetă $2^{2008}$ și putem sa îl dăm factor comun:
$n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)$
$n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)$
$n= 2^{2008}\cdot 1$
$n= 2^{2008}$
$n= (2^{1004})^2$ $\Rightarrow n$ este pătrat perfect

Exercițiul 5:
Arătați că numărul $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.

Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2.
$a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2$
$2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}$
$2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}$
$2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}$
Scădem cele două relații și obținem:
suma gauss a puteror lui 2
$a = 2^{2003} - 2^{1504}$
Pentru a demonstra că numărul $a = 2^{2003} - 2^{1504}$ nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: $\left \{ 2,3, 7,8 \right \}$ .
Calculăm Ultima cifră a numărului: $a = 2^{2003} - 2^{1504}$
$U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})$
$U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})$
Calculăm $U(2^{2003})$ .
Mai întâi calculăm puterilelui 2.
Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
$U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)$
Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui $2^4$ este 6 și astfel obținem:
$U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]$
Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
Și obținem: $U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8$
Am obținut că $U(2^{2003})=8$
Calculăm $U(2^{1504})$ .
Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
$U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]$
$U(2^4)=6$ $\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6$
Am obținut astfel: U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})=8-6=2
Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 $\Rightarrow$ $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
Aug
2017

Criteriile de divizibilitate

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide."

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția "Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural". Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol "Criteriile de divizibilitate" .

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

08
Aug
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$ Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$ Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$ Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$ Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$ Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ . Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ . Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$ Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$ Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$ Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$ Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ? Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$ Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$ Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

04
Aug
2017

Mulțimea Numerelor Raționale.

categories: Numere Raţionale

" Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale."

Ralph Marston

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

02
Aug
2017

Ultima cifră a unui număr natural

categories: Numere Naturale

"Cu cât un copil a văzut și a înțeles mai mult, cu atât vrea el să vadă și să înțeleagă mai mult."
Jean Piaget

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am vorbit despre "Pătratul unui număr natural". Astăzi îți propun o nouă lecție care mă ajută să demonstrez dacă un număr natural este pătrat perfect sau nu: "Ultima cifră a unui număr natural".

Șirul de numere: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ............... este șirul $0 ^{2}, 1 ^{2}, 2 ^{2}, 3 ^{2}, 4 ^{2}, 5 ^{2}, 6 ^{2}, .............., n ^{2}, ..........$ și se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte. Fie $x$ un număr natural. Notăm cu $U(x)$ ultima cifră a numărului $x$ . Să privim cu atenție următorul tabel:

Observăm ca ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ . Observație:

Dacă ultima cifră a unui număr natural este $2, 3, 7\ \ sau \ \ \ 8$ atunci acel număr natural nu poate fi pătrat perfect.
Dacă ultima cifră a unui număr natural este $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ acel număr natural este pătrat perfect.

Pentru a afla ultima cifră a unui număr vor avea în vedere următoarele reguli de calcul:

$U(x+y)=U(U(x)+U(y))$

$U(x\cdot y)=U(U(x)\cdot U(y))$

$U(x^n)=U[(U(x))^n]$

Exemple:

$U(79 +24)=U(U(79) +U(24))=U(9+4)=U(13)=3$

$U(98 \cdot 82)=U(U(98) \cdot U(82))=U(8 \cdot 2)=U(16)=6$

$U(36 ^{89})=U(U(36) ^{89})=U(6^ ^{89})=6$

Să analizăm atent următorul tabel:

Observație:

Numerele $1,5 \ \ \ si \ \ \ 6$ ridicate la orice putere îmi dă ultima cifră $1,5 \ \ \ si \ \ \ respectiv \ \ \ 6$ .

La numerele $2,3, 7 \ \ \ si \ \ \ 8$ se repetă ultima cifră din patru în patru puteri. La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 4, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 2,3,7 sau respectiv 8 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Iar la numerele $4 \ \ \ si \ \ \ 9$ se repetă ultima cifră din două în două puteri.La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 2, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 4 sau respectiv 9 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Exemple: Determinați ultima cifră a numerelor:

$2^{{2017}}\ \ \ si \ \ 4^{{2017}}$

Rezolvare:

Calculăm pentru $2^{{2017}}$ . Scriem puterile lui 2.

Observăm ca ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2017 la 4

Obținem astfel $2017\ \ \ : \ \ \ 4 =504 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Rezultă că $U(2^{2017})= U[(2^4)^{2017} \cdot 2^1]=U(2^4)^{2017}\cdot U(2^1)$ Privind puterile lui 2 observăm că ultima cifră a lui $2^4$ este 6, iar ultima cifră a lui $2^1$ este 2. Astfel obținem că $U(6^{2017})\cdot 2= U(6 \cdot 2) = U(12) = 2$

Observație: Am precizat mai sus ca 6 la orice putere are ultima cifră egala tot cu 6.

Calculăm ultima cifră pentru numărul $U(4^{2017})$ =

Scriem puterile lui 4.

Observăm că la numărul 4 ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 2017 la 2 :

Obținem astfel: $2017 \ \ \ :\ \ \ 2 = 1008 \ \ \ rest\ \ \ 1$ Rezultă că: $U(4^{2017})=U[(4^2)^{1008} \cdot 4^1]=U[(4^2)^{1008}] \cdot U(4^1)=$ Ultima cifră a lui $4^2$ este 6 iar ultima cifră a lui $4^1$ este 4. Înlocuiesc și obțin: $U(6^{1008})\cdot U(4^1)= U(6 \cdot 4)= U(24)= 4$ . Te invit să exersezi și tu 3 exerciții identice pe care ți le propun în rubrica:

Învăț pentru viitorul meu: Determină ultima cifră a numerelor: $9^{2017}; \ \ \ 3^{2019} ;\ \ \ 8^{2021}.$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

10
Jul
2017

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes."

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

Definiție: Numărul natural "a" este divizibil (sau se divide) cu numărul natural "b", dacă există un număr natural "c" astfel încât: " $a=b\cdot c$ " .

Observație:

Numărul natural "a" nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural "b", dacă există un număr natural "c" astfel încât: " $a\neq b\cdot c$ " .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie $n \geq 2$ un număr natural. Numerele 1 și $n$ se numesc divizori improprii ai numărului $n$ .

Ceilalți divizori ai numărului $n$ (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea $D_{{n}}$ a tuturor numerelor naturale care divid pe $n$ .

Se notează $D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \}$ .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural $n$ este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu $n$ .

Se notează $M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

09
Jul
2017

Exerciții rezolvate la Compararea puterilor

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Educația nu e cât de mult ai memorat sau cât știi. E capacitatea de a face diferența între ce știi și ce nu știi".

Anatole France

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție nouă la capitolul Numere Naturale: Exerciții rezolvate la Compararea Puterilor.

Exercițiul 1: Comparați numerele:

a) $4 ^{17}$ și $2 ^{34}$

b) $3 ^{27}$ și $9 ^{13}$

c) $8 ^{17}$ și $2^{52}$

Rezolvare:

$4 ^{17}$ și $2 ^{34}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem să-l scriem pe 4 ca bază $2 ^2$ .
$({2 ^2})^{17}$ și $2 ^{34}$
Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri pentru primul număr, înmulțim exponenții și obținem:
$2 ^{2\cdot 17}$ și $2 ^{34}$ $\Rightarrow 2 ^{34}$ = $2 ^{34}$

b) $3 ^{27}$ și $9 ^{13}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe $9=3 ^{2}$ și obținem:
$3 ^{27}$ și $(3 ^{2}) ^{13}$ $\Rightarrow 3 ^{27}$ și $3 ^{2\cdot 13}$ $\Rightarrow 3 ^{27}$ $\gt \ \ \ 3 ^{26}$

c) $8 ^{17}$ și $2 ^{52}$

- Observăm că putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe $8= 2^{3}$ și obținem:
- $(2^{3})^{17}$ și $2^{52$ $\Rightarrow 2^{3\cdot 17}$ și $2^{52}$ $\Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}$

Exercițiul 2: Comparați numerele:

a) $2 ^{48}$ și $3 ^{32}$

b) $2 ^{60}$ și $3 ^{36}$

c) $3 ^{42}$ și $5 ^{28}$

d) ${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$

Rezolvare:

a) $2^{48}$ și $3^{32}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel $48=3\cdot16$ și $32=2\cdot16$ . Obținem:
$2^{3\cdot16}$ și $3^{2\cdot16}$ $\Rightarrow (2^3)^{16}$ și $(3^2)^{16}$
Ridicăm la putere știind că $2^3=8$ și $3^2=9$ obținem:
$8^{16} \lt 9^{16}$
Numărul cu baza mai mică este mai mic.

b) $2^{60}$ și $3^{36}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: $60=10\cdot 6$ și $36=6\cdot 6$ . Obținem:
$2^{10\cdot 6}$ și $3^{6\cdot 6}$ $\Rightarrow (2^{10})^ 6$ și $(3^{6})^ 6$
Ridicăm la putere știind că $2^{10}=1024$ și $3^{6}=729$ . Obținem:
$1024^{6} \gt 729^6$
Numărul cu baza mai mare este mai mare.

c) $3^{42}$ și $5^{28}$

Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: $42=3\cdot 14$ și $28=2 \cdot 14$ . Obținem:
$3^{3\cdot14}$ și $5^{2\cdot14}$ $\Rightarrow (3^3)^{14}$ și $(5^2)^{14}$
Ridicăm la putere știind că $3^3= 27$ și $5^2= 25$ obținem:
$27^{14}\ \ \gt\ \ 25^{14}$ .

d) ${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$

Observăm că la primul număr avem puterea unei puteri cu alte cuvinte exponentul este tot o putere $2^3$ . Mai întâi ridicăm la putere exponentul știind că $2^3 = 8$ și obținem: ${ 2^2}^3=2^8$ .

La cel de-al doilea număr aplicăm Regulile de calcul cu puteri, înmulțim puterile și obținem: $(2^3)^2=2^{3\cdot 2}= 2^6$

${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$ $\Rightarrow 2^8 \ \ \gt \ \ 2^6$

Exercițiul 3: Comparați numerele:

a) $8^{18} - 7\cdot 8^{17}$ și $16^{14} - 15\cdot 16^{13}$

c) $(9^{15}\cdot 3^{14})^4$ și $(81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}$

Rezolvare:

a) $8^{18} - 7\cdot 8^{17}$ și $16^{14} - 15\cdot 16^{13}$

Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Pentru că avem operația de scădere între termenii celor două numere trebuie să dam factor comun baza care se repetă la puterea cea mai mică
$8^{17}\cdot (8^{18-17} - 7\cdot 8^{17-17})$ și $16^{13}\cdot (16^{14-13} - 15\cdot 16^{13-13})$
$8^{17}\cdot (8^{1} - 7\cdot 8^{0})$ și $16^{13}\cdot (16^{1} - 15\cdot 16^{0})$
Știm că orice număr la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 8^0=1$ și $\Rightarrow 16^0=1$
Obținem:
$8^{17}\cdot (8 - 7\cdot 1)$ și $16^{13}\cdot (16 - 15\cdot 1)$
$8^{17}\cdot (8 - 7)$ și $16^{13}\cdot (16 - 15)$
$8^{17}\cdot 1$ și $16^{13}\cdot 1$ $\Rightarrow 8^{17}$ și $16^{13}$
Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la aceeași bază.
Știm că putem scrie: $8=2^{3}$ și $16=2^{4}$ astfel obținem:
$(2^{3})^{17}$ și $(2^{4})^{13}$ $\Rightarrow 2^{3\cdot 17}$ și $2^{4\cdot 13}$ $\Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}$

b) $(9^{15}\cdot 3^{14})^4$ și $(81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}$

Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Observăm că putem scrie $9=3^2$ ; $81=3^4$ ; $27=3^3$ și $243=3^5$ astfel obținem:
$[(3^2)^{15}\cdot 3^{14}]^4$ și $[(3^4)^{3}\cdot (3^3)^{7}]^3 \cdot (3^5) ^{15}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și înmulțim puterile:
$(3^{2\cdot15}\cdot 3^{14})^4$ și $(3^{4\cdot3}\cdot 3^{3\cdot7})^3 \cdot 3 ^{5\cdot15}$
$(3^{30}\cdot 3^{14})^4$ și $(3^{12}\cdot 3^{21})^3 \cdot 3 ^{75}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri (adunam puterile) și obținem:
$(3^{30+14})^4$ și $(3^{12+21})^3 \cdot 3 ^{75}$
$(3^{44})^4$ și $(3^{33})^3 \cdot 3 ^{75}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și înmulțim puterile:
$3^{44\cdot 4}$ și $3^{33 \cdot 3} \cdot 3 ^{75}$
$3^{176}$ și $3^{99} \cdot 3 ^{75}$
$3^{176}$ și $3^{99+75}$
$3^{176} \gt 3^{174}$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

23
May
2017

Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură

"Invatatul este asemeni navigarii in amonte: daca nu avansezi esti tras inapoi."
Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am regăsit.Ultimul capitol din programa la matematică de clasa a V-a este rezervat Elementelor de Geometrie.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babilon, în jurul anului 3000 î.Hr și a fost descoperită din nevoia de a măsura pământul. De aici și denumirea de Geometrie: în limba Greacă geo = pământ, metria = măsură. (more…)

Dragul meu părinte, te invit azi să aprofundăm noțiunile despre: Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

Exercițiul 1: Determinați x din: $10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2$

Rezolvare:

Prima oară transformăm $cm^2$ și $mm^2$ în $m^2$ .

Pentru a face transformările desenăm scara unităților de măsură:

Pentru a transforma $cm^2$ în $m^2$ urcăm 2 trepte deci împărțim la $100^2$ .

$10^4 cm ^2=10^4 \div 100^2=10^4 \div (10^2)^2=10^4 \div 10^4=1 m^2$

Pentru a transforma $mm^2$ în $m^2$ urcăm 3 trepte deci împărțim la $100^3$ .

$10^6 mm ^2=10^6 \div 100^3=10^6 \div (10^2)^6=10^6 \div 10^6=1 m^2$

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

$10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2$ $\Rightarrow$ $1 m^2 + 1 m^2- x=1,6 m^2$ $\Rightarrow 2 m^2 - x=1,6 m^2$ $\Rightarrow x=2 m^2 - 1,6 m^2$ $\Rightarrow x=2,0 m^2 - 1,6 m^2$ $\Rightarrow x =0,4 m^2$

Exercițiul 2: Determinați x din: $5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2$

Rezolvare:

Pentru a transforma $Km^2$ în $m^2$ coborâm 3 trepte deci înmulțim cu $100^3$ .

$0,0004 Km^2= 0,0004 \cdot 100^3 = 0,0004 \cdot 1000000$ $=0,000400 \cdot 1000000= 400 m^2$

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

$5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x - 3 \cdot 400 m^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x - 1200 m^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x = 315 m^2 + 1200 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2$ > $\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2 / : 5$ $\Rightarrow x = 1515 m^2 \div 5$ $\Rightarrow x = 303 m^2$

Exercițiul 3: Determinați x din: $x + 23,615 ha= 2363 ari$

Rezolvare:

$1 ar = 1 dam^2 \Rightarrow 2363 ari = 2363 dam ^2$

$1 ha = 1 hm^2 \Rightarrow 23,615 ha = 23,615 hm ^2 \Rightarrow$ $23,615 hm ^2= 23,615 \cdot 10^2 = 2361,5 dam^2$

Înlocuim în ecuația dată și obținem:

$x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2$

$x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2 / -2361,5 dam^2$

$x = 2363 dam^2 -2361,5 dam^2$

$x = 1,5 dam^2$

Exercițiul 4: Calculați aria unui pătrat ce are perimetrul egal cu 5,92 m.

Rezolvare:

$P_{{ ABCD}}= 4\cdot l \Rightarrow 4\cdot l = 5,92 m \Rightarrow$ $l = 5,92 m : 4 \Rightarrow l = 1,48 m$

$A_{ABCD}= l^2 \Rightarrow A_{ABCD}= (1,48 m)^2 \Rightarrow$ $A_{ABCD}= 1,48 m \cdot 1,48 m \Rightarrow A_{ABCD}= 2,1904 m^2$

Exercițiul 5: Câte plăci de beton în formă de pătratică având latura de 50 cm sunt necesare pentru a pava curtea unei case care are formă de dreptunghi cu dimensiunile de 47 m lungime și 21m lățime.

Rezolvare:

Pentru a rezolva problema facem mai întâi suprafața curții, adică Aria dreptunghiului.

$A_{curte}= L \cdot l \Rightarrow A_{curte}= 47m \cdot 21 m \Rightarrow A_{curte}= 987 m^2$ $\Rightarrow A_{curte}= 987 \cdot 10 000 \Rightarrow A_{curte}= 9870000 cm^2$

Calculăm și aria plăcii de beton.

$A_{placa beton}= l^2 \Rightarrow A_{placa beton}= (50 cm)^2$ $\Rightarrow A_{placa beton}= 2500 cm^2$

$A_{curte} \div A_{placa beton}= 9870000 cm^2 : 2500 cm^2 \Rightarrow$

$A_{curte} \div A_{placa beton}= 98700 : 25 \Rightarrow$ $A_{curte} \div A_{placa beton}= 3948$ bucăți plăci beton.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Punctul:

Dreapta:

Exercițiul 1:

Exercițiul 2:

Exercițiul 3:

Exercițiul 4:

Exercițiul 5:

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 nu este pătrat perfect.

Învăț pentru mine

Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 $\Rightarrow$ $a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}$ nu este pătrat perfect.