Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Share on Facebook