exercitii - Matematica Mai Usoara

Etichetă: exercitii

05
nov.
2017

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

"Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată." Thomas Edison

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la "Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare".

Exercițiul 1 :

Unghiul $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente și complementare. Știind că $m(\widehat{MON})$ este $\frac{3}{2}$ din $m(\widehat{NOP})$ să se calculeze $m(\widehat{NOP})$ și $m(\widehat{MON})$ ..

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că $m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2$
$\Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ$
$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ$
Înlocuim și aflăm și măsura unghiului $\widehat{MON}$
$m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}}$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ$
$m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})$
$m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ$

Exercițiul 2:

Măsura $m(\widehat{XOY})$ este $\frac{7}{8}$ din măsura suplementului său unghiul $m(\widehat{YOZ})$ . Aflați măsura $m(\widehat{XOY})$ și $m(\widehat{YOZ})$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că: $m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ$
Știm că $m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$
$\Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8$
$\Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ$
Înlocuim și aflăm măsura $m(\widehat{XOY})$ :
$m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ$

Exercițiul 3:

Determinați măsura unghiului $m(\widehat{MON})$ știind că măsura complementului suplementului său este de $63^\circ$ .

Rezolvare:
Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului $\widehat{MON}$ este $63^\circ$ . Scriem matematic această informație:
Notăm suplementul unghiului $\widehat{MON}$ cu $\widehat{NOP}$ și obținem informația:
$m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Notăm complementul unghiului $\widehat{NOP}$ cu $\widehat{NOQ}$ și obținem informația:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{NOQ})=63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ$
Mai știm din enunțul problemei că: $m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Înlocuim $m(\widehat{NOP})=27^\circ$ și obținem:
$m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ$

Succes!

Daca te ajuta poti descarca lecția in format pdf de aici: Unghiuri-Complementare-Suplementare (3)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
sept.
2017

Planul

categories: Geometrie a VI-a

" Dacă începi astăzi, vei vedea rezultate cu o zi mai devreme decât dacă aștepți până mâine. Începe astăzi! "

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună încă o lecție de Geometrie: Planul.

(mai mult…)

Planul:

Ni-l imaginăm ca o suprafață netedă, întinsă la nesfârșit în toate direcțiile, alcătuită din puncte.

Îl notăm cu o literă din alfabetul grecesc: $\alpha, \beta, \gamma, \Delta ,\Psi , \Omega .............$ , sau cu trei litere mari într-o paranteză rotundă cu condiția să reprezinte trei puncte necoliniare ce-i aparțin (ABC).

Pozițiile Relative A Unui Punct Față De Un Plan:

Punct Interior unui plan:

Punct Exterior unui plan:

Dreaptă inclusă în plan:

Dacă o dreaptă d are toate punctele într-un plan $\alpha$ , atunci dreapta este inclusă în planul $\alpha$ . Se notează: $d \subset \alpha$ .

Observație:

Dacă $A \in \alpha$ și $B \in \alpha$ $\Rightarrow AB \subset \alpha$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor

dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

18
aug.
2017

Criteriile de divizibilitate

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide."

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția "Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural". Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol "Criteriile de divizibilitate" .

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

08
aug.
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$ Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$ Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$ Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$ Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$ Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ . Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ . Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$ Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$ Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$ Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$ Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ? Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$ Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$ Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
nov.
2016

Exerciții rezolvate la formulele de calcul prescurtat

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul anterior ţi-am prezentat "Formulele de Calcul Prescurtat" pentru numere reale.

Dragul meu părinte, ţi-am spus că aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte? Aceste rapoarte de numere compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte)

EXERCIŢIUL 1: Folosind formula pentru pătratul sumei sau diferenţei a doi termeni, calculaţi:

a) $(x+1) ^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=+1$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot (+1)+(+1)^{2}$

$(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1$

b) $(x - 2)^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=-2$ . Aplicând formula obţinem:

$(x - 2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2 +(-2)^{2}$

$(x - 2)^{2}=x^{2}-4 x +4$

c) $(2x+\sqrt{3})^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=\sqrt{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$

$(2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3$

d) $(5x-\sqrt{2})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=5x$ şi $b=\sqrt{2}$ . Aplicând formula obţinem:

$(5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}$

$(5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2$

e) $(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{3}x$ şi $b=\frac{1}{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}$

f) $(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{7}x$ şi $b=\frac{7}{4}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}$

f) $(x+7)(x-7)$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=7$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+7)(x-7)= x^{2}-7^{2}$

$(x+7)(x-7)= x^{2}-49$

EXERCIŢIUL 2: Efectuaşi calculele :

a) $(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}=$

b) $(x-\sqrt{2}) ^{2}-(\sqrt{2}x+1) ^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

23
oct.
2014

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Să se efectueze:

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=
Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=
Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

1320 + ( 4544– 1645)=
Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

1320 + ( 4544 – 1645)=

1320 + 2899=

Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

1320 + 2899=
4219 Răspuns corect

Exerciţiul 2: Să se efectueze:

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=
Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=
Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

2307 + (3702 + 2220)=
Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

2307 + (3702 + 2220)=

2307 + 5922=
Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

2307 + 5922=
8229 Răspuns corect

Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

(320 + x) · 15 = 5100 / : 15

(320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

(320 + x ) · 1= 340
Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

(320 + x ) · 1= 340

320 + x= 340

Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x= 340 / (- 320 )

320 + x - 320= 340- 320

Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x - 320= 340- 320
x = 20

x = 20 Răspuns corect

Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

Rezolvare primul mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)

15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120

15 · (10 · x – 11 ) = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15

15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15

1 · (10 · x – 11 ) = 9

Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · a – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

15 · a – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · a – 120 = 15 / (+120)

15 · a– 120 + 120 = 15 + 120

15 · a = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · a = 135 / :15

15 · a : 15 = 135 : 15

1 · a = 9

a = 9

Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

22
oct.
2014

Ordinea Efectuării Operaţiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(mai mult…)

Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

Înmulţirea este o adunare repetată.

Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4 (4 se adună de 3 ori)

Împărţirea este o scădere repetată.

Exemplu: 12 : 4 = 12 - 4 - 4 - 4 (4 se scade de 3 ori)

Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu: 5 x 12 + 7 - 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

220 - (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

               145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

            145 + 655133 =

655278 Răspuns corect

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

(123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

(123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

(49175 – 2785)· 10=

Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

(49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

    463900 Răspuns corect.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

19
aug.
2014

Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, la lecţia „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mediu, dar şi câteva cu un grad de dificultate ridicat în care voi aplica atât propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” dar şi propietăţile de la „Adunarea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Ştiind că : x·y=236 şi z=123. Calculaţi: ( x·y)·z=? şi y·(z ·x)=?

Rezolvare:

( x·y) ·z=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

( x·y) ·z= x·y ·z =236 · 123=29 028

y·(z ·x)=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

y·(z ·x)= y·z ·x = x·y ·z=236 ·123=29 028

RĂSPUNS CORECT: 29028

EXERCIŢIUL 2 : Se ştie că: x + y = 29 şi z =18. Calculaţi : x·z+ y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

Trebuie să calculăm : x·z+ y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

x·z+ y·z=z·(x+y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

18·29=522

RĂSPUNS CORECT: 522

EXERCIŢIUL 3 : Se ştie că: x-y=12 şi z=10. Calculaţi: x·z- y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

Trebuie să calculăm : x·z - y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

x·z- y·z=z·(x-y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

10·12=120

RĂSPUNS CORECT: 120

EXERCIŢIUL 4: Rezolvaţi ecuaţia şi aflaţi valoarea lui „x”:

x+2x+3x+...........+100x=50500

Rezolvare:

x+2x+3x+...........+100x=50500

x+2x+3x+...........+98x+99x+100x=50500

Observăm că între termeni adunării putem să scoatem factor comul termenul „x”. Asftel obţinem:

x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500

Am obţinut o necunoscută înmulţită cu o paranteză, iar în paranteză avem Suma Gauss a primelor 100 de numere naturale. Un astfel de exerciţiu am prezentat în postul la „Aplicaţii la adunarea numerelor naturale” .Astfel în loc de:

x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500 putem scrie:

x·(1+100+2+99+3+98+...........)=50500.

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

x·[(1+100)+(2+99)+(3+98)+...........)]=50500.

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 101, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

x·(101+101+101+...........+101)=50500.

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 100:2 termeni, adică 50 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 50 de termeni de 101.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 101 adunat de 50 de ori care îl putem scrie astfel:

x·(101·50)=50500.

x·5050=50500. /:5050

Obţinem astfel :

x=50500: 5050

x=10

RĂSPUNS CORECT: x=10

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 5: Dacă x+y=8 şi y+2z=35 sp se calculeze: 5x+13y+16z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte şi acest exerciţiu pare un exerciţiu dificil la prima vedere însă este doar un exerciţiu în care trebuie să aplicăm proprietăţile de la „Adunărea a două numere naturale” şi proprietăţile de la ”Inmulţirea a două sau mai multe numere naturale”.

Observăm că: 5x+13y+16z=?

Pentru că noi cunoaştem: x+y=8 şi y+2z=35 observăm în ecuaţia pe care o avem noi de calculat că putem face câteva artificii matematice care nu ne vor degrada rezultatul şi care ne sunt permise datorită proprietăţilor de la „Adunărea a două numere naturale”.

Astfel pe „13y” îl putem scrie ca: 5y+8y şi obţinem:

5x+5y+8y+16z=?

Observăm că între primii doi termeni putem scoate factor comun pe 5, iar între ultimii doi termeni putem scoate factor camun pe 8, obţinem astfel:

5(x+y)+8(y+2z)=?

Dar noi ştim din enunţul exerciţiului ca x+z=8 şi y+2z=35. Înlocuim în ecuaţia pe care o avem de calculat şi obţinem:

5 · 8 + 8· 35 = ?

Îl scoatem factor comun pe 8 şi obţinem:

8·(5 + 35) = ?

8·40 = 320

RĂSPUNS CORECT: 320

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !
Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

12
iul.
2014

Exerciții Rezolvate la Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.

categories: Mulţimea numerelor întregi

La această lecţie vom recapitula din anii trecuţi câteva noţiuni pe care le vom aplica în exerciţii simple la lecţia „ Mulţimi. Operaţii cu Mulţimi.”

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Enumeraţi elementele mulţimii: $A=\left \{ x/x\in N,x<8 \right \}$

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „A” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „x”, ţinând cont de faptul că:

„x” este un număr natural;

„x” este strict mai mic decât 8, adică poate lua toate valorile de la 0 la 7, fără a lua valoarea 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „x” poate lua următoarele valori: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Obţinem astfel mulţimea: $A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}$

Răspuns corect: $A=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7 \right \}$

EXERCIŢIUL 2:

Enumeraţi elementele mulţimii: $B=\left \{ y/y\in N^{{*}},1\leq y<9 \right \}$

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „B” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „y”, ţinând cont de faptul că:

„y” este un număr natural nenul (nu poate lua valoarea 0 deoarece avem în

enunţul problemei condiţia $y\in N^{{*}}$ , care este mulţimea numerelor naturale mai puţin valoarea 0);

„y” este mai mare sau cel mult egal cu 1 şi strict mai mic decât 9, adică „y” poate lua toate valorile cuprinse între 1 şi 8.

Răspunsul corect în acest caz este că: „y” poate lua următoarele valori: 1,2,3,4,5,6,7,8.

Obţinem astfel mulţimea: $B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}$

Răspuns corect : $B=\left \{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}$

EXERCIŢIUL 3:

Enumeraţi elementele mulţimii: $D=\left \{ z/z\in N,2\leq 2z-6<14 \right \}$

Rezolvare:

Exerciţiul ne cere să găsim elementele mulţimii „D” care este formată din toate valorile pe care le poate lua necunoscuta „z”, ţinând cont de faptul că:

„z” este un număr natural ;

pentru a afla intervalul de valori pe care îl poate lua necunoscuta „z”, este necesar să rezolvăm inecuaţia: $2\leq 2z-6<14$ .

Să rezolvăm inecuaţia: $2\leq 2z-6<14$

Pentru a-l elimina pe 6 din inecuaţie ne folosim de opereţia inversă scăderii şi anume operaţia de adunare şi îl adunăm pe 6 în toate părţile inecuaţiei, astfel: $2+6\leq 2z-6+6<14+6$

Astfel obţinem următoarea inecuaţie : $8\leq 2z<20$

Pentru că pe noi ne interesează valoarea pe care o poate lua necunoscuta „z”, trebuie să împărţim întreaga inecuaţie la 2 şi astfel obţinem: $8\leq 2z<20 / : 2$