examen matematica - Matematica Mai Usoara

Etichetă: examen matematica

23
feb.
2022

Simulare Evaluare Nationala Ianuarie 2022

categories: Evaluare Nationala 2022

„Dacă vrei să ai succes în viaţă, fă din perseverenţă, prietena ta intimă.”

Joseph Addison

Dragul meu bine ai venit ! Te invit sa vizionezi rezolvarea la Simularea pentru Evaluare Nationala Ianuarie 2022 dată la Constanta .

Am rezolvat si explicat Simularea pentru Evaluare Nationala Ianuarie 2022 dată la Constanta pentru absolventii claselor a VIII-a anul scolar 2021-2022.

Gasesti testul in format pdf aici : http://mathmoreeasy.ro/wp-content/uploads/2022/02/Subiect-Simulare-Constata-Ianuarie-2022.pdf

Gasesti rezolvarea in format pdf aici : http://mathmoreeasy.ro/wp-content/uploads/2022/02/Simulare-Constanta-Ianuarie-2022.pdf

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

05
feb.
2019

Exerciții rezolvate la Amplificarea Rapoartelor

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

"Zadarnic vei vrea să-l înveţi pe cel ce nu e dornic să fie învăţat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăţa."

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Amplificarea Rapoartelor. (mai mult…)

Exercițiul 1: Amplificați cu $x \in R^{*}$ rapoartelor:

a) $\frac{13}{x}$

b) $-\frac{11x+3}{x^2-1}$

Rezolvare:

a) $^{x)}_\textrm{\frac{13}{x}}={\frac{13\cdot x}{x\cdot x}}={\frac{13x}{x^2}}$

Amplificarea raportului algebric $\frac{13}{x}$ constă în înmulțirea atât a numărătorului cât si a numitorului cu expresia algebrică $x$ .

b) $_{{^{x)}\textrm{-\frac{11x+3}{x^2-1}}$ $=-\frac{x\cdot (11x+3)}{x\cdot (x^2-1)}}=$ $-\frac{(11x^2+3x)}{ (x^3-x)}}$

Exercițiul 2: Amplificați cu $x+1$ următoarele rapoarte, oricare ar fi $x\in R\setminus\left \{ -1 \right \}$ :

a) $\frac{2-5x}{7x-3}$

b) $\frac{x-1}{x+1}$

c) $\frac{x-1}{4x^2+x+1}$

Rezolvare:

a) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{2-5x}{7x-3}}$

Amplificarea raportului algebric $\frac{(2-5x)}{(7x-3)}$ constă în înmulțirea atât a numărătorului $(2-5x)$ cât si a numitorului $(7x-3)$ cu expresia algebrică $x+1$ .

$_{}^{x+1)}\textrm{\frac{2-5x}{7x-3}}$ $=\frac{(x+1)\cdot (2-5x)}{(x+1)\cdot (7x-3)}=$

Desfacem parantezele atât la numărător cât și la numitor înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză tinând cont de semne:

$=\frac{(x+1)\cdot (2-5x)}{(x+1)\cdot (7x-3)}=\frac{(x\cdot 2-x\cdot 5x+1\cdot 2-1\cdot 5x)}{(x\cdot 7x-x\cdot 3+1\cdot 7x-1\cdot 3)}$ $=\frac{( 2x-5x^2+ 2-5x)}{( 7x^2- 3x+7x-3)}$

Socotim termenii asemenea și obținem:

$=\frac{( 2x-5x^2+ 2-5x)}{( 7x^2- 3x+7x-3)}=\frac{( -5x^2-3x+ 2)}{( 7x^2+4x-3)}$ .

b) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{x-1}{x+1}}={\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}}=$

Aplicăm formulele de calcul prescurtat : $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$ pentru numărător și $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ pentru numitor și obținem:

$={\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}}={\frac{x^2-1^2}{x^2+2\cdot x \cdot 1+1^2}}=$ ${\frac{x^2-1}{x^2+2 x +1}}$

c) $_{}^{x+1)}\textrm{\frac{x-1}{4x^2+x+1}}$ $= {\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(4x^2+x+1)}}=$ ${\frac{x^2-1^2}{x\cdot 4x^2+x\cdot x+x\cdot 1+1\cdot 4x^2+1\cdot x+1\cdot 1}}=$ ${\frac{x^2-1}{ 4x^3+x^2+x+4x^2+ x+1}}=$ ${\frac{x^2-1}{ 4x^3+5 x^2+2x+1}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Amplificarea Rapoartelor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:

Amplificarea rapoarte

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

31
ian.
2019

Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi

categories: Numere Întregi

"Victoriile adevărate nu sunt ale celor puternici, ci ale celor perseverenţi."

Napoleon Bonaparte

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva Exerciții ușoare rezolvate la Adunarea și Scăderea Numerelor Întregi.

Exercițiul 1: Calculați:

a) $-15 +4=$

b) $-12-6+8=$

c) $13-20-18+6=$

d) $17-(+19)=$

e) $-30+(-3)-(-13)=$

Rezolvare:

a) $-15+ 4=-11$

Dacă numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere.

b) $-12-6+8=$

Calculez primele două numere în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-12-6+8=- 18+8=$

Pentru că numerele au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$- 18+8=-10$

c) $13-20-18+6-4+15=$

Pentru că în fața numărului 13 nu este nici un semn asta înseamnă că este semnul +.

$+13-20-18+6-4+15=$

Efectuez calculele în ordinea în care sunt scrise. Pentru că primele două numere au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-7-18+6-4+15=$

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-25+6-4+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-19-4+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$-23+15=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$-23+15=-8$

d) $(-30)+(-3)-(-13)=$

Pentru că primele două numere obținute au același semn, păstrez semnul și între numere efectuez operația de adunare. Astfel obțin :

$(-30)+(-3)-(-13)=(-33) -(-13)$

Observ că în fața lui 13 am două semne $-(-13)$ . Mai întâi reduc la un singur semn aplicând regula : $(-)\cdot (-)=+$ . Astfel obțin:

$(-33)-(-13)=(-33)+13=$

Pentru că următoarele două numere obținute au semne diferite păstrez semnul de la numărul cel mai mare și între numere efectuez operația de scădere. Astfel obțin :

$(-33)+13=-20$ .

Exercițiul 2: Să se efectueze:

a) $7-[3-(10-15)]=$

b) $-36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=$

Rezolvare:

a) $7-[3-(10-15)]=$

Mai întâi rezolvăm paranteza rotundă. Astfel obținem:

$7-[3- (-5)]=$

Pentru că în paranteza pătrată avem două semne succesive mai întâi stabilim semnul în paranteza pătrată. Știm că $(-)\cdot (-) =+$ și transform paranteza pătrată în paranteză rotundă astfel obținem:

$7-[3- (-5)]=7-(3+5)=7-8=-1$

b) $-36 + \left \{ -2+[6+(-18-16)] \right \}=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

$-36 + \left \{ -2+[6+(-34)] \right \}=$

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula $(-)\cdot (+)= (-)$ . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă și acolada în pătrată. Astfel obținem:

$-36+\left [ -2+(6-34) \right ]=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă. Astfel obținem:

$-36+\left [ -2+(-28) \right ]=$

Stabilim semnul în paranteza pătrată tinând cont de regula $(-)\cdot (+)= (-)$ . În același timp transform paranteza pătrată în rotundă. Astfel obținem:

$-36+( -2-28 )=$ $-36+( -2-28 )= -36+ (-30)=-36-30=-66$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Adunarea și Scăderea Numerelor Intregi pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Adunarea numerelor intregi

Succes!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

categories: Mulţimea numerelor naturale

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

09
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c)

categories: Mulţimea numerelor naturale

„Un om educat se deosebeşte de un om needucat, asa cum un om viu se deosebeşte de un om mort.”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2^1\cdot 3^2$

Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor comuni și necomuni luați o singură dată la puterea cea mai mare.

$[24, 12, 18]=2^3\cdot 3^2=8 \cdot 9=72$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$28=2^2\cdot 7$

$147=3\cdot 7^2$

$63=3^2\cdot 7$

$[28, 147, 63]=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2=4\cdot 9\cdot 49=1764$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240= 2^4\cdot 3\cdot 5$

$360= 2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$[120, 240, 360]= 2^4\cdot 3^2\cdot 5=16 \cdot 9\cdot 5=720$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$121= 11^2$

$330= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49= 7^2$

$[121, 330, 49]= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2\cdot 11^2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 49\cdot 121= 177870$

Exercițiul 2: Aflați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit pe rând la 6, 16 și 12 dă de fiecare dată restul 5.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ :\ \ \ 6=c_{{1}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ . Aplicăm teorema împărțirii cu rest și obținem: $x =6\cdot c_{{1}} + 5$

Mai știm: $x\ \ \ :\ \ \ 16=c_{{2}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=16\cdot c_{{2}}+ 5$

$x\ \ \ :\ \ \ 12=c_{{3}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=12\cdot c_{{3}}+ 5$ .

Scădem din fiecare relație câte un 5 și obținem:

$\Rightarrow x-5=6\cdot c_{{1}}$

$\Rightarrow x-5=16\cdot c_{{2}}$

$\Rightarrow x-5=12\cdot c_{{3}}$

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 6, 16 și 12.

Mai întâi descompunem în factori primi numerele:

$6=2\cdot 3$

$16=2^4$

$12=2^2 \cdot 3$

$\left [ 6,16,12 \right ]= 2^4 \cdot 3=16\cdot 3=48$

Obținem astfel:

$x-5 = 48 | \ \ \ +5$ $\Rightarrow x=48+5$ $\Rightarrow x=53$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Cel Mai Mic Multiplu Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru CMMMC

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

12
aug.
2018

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

categories: Mulţimea numerelor naturale

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”

Mark Twain

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2\cdot 3^2$

$(24,12,18)=2\cdot 3=6$

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică.

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1.

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

$28=2^2 \cdot 7$

$147=3 \cdot 7^2$

$63=3^2 \cdot 7$

$(28, 147, 63)=7$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240=2^4\cdot 3\cdot 5$

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

$121=11^2$

$330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49=7^2$

$(121, 330, 49)= 1$

Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare: Descompunem în factori primi numerele.

$1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7$

$3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7$

$6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7$

$(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ = $=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260$

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

$2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$ $\Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 7=4\cdot 7=28$ $\Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 5=9\cdot 5=45$ $\Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63$ $\Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180$ $\Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

Exercițiul 3: Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:

$(a,b)=25$ și $a-b=50$ $a; b \gt 101$ ; $a;b\lt 199$

Rezolvare:

Dacă $(a; b )=25$ $\Rightarrow a= 25\cdot x$ și $b= 25\cdot y$ iar $(x,y)=1$ .

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

$25\cdot x-25\cdot y=50$

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

$25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25$

$(x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25$

$x-y=2$

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi $125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ ., iar cel mai mare număr este $175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ .

Din această informație deduce că: $x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75$

Pentru $x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow$ această variant nu este convenabilă.

Pentru $x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125$

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

$a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n$ și $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Rezolvare:

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n$

Observăm că $2^n\cdot 3^n$ se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 66$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

Calculăm $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1$

Observăm că $35^n$ se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

$b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)$

$b=35^n\cdot (70+25+7)$

$b=35^n\cdot 102$

$b=(5\cdot 7)^n\cdot 102$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Descompunem 102 și obținem:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17$

$(a,b)= 2\cdot 3= 6$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

07
aug.
2018

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare:

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15.

Rezolvare:

$x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}$

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

$x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4$

$x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6$

$x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8$

$x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18$

Soluție: $x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}$

Exercițiul 3: Determinați:

a) $D_{{28}} \cup D_{{12}}$

b) $D_{{28}} \cap D_{{12}}$ ;

Rezolvare:

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

$D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

$D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A \cup B$ , formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b) Intersectăm cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}$

Reamintim că Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A\cap B$ , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4: Se consider inecuația $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare:

Rezolvăm inecuația: $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

$4\cdot x +x \leq 39 +1$

$5\cdot x \leq 40$

$5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5$

$x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5$ $\Rightarrow x \leq 8$ $\Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}$

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

$D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

$\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

$M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}$

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: $\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

29
iun.
2018

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

categories: Numere Naturale

"Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!"

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers!

(mai mult…)

Exercițiul 1: $3(x+2) - 7=14$

Rezolvare: Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

$3(x+2) - 7=14$ $/ +7$ $\Rightarrow$ $3(x+2)=14+7$ $\Rightarrow$

$3(x+2)=21$ $/ :\ \ \ \ 3$ $\Rightarrow$ $x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7$ $\Rightarrow$

$x+2=3$ $/ -2$ $\Rightarrow$ $x=3-2$ $\Rightarrow$ $x=1$

Exercițiul 2: $90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul -

$90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$ $/-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122$ $/\cdot 4$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488$ $/ - 18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470$ $/ \ \ \ :\ \ \ 2$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235$

105 +5a =235 / -105

5a =235 -105

5a = 130

a = 130 : 5

a = 26

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

24
iun.
2018

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

categories: Funcții

"Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe."
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția $f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R ,$ $f (x)=-2x+1$ .

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real $a \in R,$ știind că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma $S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)$

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ .

$\cap OX$ : $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-2\cdot x+ 1=0$

$\Rightarrow$ $-2\cdot x=-1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{-1}{{-2}}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{1}{{2}}$ $\Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)$

Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $x=0$
$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1$
$B(0\ \ ;\ \ \ 1)$

b) Pentru a arăta că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : $f(2a-1)= a-2$ adică în forma funcției f(x) înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

$f(2a-1)= a-2$ $\Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2$ $\Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2$

$\Rightarrow -4a+3 = a-2$

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

$\Rightarrow -4a-a=-2-3$ $\Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)$ $\Rightarrow a= 1$

c) $S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)$

Calculăm $f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011)$ și observăm că obținem Suma Gauss.

$f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1$

$f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1$

$f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3$

. . . . . . .. .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

$f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021$

Obținem :

$S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021$ $\Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)$

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

$n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)$

$S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 2012]$

$S=- 4 044 120$

Exercițiul 2:

Se consideră funcția $f : R\rightarrow R$ , $f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul $O(0,0)$ la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

a) $\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow$ $-\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$ $x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }$

$\Rightarrow$ $x=2$ $\Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )$

$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$\Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})$

b) Calculăm $A_{\bigtriangleup AOB }$ . Observăm că $\bigtriangleup AOB$ este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

$A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}$

c) Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

$A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}$ $= \frac{AB \cdot OM}{{2}}$

Calculăm AB cu formula distanței dintre punctele $A(2,0)$ și $B(0, 2\sqrt{3})$ astfel:

$AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$x_{{A}}=2$ și $y_{{A}}=0$ iar $x_{{B}}=0$ și $y_{B}=2\sqrt{3}$ , înlocuim in formula și obținem:

$AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4$

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

$2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2$

$2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM$ $\Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m$

$\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Graficul unei funcții pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

18
mart.
2018

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

categories: Fracții Ordinare, Fracții zecimale

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) $\frac{31}{9}$ ; b) $\frac{517}{99}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{31}{9}$ Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{31}{9}=3,(4)$ și citim trei virgulă perioadă patru.

b) $\frac{517}{99}=$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{517}{99}=5,(2)$ .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) $\frac{233}{45}$ ; b) $\frac{553}{60}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{233}{45}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{233}{45}=5,1(7)$ și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) $\frac{553}{60}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{553}{60}=9,21(6)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”