Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”

Mark Twain

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2\cdot 3^2$

$(24,12,18)=2\cdot 3=6$

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică.

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1.

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

$28=2^2 \cdot 7$

$147=3 \cdot 7^2$

$63=3^2 \cdot 7$

$(28, 147, 63)=7$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240=2^4\cdot 3\cdot 5$

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

$121=11^2$

$330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49=7^2$

$(121, 330, 49)= 1$

Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare: Descompunem în factori primi numerele.

$1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7$

$3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7$

$6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7$

$(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ = $=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260$

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

$2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$ $\Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 7=4\cdot 7=28$ $\Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 5=9\cdot 5=45$ $\Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63$ $\Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180$ $\Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

Exercițiul 3: Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:

$(a,b)=25$ și $a-b=50$ $a; b \gt 101$ ; $a;b\lt 199$

Rezolvare:

Dacă $(a; b )=25$ $\Rightarrow a= 25\cdot x$ și $b= 25\cdot y$ iar $(x,y)=1$ .

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

$25\cdot x-25\cdot y=50$

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

$25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25$

$(x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25$

$x-y=2$

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi $125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ ., iar cel mai mare număr este $175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ .

Din această informație deduce că: $x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75$

Pentru $x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow$ această variant nu este convenabilă.

Pentru $x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125$

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

$a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n$ și $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Rezolvare:

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n$

Observăm că $2^n\cdot 3^n$ se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 66$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

Calculăm $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1$

Observăm că $35^n$ se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

$b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)$

$b=35^n\cdot (70+25+7)$

$b=35^n\cdot 102$

$b=(5\cdot 7)^n\cdot 102$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Descompunem 102 și obținem:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17$

$(a,b)= 2\cdot 3= 6$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Share on Facebook