Etichetă: puteri

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici:  https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:
Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:
a)  (a,b)=6     și    a\cdot b=468
b)  (a,b)=15   și   [a,b]=540
c)  (a,b)=14  și   a + b=7
d)  [a,b]=180  și  a\cdot b=2160
Rezolvare:
  • a)   (a,b)=6     și    a\cdot b=468

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 6 \Rightarrow a=6\cdot x și  b=6\cdot y , iar ( x, y )=1 .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

6\cdot x\cdot 6\cdot y=468 \Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36 \Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36 \Rightarrow x\cdot y=13

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I :   x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6   și    y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78

Cazul II:   x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78   și    y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6

  • b)   (a,b)=15 și [a,b]=540

Știm formula: (a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b. Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

15 \cdot 540=a\cdot b \Rightarrow a\cdot b= 8100.

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 15 \Rightarrow a= 15 \cdot x și \Rightarrow b= 15 \cdot y , iar ( x, y )=1 .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: 15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100 \Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225\Rightarrow x\cdot y=36.

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I:   x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15 și  y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540

Cazul II:  x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60 și   y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135

Cazul III:   x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135  și   y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60

Cazul IV:  x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540  și  y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15

În acest caz nu putem lua perechile de numere (2\ \ \ ;\ \ \ 18) și (18\ \ \ ;\ \ \ 2) deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

  • c) (a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14 și  a + b=7

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 \Rightarrow a și b sunt multipli lui 14  \Rightarrow a= 14 \cdot x și  \Rightarrow b= 14 \cdot y ,   iar ( x, y )=1 .

Înlocuim în a și b și obținem:

14 \cdot x+ 14\cdot y=98\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14 \Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14\Rightarrow (x+ y) =7

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I:   x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14  și  y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84

Cazul II:  x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28  și   y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70

Cazul III:  x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42 și  y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56

Cazul IV:  x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56 și  y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42

Cazul IV:  x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70 și  y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28

Cazul V:  x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84  și  y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14

 

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul  42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42 \Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42

x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50  \Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50.

Observăm  în ambele relații  că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6 \Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48 \Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)

\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6   \Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56  \Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

48= 2^4 \cdot 3

56= 2^3 \cdot 7

[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336

\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c  pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”
Mark Twain
Dragul meu părinte bine te-am regăsit!
Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții  la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri. 

  • a) 24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18

24=2^3\cdot 3

12=2^2\cdot 3

18=2\cdot 3^2

(24,12,18)=2\cdot 3=6

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică. 

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1. 

b) 28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63

28=2^2 \cdot 7

147=3 \cdot 7^2

63=3^2 \cdot 7

(28, 147, 63)=7

c) 120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360

120=2^3\cdot 3\cdot 5

240=2^4\cdot 3\cdot 5

360=2^3\cdot 3^2\cdot 5

(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120

d) 121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49

121=11^2

330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11

49=7^2

(121, 330, 49)= 1

  • Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare:  Descompunem în factori primi numerele.

1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7

3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7

6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7

(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7==4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

2^2\cdot 5=4\cdot 5=20  \Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 7=4\cdot 7=28 \Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 5=9\cdot 5=45 \Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63 \Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180 \Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \

Exercițiul 3:  Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile: 

(a,b)=25 și a-b=50      a; b \gt 101;    a;b\lt 199

Rezolvare: 

Dacă (a; b )=25  \Rightarrow a= 25\cdot x și  b= 25\cdot y iar (x,y)=1.

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

25\cdot x-25\cdot y=50

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25

 (x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25

 x-y=2

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi 125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 ., iar cel mai mare număr este 175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25 .

Din această informație deduce că: x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75

Pentru x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow această variant nu este convenabilă.

Pentru x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n și b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Rezolvare: 

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n

a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n

Observăm că 2^n\cdot 3^n se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)

a=2^n\cdot 3^n\cdot 66

a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

Calculăm b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1

b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1

Observăm că 35^n se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)

b=35^n\cdot (70+25+7)

b=35^n\cdot 102

b=(5\cdot 7)^n\cdot 102

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 102

Descompunem 102 și obținem:

a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11

b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17

(a,b)= 2\cdot 3= 6

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun  pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate  la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile:    \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a)  \frac{3}{48}\frac{7}{72} ;  \frac{5}{56} ;  \frac{1}{45};

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

48=2^{4} \cdot 3

72=2^{3} \cdot 3^{2}

56=2^{3} \cdot 7

45=3^{2} \cdot 5

Pentru a determina  c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare.  [48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7   \Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105 \Rightarrow Prima fracție o amplificăm cu 105.

5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70  \Rightarrow A doua  fracție o amplificăm cu 70

5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90  \Rightarrow A treia  fracție o amplificăm cu 90

5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112 \Rightarrow A patra  fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;     \Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}

\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

 

 

 

 

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) \frac{31}{9}   ;   b)  \frac{517}{99}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) \frac{31}{9}   Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{31}{9}=3,(4) și citim trei virgulă perioadă patru.

b)   \frac{517}{99}=

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{517}{99}=5,(2) .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) \frac{233}{45} ;   b) \frac{553}{60}  ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a)  \frac{233}{45}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul    \frac{233}{45}=5,1(7) și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) \frac{553}{60}

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul     \frac{553}{60}=9,21(6).

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

"Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde."
Eric Berne
Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la "Factorul comun la Puteri".

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}

b) 2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

c) 8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

d) 3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}

e) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

(mai mult…)

  • Rezolvare: 
  • a) 3^{96}+3^{98}+3^{100}
  • Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că 3^{96} este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe 3^{96} și obținem:

3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})

Scădem puterile și obținem:

3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

3^{96}\cdot(1+9+81)=3^{96}\cdot91

  • b)      2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}

Observăm că  2^{47} este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe 2^{47} și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})

Scădem puterile și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)

Efectuăm  înmulțirile și obținem:

2^{47}\cdot(2+6+8)=

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

2^{47}\cdot 16=

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca 2^{4} și obținem

2^{47}\cdot2^{4}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

2^{47+4}=2^{51}

  • c)   8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}

Observăm că 8^{297} este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe 8^{297} și obținem:

8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})

Scădem puterile și obținem:

8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1) =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

  • 8^{297}\cdot(512-192-64) =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

8^{297}\cdot 256 =

Știm că putem scrie 8=2^3 și 256=2^8 și obținem:

(2^3)^{297}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

2^{3\cdot297}\cdot 2^8=2^{891}\cdot 2^8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

2^{891+8}=2^{899}

  • d)  3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării 3^{2n},  îl dăm factor comun și obținem:

3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

3^{2n}\cdot(9+21-6)=

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

3^{2n}\cdot 24=3^{2n}\cdot 3\cdot8=

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

3^{2n+1}\cdot8

  • d) 6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri  transformăm bazele pe 6 îl scriem 6=2\cdot3 , pe 4=2^2, 9=3^2 , pe  18=2\cdot3^2  și obținem:

(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}

2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2

2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2

Observăm că se repeta 2^{2n}\cdot3^{2n} și îl dăm factor comun, astfel obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=(6)^{2n+1}\cdot331

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

"Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes."

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) 120

b) 3528;

c)36000

Rezolvare: 

  • a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin 2\cdot 5
  • Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
  • Deci 120 descompus în factori primi este: 120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1
  • b) 3528

  • Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
  • Pentru că 441 este un număr impar și  nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
  • 4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3
  • Mai departe împărțim prin 3.
  • Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
  • Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: 3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2
  • c) 36000
  • Pentru că 36000 se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu  1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3
  • Deci obținem:
  • Astfel putem scrie 36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3

 

Exercițiul 2 :

Determinați  numerele naturale "m", "n" și "p"astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) 36=2^n \cdot 3^p

b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

descompunere in factori primi
  • Obținem astfel:
  • a) 36=2^n \cdot 3^p
  •  36=2^2\cdot 3^2 \Rightarrow n=2 și  p=2
  • b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1 \Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2 și m=1
  • c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2 și m=1

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".  

Exerciții rezolvate la Pătrate Perfecte!

"Nu poți împinge pe nimeni să urce pe o scară dacă nu este dispus să o urce singur "

Andrew Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am prezentat cateva "Exerciții Rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural". Astăzi te invit să rezolvăm și să explicăm câteva exerciții la Pătrate Perfecte. Să vedem cum putem arăta că un număr foarte mare poate fi sau nu pătrat perfect!
 
Exercițiul 1: 
Arătați că numărul a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002) este pătrat perfect.
  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "a"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că în paranteză avem  Suma Gauss a primelor 2002 numere naturale consecutive așa că vom aplica formula de calcul a lui Gauss.
  • a=2003 + 2\cdot (1+2+3+................+ 2002)
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot (2002+1)\ : \ 2]
  • a=2003 + 2\cdot [2002\cdot 2003 \ : \ 2]
  • Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin putem efectua mai întâi operația de împărțire.
  • a=2003 + 2\cdot [2002\ \ : \ 2 \cdot 2003]
  • a=2003 + 2\cdot 1001 \cdot 2003
  • a=2003 + 2002 \cdot 2003
  • Dăm factor comun pe 2003.
  • a=2003\cdot (1 + 2002)
  • a=2003\cdot 2003
  • a=2003^2.
  • \Rightarrow numarul \ este pătrat perfect.
Exercițiul 2: 
Arătați că numărul  a=81+81 \cdot 2+ 81 \cdot 3+.....................+81 \cdot 49 este pătrat perfect.
  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "a" este pătrat perfect trebuie să arătam că numărul "n"se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că 81 se repetă și îl putem da factor comun.
  • a=81\cdot (1+ 2+ 3+.....................+49).
  • În paranteză obținem   Suma Gauss a primelor 49 numere naturale consecutive așa că vom aplica metoda de calcul a lui Gauss.
  • a=81\cdot [49 \cdot(49+1) \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot [49 \cdot 50 \ \ : \ 2 ]
  • a=81\cdot 49 \cdot 25
  • a=9^2\cdot 7^2 \cdot 5^2
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri și obținem:
  • a=(9\cdot 7 \cdot 5)^2
  • a=315^2
Exercițiul 3:  
Arătați că numărul   n= 27^9 \cdot 32^{11} \ \ : \ \ 2 - 16^6\cdot 2\cdot 6^{27} este pătrat perfect.
  • Rezolvare:  Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Observăm că pe 27 îl putem scrie ca bază 3, pe 16 și 32 îi putem scrie ca baza 2 iar pe 6 îl putem scrie ca produsul 2\cdot 3
  • n= (3^3)^9 \cdot (2^5)^{11} \ \ : \ \ 2^1 - (2^4)^6\cdot 2^1 \cdot (2\cdot3)^{27}
  • Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:
  • n= 3^{3\cdot9} \cdot 2^{5\cdot 11} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{4\cdot 6}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55} \ \ : \ \ 2^1 - 2^{24}\cdot 2^1 \cdot 2^{27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{55-1} - 2^{24+1+27}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{54} - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 2^2 - 2^{52}\cdot 3^{27}
  • Observăm că se repetă  3^{27} \cdot 2^{52} și îi dăm factor comun.
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (2^2 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot (4 - 1)
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3
  • n= 3^{27} \cdot 2^{52} \cdot 3^1
  • n= 3^{27+1} \cdot 2^{52}
  • n= 3^{28} \cdot 2^{52}
  • n= (3^{14} \cdot 2^{26} )^2 \Rightarrow n este pătrat perfect
Exercițiul 4:  
Arătați că numărul  n= 2^{2011}- 2^{2010}-2^{2009}-2^{2008}  este pătrat perfect.
  • Rezolvare: Pentru a arăta că numărul "n" este pătrat perfect trebuie să arătăm că se poate scrie ca un număr natural la puterea a doua.
  • Aplicând Regulile de Calcul cu Puteri  putem scrie: 2^{2011}= 2^{2008}\cdot 2^{3}2^{2010}= 2^{2008}\cdot 2^{2} și 2^{2009}= 2^{2008}\cdot 2^{1}. Obținem astfel:
  •  n= 2^{2008}\cdot 2^{3} - 2^{2008}\cdot 2^{2} - 2^{2008}\cdot 2^{1} -2^{2008}
  • Observăm că se repetă  2^{2008} și putem sa îl dăm factor comun:
  •  n= 2^{2008}\cdot (2^{3} - 2^{2} - 2^{1} - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot (8 - 4 - 2 - 1)
  •  n= 2^{2008}\cdot 1
  •  n= 2^{2008}
  •   n= (2^{1004})^2 \Rightarrow n este pătrat perfect
Exercițiul 5: 
Arătați că numărul a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002}   nu este pătrat perfect.
  • Rezolvare: Observăm că avem Suma Gauss a puterilor lui 2. Pentru a rezolva acest exercițiu înmultim întreaga expresie matematică cu un 2. 
  • a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} | \ \ \ \cdot2
  • 2\cdot a= 2\cdot 2^{1504} + 2\cdot 2^{1505} + 2\cdot 2^{1506} +..............+2\cdot 2^{2002}
  • 2\cdot a= 2^{1504+1} + 2^{1505+1} + 2^{1506+1} +..............+ 2^{2002+1}
  • 2\cdot a= 2^{1505} + 2^{1506} + 2^{1507} +.............+2^{2002}+ 2^{2003}
  • Scădem cele două relații și obținem:
  • suma gauss a puteror lui 2
  •  a = 2^{2003} - 2^{1504}
  • Pentru a demonstra că numărul  a = 2^{2003} - 2^{1504} nu este pătrat perfect trebuie să arătăm că Ultima cifră a lui a aparține mulțimii: \left \{ 2,3, 7,8 \right \}.
  • Calculăm Ultima cifră a numărului a = 2^{2003} - 2^{1504}
  •  U(a) = U(2^{2003} - 2^{1504})
  •  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})
  • Calculăm  U(2^{2003}) .
  • Mai întâi calculăm puterilelui 2.
  • Observăm că ultima cifră se schimbă din 4 în 4.
  • Împărțim 2003 la 4 și obținem câtul 500 și restul 3.
  •  U(2^{2003})=U(2^{4\cdot 500+3})=U[(2^4)^{500}\cdot 2^3]=U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)
  • Dacă privim atent puterile lui 2 observăm ca ultima cifră a lui 2^4 este 6 și astfel obținem:
  • U[(2^4)^{500}]\cdot U(2^3)= U[U(6^{500})\cdot 8]
  • Știm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifra tot 6.
  • Și obținem: U[U(6^{500})\cdot 8]=U(6 \cdot 8)= U(48)=8
  • Am obținut că  U(2^{2003})=8
  • Calculăm  U(2^{1504}).
  • Împărțim 1504 la 4 și obținem câtul 376.
  •  U(2^{1504})=U(2^{4\cdot 376})=U[(2^4)^{376}]
  • U(2^4)=6\Rightarrow U[(2^4)^{376}]=U(6^{376})=6
  • Am obținut astfel:  U(a) = U(2^{2003}) - U(2^{1504})=8-6=2
  • Știm că ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi 2 \Rightarrow  a= 2^{1504} + 2^{1505} + 2^{1506} +..............+ 2^{2002} nu este pătrat perfect

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."

Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

 Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a)  2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};

b)  21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};

Rezolvare:

  • a) Pentru a calcula  2^{1299}; mai întâi privim atent puterile numărului 2.
Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem:  1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3 \Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3 Atunci putem scrie că: U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)] =U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3) Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că 2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem:  U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8 Consultăm tabelul cu puterile lui 6. Observăm că  6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8 Am obținut că U(2^{ 1299})=8 Calculăm acum pentru U(2^{ 2020})=? Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0 Atunci putem scrie că: U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)] . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 \Rightarrow 2^{0}=1. Am văzut mai sus că  2^{4} are ultima cifră 6 astfel obținem: =U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6 . Am obținut că: U(2^{ 2020}) = 6 b)   21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};
  • Calculăm  U(21^{ 324}) = ?
 U(21^{ 324}) = U(1^{ 324}) Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1.  \Rightarrow U(1^{ 324}) = 1
  • Calculăm  U(19 ^{ 257}) = ?
 U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) = Calculăm puterile lui 9. Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: 257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1 Atunci putem scrie că: U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că 9^2 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem:  U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9 Am obținut că U(19^{ 257}) = 9
  • Calculăm U(17^{ 2020}) = ?
U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020}) = ? Calculăm puterile lui 7. Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: 2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0 Atunci putem scrie că:  U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}] Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că 7^4 are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1 Am obținut că U(17^{ 2020})=1
Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a)  2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024}; b)  41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018}; c)  4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};

Ultima cifră a unui număr natural

"Cu cât un copil a văzut și a înțeles mai mult, cu atât vrea el să vadă și să înțeleagă mai mult." 

Jean Piaget

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am vorbit despre "Pătratul unui număr natural". Astăzi îți propun o nouă lecție care mă ajută să demonstrez dacă un număr natural este pătrat perfect sau nu: "Ultima cifră a unui număr natural".
Șirul de numere: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ............... este șirul 0 ^{2}, 1 ^{2}, 2 ^{2}, 3 ^{2}, 4 ^{2}, 5 ^{2}, 6 ^{2}, .............., n ^{2}, .......... și se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte. Fie x un număr natural. Notăm cu U(x) ultima cifră a numărului x. Să privim cu atenție următorul tabel: Observăm ca ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: 0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9 . Observație:
  • Dacă ultima cifră a unui număr natural este 2, 3, 7\ \ sau \ \ \ 8 atunci acel număr natural nu poate fi pătrat perfect.
  • Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9 acel număr natural este pătrat perfect.
Pentru a afla ultima cifră a unui număr vor avea în vedere următoarele reguli de calcul:
  • U(x+y)=U(U(x)+U(y))
  • U(x\cdot y)=U(U(x)\cdot U(y))
  • U(x^n)=U[(U(x))^n]
Exemple:
  • U(79 +24)=U(U(79) +U(24))=U(9+4)=U(13)=3
  • U(98 \cdot 82)=U(U(98) \cdot U(82))=U(8 \cdot 2)=U(16)=6
  • U(36 ^{89})=U(U(36) ^{89})=U(6^ ^{89})=6
Să analizăm atent următorul tabel:
Puterile numerelor naturale
Observație:
  • Numerele 1,5 \ \ \ si \ \ \ 6 ridicate la orice putere îmi dă ultima cifră 1,5 \ \ \ si \ \ \ respectiv \ \ \ 6 .
  • La numerele 2,3, 7 \ \ \ si \ \ \ 8 se repetă ultima cifră din patru în patru puteri. La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 4, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 2,3,7 sau respectiv 8  ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.
  • Iar la numerele 4 \ \ \ si \ \ \ 9 se repetă ultima cifră din două în două puteri.La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 2, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 4 sau respectiv 9 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.
Exemple: Determinați ultima cifră a numerelor:
  •  2^{{2017}}\ \ \ si \ \ 4^{{2017}}
Rezolvare: 
  • Calculăm pentru  2^{{2017}}. Scriem puterile lui 2.
Puterile lui 2
Observăm ca ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2017 la 4 Obținem astfel 2017\ \ \ : \ \ \ 4 =504 \ \ \ rest \ \ \ 1 Rezultă că U(2^{2017})= U[(2^4)^{2017} \cdot 2^1]=U(2^4)^{2017}\cdot U(2^1) Privind puterile lui 2 observăm că ultima cifră a lui 2^4 este 6, iar ultima cifră a lui 2^1 este 2. Astfel obținem că U(6^{2017})\cdot 2= U(6 \cdot 2) = U(12) = 2
  • Observație: Am precizat mai sus ca 6 la orice putere are ultima cifră egala tot cu 6.
  • Calculăm ultima cifră pentru numărul U(4^{2017})=
Scriem puterile lui 4. Observăm că la numărul 4 ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 2017 la 2 : Obținem astfel: 2017 \ \ \ :\ \ \ 2 = 1008 \ \ \ rest\ \ \ 1 Rezultă că: U(4^{2017})=U[(4^2)^{1008} \cdot 4^1]=U[(4^2)^{1008}] \cdot U(4^1)= Ultima cifră a lui 4^2 este 6 iar ultima cifră a lui 4^1 este 4. Înlocuiesc și obțin: U(6^{1008})\cdot U(4^1)= U(6 \cdot 4)= U(24)= 4. Te invit să exersezi și tu 3 exerciții identice pe care ți le propun în rubrica:
Învăț pentru viitorul meu: Determină ultima cifră a numerelor: 9^{2017}; \ \ \ 3^{2019} ;\ \ \ 8^{2021}.
Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  ! Math More Easy - YouTubehttps:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a V-a

Clasa a V-a"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că de mâine începe perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Se acordă 20 puncte din oficiu.
  • Timp de lucru 50 minute.

Subiectul I. Pe foaia de test se trec numai rezultatele (30p):

  • 5p     1 Rezultatul calculului 12 – 12 : 2  este………….
  • 5p     2. Dacă   2x + 3 = 7 , atunci x= ……………...5p     3. Dintre numerele :  a=2 ^{72} şi b=4 ^{37} mai mare este numărul:                 .....................………………….5p    4. Rotunjind prin lipsă la sute numărul 5247 obţinem:  ...................5p    5. Restul împărţirii numărului natural 177 la 18 , este….…………….5p    6. Numărul divizorilor numărului natural 16 , este………………..
  • Subiectul II. Pe foaia de teză se alege răspunsul corect prin încercuire (20p):

 5p   7.Numărul natural divizibil cu 2, dar care nu este divizibil cu 5, este :

80                            ‚82                       ƒ85                     „ 87

5p   8.Media aritmetică a două numere natural este 14, atunci numerele sunt :

12 şi 18                    ‚18 şi 14              ƒ14 şi 16             „12 şi 16

5p   9. Soluţia inecuaţiei   x \in N^{\star} , 7x + 12 < 26 , este:

1                               ‚ 2                ƒ 3                    „   4

5p   10.Numărul natural 25487 aproximat , prin adaos la sute de unităţi este :

 25000                 ‚ 25400       ƒ 25500     „ 30000

  • Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete(30p):

5p     9. O persoană cumpără de la piaţă 12 kg cartofi, 16 kg roşii şi 18 kg castraveţi. Ştiind că 1kg de cartofi costă 2 lei , 1 kg de roşii costă 6 lei , iar 1 kg de castraveţi costă 4 lei, determinaţi ce rest a primit persoana la o bacnotă de 200 lei.

10p   10. Efectuaţi:  102\cdot [ 4 + 5\cdot 3^{2} - 2^{7} + 4^{2}\cdot (49-3^{2}) : 2^{3} ] ^{}

5p    11. Trei elevi au împreună 200 de timbre. Primul are 35 de timbre mai mult decât al doilea , iar al treilea are cu 45 de timbre mai mult decât al doilea . Calculaţi câte timbre are fiecare.

10p  Arătaţi că numărul : b=1+3+5+7+.................+2011 este pătrat perfect.

Ps: Dragul meu părinte,dacă copilultău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit  pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni  şi care  vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze  dar mai ales mult succes la teza de la şcoală! 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici: teza-de-evaluare-semestriala-la-matematica