descompunere in factori primi - Matematica Mai Usoara

Etichetă: descompunere in factori primi

07
ian.
2022

Descompunere in factori Metoda Factorului Comun

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere, Uncategorized

"Educaţia este ştiinţa de a asculta aproape orice fel de spuse fără a-ţi pierde stăpânirea, sau încrederea în tine însuţi. "

Winston Churchill

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas Descompunerea in factori - Metoda gruparii termenilor!

Succes!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

categories: Mulţimea numerelor naturale

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

12
aug.
2018

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mare Divizor Comun (c.m.m.d.c)

categories: Mulţimea numerelor naturale

„Dacă oamenii ar învăța să meargă și să vorbească așa cum sunt învățați să scrie și să citească, toată lumea ar șchiopăta și s-ar bâlbâi.”

Mark Twain

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la cel mai mare divisor comun (c.m.m.d.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mare divizor comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.d.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2\cdot 3^2$

$(24,12,18)=2\cdot 3=6$

Cel mai mare divizor comun este produsul factorilor comuni luați o singură dată la puterea cea mai mică.

Analizând descompunerile observăm că 2 și 3 se repeată în toate cele 3 descompuneri asa că îi considerăm factori comuni, iar cea mai mica putere este 1.

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

$28=2^2 \cdot 7$

$147=3 \cdot 7^2$

$63=3^2 \cdot 7$

$(28, 147, 63)=7$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240=2^4\cdot 3\cdot 5$

$360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$(120, 240, 360)= 2^3 \cdot 3\cdot 5= 8\cdot 3\cdot 5=120$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

$121=11^2$

$330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49=7^2$

$(121, 330, 49)= 1$

Observăm că nu avem factori comuni așa că c.m.m.d.c-ul este 1.

Exercițiul 2: Determinați 5 numere naturale care divid simultan următoarele numere: 1260, 3780, 6300.

Rezolvare: Descompunem în factori primi numerele.

$1260= 2^2\cdot 3^2\cdot5\cdot 7$

$3780= 2^2\cdot 3^3\cdot5\cdot 7$

$6300= 2^2\cdot 3^3\cdot5^2\cdot 7$

$(1260, 3780, 6300)= 2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$ = $=4\cdot 9\cdot 5\cdot 7= 36\cdot 5\cdot 7=180\cdot 7=1260$

Toate numerele formate din factorii c.m.m.d.c-ului mai mici decat 1260 vor divide cele trei numere.

Formam astfel 5 numere naturale:

$2^2\cdot 5=4\cdot 5=20$ $\Rightarrow 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 20 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 7=4\cdot 7=28$ $\Rightarrow 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 28 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 5=9\cdot 5=45$ $\Rightarrow 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 45 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$3^2\cdot 7= 9\cdot 7=63$ $\Rightarrow 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 63 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

$2^2\cdot 3^2\cdot 5=4\cdot 9\cdot 5=180$ $\Rightarrow 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 1260\ \ \ ;\ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 3780\ \ \ ; \ \ \ \ 180 \ \ \ \vdots \ \ \ 6300\ \ \$

Exercițiul 3: Află două numere naturale care îndeplinesc simultan condițiile:

$(a,b)=25$ și $a-b=50$ $a; b \gt 101$ ; $a;b\lt 199$

Rezolvare:

Dacă $(a; b )=25$ $\Rightarrow a= 25\cdot x$ și $b= 25\cdot y$ iar $(x,y)=1$ .

Înlocuim în cea de-a doua relație pe care trebuie să o respectăm și obținem:

$25\cdot x-25\cdot y=50$

Dăm factor comun pe 25 și obținem:

$25\cdot (x-y)=50 \ \ \ \ | \ \ \ :\ \ \ 25$

$(x-y)=50 \ \ \ :\ \ \ 25$

$x-y=2$

Dar exercițiul ne spune în enunț că a și b sunt cuprinse între numerele 101 și 199.

In acest caz cel mai mic număr ar fi $125 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ ., iar cel mai mare număr este $175 \ \ \ \vdots \ \ \ 25$ .

Din această informație deduce că: $x=5 \Rightarrow y=3 \Rightarrow a=125\Rightarrow b=75$

Pentru $x=6 \Rightarrow y=4 \Rightarrow (6,4)=2 \Rightarrow$ această variant nu este convenabilă.

Pentru $x=7 \Rightarrow y=5 \Rightarrow a=175\Rightarrow b=125$

Exercițiul 4: Calculați c.m.m.d.c-ul numerelor a și b știind că:

$a=2^n\cdot 3^{n+2}+5^2\cdot 2^{n+1}\cdot3^n+7\cdot 6^n$ și $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Rezolvare:

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot (2\cdot3)^n$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot3^2+5^2\cdot 2^n\cdot2^1\cdot3^n+7\cdot 2^n\cdot 3^n$

Observăm că $2^n\cdot 3^n$ se repeată în toți termenii adunării așa că îi vom da factor comun:

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(3^2+5^2\cdot2^1+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot(9+25\cdot2+7)$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 66$

$a=2^n\cdot 3^n\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

Calculăm $b=2\cdot 35^{n+1}+5^{n+2}\cdot 7^n+5^n\cdot 7^{n+1}$

Aplicăm regulile de calcul cu puteri si obținem:

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+5^n\cdot 5^2\cdot 7^n+5^n\cdot 7^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+(5\cdot 7)^n\cdot 5^2+(5\cdot 7)^n\cdot 7^1$

$b=2\cdot 35^n\cdot 35^1+35^n\cdot 5^2+35^n\cdot 7^1$

Observăm că $35^n$ se repeat în toți termenii și îl dăm factor comun:

$b=35^n(2\cdot 35^1+5^2+7^1)$

$b=35^n\cdot (70+25+7)$

$b=35^n\cdot 102$

$b=(5\cdot 7)^n\cdot 102$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Calculăm c.m.m.d.c-ul celor două numere:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 102$

Descompunem 102 și obținem:

$a=2^{n+1}\cdot 3^{n+1}\cdot 11$

$b=5^n \cdot 7^n \cdot 2\cdot 3\cdot17$

$(a,b)= 2\cdot 3= 6$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Cel Mai Mare Divizor Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru CMMDC

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

07
aug.
2018

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare:

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15.

Rezolvare:

$x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}$

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

$x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4$

$x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6$

$x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8$

$x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18$

Soluție: $x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}$

Exercițiul 3: Determinați:

a) $D_{{28}} \cup D_{{12}}$

b) $D_{{28}} \cap D_{{12}}$ ;

Rezolvare:

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

$D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

$D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}$

Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A \cup B$ , formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b) Intersectăm cele două mulțimi și obținem: $D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}$

Reamintim că Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată $A\cap B$ , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4: Se consider inecuația $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare:

Rezolvăm inecuația: $4\cdot x -1 \leq 39-x$ .

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

$4\cdot x +x \leq 39 +1$

$5\cdot x \leq 40$

$5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5$

$x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5$ $\Rightarrow x \leq 8$ $\Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}$

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

$D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}$

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

$\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

$M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}$

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: $\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

15
iul.
2018

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

categories: Numere Raționale

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile: $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a) $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

$48=2^{4} \cdot 3$

$72=2^{3} \cdot 3^{2}$

$56=2^{3} \cdot 7$

$45=3^{2} \cdot 5$

Pentru a determina c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare. $[48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140$

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105$ $\Rightarrow$ Prima fracție o amplificăm cu 105.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70$ $\Rightarrow$ A doua fracție o amplificăm cu 70

$5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90$ $\Rightarrow$ A treia fracție o amplificăm cu 90

$5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112$ $\Rightarrow$ A patra fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

$_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;$ $\Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}$

$\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

24
oct.
2017

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes."

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) $120$

b) $3528;$

c) $36000$

Rezolvare:

a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin $2\cdot 5$
Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
Deci 120 descompus în factori primi este: $120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
b) $3528$
Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
Pentru că 441 este un număr impar și nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
$4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3$
Mai departe împărțim prin 3.
Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: $3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2$
c) $36000$
Pentru că $36000$ se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu $1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3$
Deci obținem:
Astfel putem scrie $36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3$

Exercițiul 2 :

Determinați numerele naturale "m", "n" și "p"astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) $36=2^n \cdot 3^p$

b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

Obținem astfel:
a) $36=2^n \cdot 3^p$
$36=2^2\cdot 3^2$ $\Rightarrow n=2$ și $p=2$
b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$
c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".

18
sept.
2017

Exerciții rezolvate la Numere Prime

categories: Mulţimea numerelor naturale

" Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate ajuta pe omul cu mentalitate greșită".

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Numere Prime între ele. (mai mult…)

Exercițiul 1: Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

$24=2^3 \cdot 3$

$77=7\cdot 11$

$(24, 77)=1$

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 $\Rightarrow$ cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001

Descompunem în factori primi cele două numere.

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$1001=7\cdot 11 \cdot 13$

$(360, 1001)=1$ $\Rightarrow$ 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$125=5^ 3$

$(84,125)=1$ $\Rightarrow$ 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2: Arată că numerele naturale $(4n+3,\ \ \ 6n+5)$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale $4n+3$ și $6n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $4n+3$ și $6n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(4n+3, 6n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Arată că numerele naturale $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural $5n+6$ și $4n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $5n+6$ și $4n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(5n+6, 4n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Află numărul natural x astfel încât:

a) $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$

b) $(\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1$

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere $\overline{5x}$ și 10 nu au nici un divizor comun scriem mulțimea divizorilor lui 10.

$D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}$

Dacă $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$ $\Rightarrow$ numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă $\overline{5x}$ $\Rightarrow$

Dacă 2 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x este un număr impar $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; dacă 5 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0

$\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

20
oct.
2016

Exerciții rezolvate la numere reale!

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Bine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$ şi $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: $\frac{15}{2x+1}\epsilon N$ $\Rightarrow$ $2x+1 \epsilon D_{{15}}$ .

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

$D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}$

$2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1$

$2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2$

$2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7$

Soluţie : $x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}$ .

Determinăm şi mulţimea $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim mulţimea divizorilor unui număr întreg.

$\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$

Deoarece $3\epsilon Z$ , este suficient să demonstrez că $\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ ${2x-3}\epsilon D_{27}$

Deoarece sunt pe multimea Z, $\Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}$

$2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$

$2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3$

$2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6$ $2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3$

$2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15$

$2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12$

Soluţie : $x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi $x\in Z$ pentru care $\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z$

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$ , iar $\sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}$ .

Obţinem astfel: $\frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z$

Considerăm $\sqrt{3}\simeq 1,73$ obţinem: $2+ 1,73 =3,73$ şi $7-1,73 =5,27$

Deoarece $\left \| 2+\sqrt{3} \right \|$ şi $\left \| 7-\sqrt{3} \right \|$ sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere ies de sub modul cu sumnul +, adica $2+\sqrt{3}$ şi $7-\sqrt{3}$ .

Obţinem astfel: $\frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 9 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $2x-1\in D_{9}$ .

$D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}$ .

$2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$
$2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1$

$2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5$ $2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4$

Soluţie: $x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
oct.
2016

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: $\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{55}{1133}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{14}{2\cdot7}$ , $\frac{85}{15}$ , $\frac{35}{56}$ , $\frac{19}{72}$ , $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}$

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus fracţiile:

- ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

$\frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3}$ ; $\frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103}$ ; $\frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3}$ ;

$\frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1$ ; $\frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3}$ ; $\frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8}$ ; $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1$

Obţinem astfel şirul: $\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{5}{103}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{8}{15}$ , $1$ , $\frac{17}{3}$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{19}{72}$ , $1.$

- fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

$\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{19}{72}$ .

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

$\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{55}{1133}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{35}{56}$ , $\frac{19}{72}$

- fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

$\frac{61}{37}$ ; $\frac{85}{15}$

- fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

$\frac{14}{2\cdot7}$ ; $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}$ .

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: $\frac{7}{15}$ , $\frac{3}{12}$ , $\frac{5}{16}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{11}{24}$ , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.

În concluzie putem scrie:

$15= 3\cdot5$

$12= 2^{2}\cdot3$

$16= 2^{4}$

$10= 2\cdot5$

$24= 2 ^{3}\cdot3$

$c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240$ .

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:Obţin astfel următoarele fracţii:

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimea $A= \left \{ (-2)^{2}\right \$ ; $(-3)^{-2}$ ; $\sqrt{0,09}$ ; $\sqrt{5\frac{5}{9}}$ ; $(-1)^{4}$ ; $\sqrt{18}$ ; $\sqrt{1\frac{2}{25}}$ ; $(-\frac{1}{{2}}) ^{-1}$ ; $\sqrt{5\frac{3}{9}}$ $\}$ .

Calculaţi: $A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)$

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

$(-2) ^{2}= 4$

$(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}$

$\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}$

$\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}$

$(-1)^{4}= 1$

$\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}$

$\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}$

$(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)$

$\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}$

Obţinem astfel mulţimea: $A= \left \{ 4$ ; $\frac{1}{9}$ ; $\frac{3}{10}$ ; $\frac{5\sqrt{2}}{3}$ ; $1$ ; $3\sqrt{2}$ ; $\frac{3\sqrt{3}}{5}$ ; $(-2)$ ; $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ $\}$ .

$A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}$

$A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}$

$A\bigcap {Q}= \left \{ 4;$ $\frac{1}{{9}}$ ; $\frac{3}{10}$ ; $1$ ; $(-2)$ $\}$

$A\bigcap(Q\setminus Z)=$ $\left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}$

$A\bigcap {R}= A$

$A\bigcap {(R\setminus Q)}=$ $\left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Etichetă: descompunere in factori primi

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

b)

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in noul an şcolar.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

b) $3528$