#profesori buni - Matematica Mai Usoara

Etichetă: #profesori buni

23
iul.
2018

Adunarea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

"Diferența dintre success și eșec vine de cele mai multe ori din refuzul de a renunța".

Walt Disney

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Adunarea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

Exercițiul 1: Efectuați adunarea următoarelor fracții:

a) $\frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=?$

b) $\frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+\frac{4}{{7}}=?$

c) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=?$

d) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?$

e) $\frac{7}{{36}}+ \frac{11}{{18}}+\frac{13}{{9}}=?$

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

La adunarea a două sau mai multe fracții care au același numitor, adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
$\frac{2}{{5}}+ \frac{3}{{5}}=\frac{2+3}{{5}}=\frac{5}{{5}}=1$

b) $\frac{2}{{7}}+ \frac{5}{{7}}+ \frac{4}{{7}}=\frac{2+5+4}{{7}}=\frac{11}{{7}}$

c) Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La adunarea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le adduce la același numitor , apoi adunăm fracțiile folosind regula de mai sus adunăm numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

$\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}=$

Observăm că numitorii sunt două numere prime între ele atunci c.m.m.m.c-ul va fi

$[2;3 ]=2\cdot 3=6$

Așadar prima frcție o amplificăm cu 3, iar a doua fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{3)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{2)}\frac{2}{3}}=$ $\frac{3\cdot 1}{3\cdot2}}\ \ +\ \ \frac{2\cdot 2}{2\cdot 3}}=$ $\frac{3}{6}}\ \ +\ \ \frac{4}{6}}=$ $\ \ \frac{3 +4}{6}}=$ $\ \ \frac{7}{6}}$

d) $\frac{1}{{2}}+ \frac{2}{{3}}+\frac{3}{{4}}=?$

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2, 3 și 4. Știm că $4=2^2$ și că 4 și 3 sunt numere prime.

$\left [ 2;3;4 \right ]=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua fracție o amplificăm cu 4 iar a treia fracție o amplificăm cu 3. Astfel obținem:

$_{{}}^{6)}\frac{1}{2}}+_{{}}^{4)}\frac{2}{3}}+ _{{}}^{3)}\frac{3}{4}}=$ $\frac{6\cdot 1}{6\cdot 2}}+\frac{4\cdot 2}{4\cdot 3}}+ \frac{3\cdot 3}{3\cdot4}}=$ $\frac{6}{12}}+\frac{8}{12}}+ \frac{9}{12}} =$ $\frac{6+8+9}{12}} =$ $\frac{23}{12}}$

e) $\ \ \frac{7}{36}}+\ \ \frac{11}{18}}+\ \ \frac{13}{9}}=?$

Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 36, 18, 9.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Numitorul comun al celor trei fracții este 36. Prima fracție nu o amplificăm, a doua fracție o amplificăm cu 2 iar a treia fracție o amplificăm cu 4. Astfel obținem:

$\frac{7}{36}}+_{{}}^{2)}\frac{11}{18}}+_{{}}^{4)}\frac{13}{9}}=$ $\frac{7}{36}}+\frac{2\cdot 11}{2\cdot 18}}+\frac{4\cdot 13}{4\cdot 9}}=$ $\frac{7}{36}}+\frac{22}{36}}+\frac{52}{36}}=$ $\frac{7+22+52}{36}} =$ $\frac{84}{36}} =$

Simplificăm fracția obținută până obținem o fracție ireductibilă.

$\frac{84}{36}} ^{{(2}}= \frac{42}{18}} ^{{(2}}= \frac{21}{9}} ^{{(3}}= \frac{7}{3}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?$

b) $3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?$

Rezolvare:

a) $2\frac{1}{4}} + 3\frac{1}{3}} +\frac{5}{6}} =?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{2\cdot 4+1}{4}} + \frac{3\cdot 3+1}{3}} +\frac{5}{6}} =$ $\frac{8+1}{4}} + \frac{9+1}{3}} +\frac{5}{6}} =$ $\frac{9}{4}} + \frac{10}{3}} +\frac{5}{6}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

$4= 2^2$

$3= 1\cdot3$

$6= 2\cdot3$

$\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{3)}\frac{9}{4}}+_{{}}^{4)}\frac{10}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{5}{6}}=$ $\frac{3 \cdot 9}{3\cdot 4}}+\frac{4\cdot 10}{4\cdot 3}}+\frac{2\cdot 5}{2\cdot 6}}=$ $\frac{27}{12}}+\frac{40}{12}}+\frac{10}{12}}=$ $\frac{77}{12}}$

b) $3\frac{1}{2}} + \frac{5}{3}} +1\frac{1}{9}} =?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{3\cdot 2+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{1\cdot 9+1}{9}} =$ $\frac{6+1}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{9+1}{9}} =$ $\frac{7}{2}} + \frac{5}{3}} +\frac{10}{9}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că $9=3^2$ atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

$\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18$

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{{}}^{9)}\frac{7}{2}}+_{{}}^{6)}\frac{5}{3}}+_{{}}^{2)}\frac{10}{9}}=$ $\frac{9\cdot7}{9\cdot 2}}+\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}+\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}=$ $\frac{63}{18}}+\frac{30}{18}}+\frac{20}{18}}=$ $\frac{63+30+20}{18}}=$ $\frac{103}{18}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Adunarea fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Adunarea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

15
iul.
2018

Exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor

categories: Numere Raționale

„Învățătorii îți deschid ușa, însă numai tu însuți poți trece dincolo de ea.”

-Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Aducerea fracțiilor la același numitor!

(mai mult…)

Exercițiul 1: Se consider fracțiile: $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

a) Calculați c.m.m.m.c-ul numitorilor fractiilor de mai sus;

b) Aduce-ți fracțiile la acelasi numitor.

Rezolvare:

a) $\frac{3}{48}$ ; $\frac{7}{72}$ ; $\frac{5}{56}$ ; $\frac{1}{45}$ ;

Descompunem in factori primi numitorii:

Scriem numitorii ca produs de puteri:

$48=2^{4} \cdot 3$

$72=2^{3} \cdot 3^{2}$

$56=2^{3} \cdot 7$

$45=3^{2} \cdot 5$

Pentru a determina c. m.m.m.c- ul luăm toate bazele la puterea cea mai mare. $[48; 72; 56; 45]=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}\cdot 7^{1}$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=16 \cdot 9\cdot 5\cdot 7$ $\Rightarrow [48; 72; 56; 45]=5140$

b) Pentru a aduce la același numitor fracțiile de mai sus trebuie sa le amplificam astfel incăt la numitor să obținem valoarea c.m.m.m.c-ului.Pentru a afla cu cat trebuie să amplificăm fiecare fracție împărțim valoarea c.m.m.m.c-ului la fiecare numitor.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 48=105$ $\Rightarrow$ Prima fracție o amplificăm cu 105.

$5140 \ \ \ : \ \ \ 72=70$ $\Rightarrow$ A doua fracție o amplificăm cu 70

$5140 \ \ \ : \ \ \ 56 = 90$ $\Rightarrow$ A treia fracție o amplificăm cu 90

$5140 \ \ \ : \ \ \ 45 = 112$ $\Rightarrow$ A patra fracție o amplificăm cu 112.

Astfel obținem:

$_{}^{105)}\frac{3}{48}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{70)}\frac{7}{72}\ \ \ \ ; \ \ _{}^{90)}\frac{5}{56}\ \ \ ; \ \ _{}^{112)}\frac{1}{45}\ \ \ \ ;$ $\Rightarrow \frac{105 \cdot 3}{{105 \cdot 48}}\ \ \ ; \ \ \frac{70 \cdot 7}{{70 \cdot 72}}\ \ \ ; \ \ \frac{90 \cdot 5}{{90 \cdot 56}}\ \ \ ; \ \ \frac{112 \cdot 1}{{112 \cdot 45}}$

$\Rightarrow \frac{315}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{490}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{450}{{5140}}\ \ \ ; \ \ \frac{112}{{5140}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Aducerea fracțiilor la același numitor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Aducerea fractiilor la acelasi numitor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

09
iul.
2018

Compararea Fracțiilor (Numere Raționale)

categories: Fracții Ordinare

„A-ţi dori să ai succes fară a munci din greu este ca şi cum ai încerca să culegi roadele pe care nu le-ai semănat vreodata.”

David Bly

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Compararea Numerelor Raționale (Fracții)!

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Compararea Numerelor Raționale (Fracții)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! (mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați fracțiile:

a) $\frac{5}{{8}}$    cu    $\frac{7}{{8}}$ ;    b) $\frac{3}{{5}}$ cu    $\frac{3}{{4}}$

c) $1\frac{5}{{7}}$ cu $1\frac{3}{{7}}$ ;    d) $2\frac{1}{{3}}$ cu $1\frac{2}{{3}}$

e) $4\frac{1}{{10}}$ cu    $\frac{41}{{10}}$ ; f) $3\frac{5}{{9}}$    cu $\frac{33}{{9}}$

Rezolvare:

a) Pentru a compara două fracții care au același numitor comparăm numărătorii iar fracția cu numărătorul mai mare este mai mare.

$\frac{5}{{8}} \lt \frac{7}{{8}}$

b) Pentru a compara două fracții care au același numărător comparam numitorii, iar fracția cu numitorul mai mic este mai mare.

$\frac{3}{{5}} \lt \frac{3}{{4}}$

c) Pentru a compara cele două fracții mai întâi introducem întregii în fracție și apoi comparăm cele două fracții.

$1\frac{5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{1\cdot 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 7+3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{ 7+5}{{7}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{ 7+3}{{7}}$ $\Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{10}{{7}}$

Pentru că am obținut două fracții cu același numitor comparăm numărătorii

$12 \gt 10 \Rightarrow \frac{12}{{7}} \ \ \gt \ \ \frac{10}{{7}}$

d) $2 \frac{1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{2}{{3}}$ $\Rightarrow \frac{2\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 3+2}{{3}}$ $\Rightarrow \frac{7}{{3}} \gt \frac{5}{{3}}$
e) $4 \frac{1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{4\cdot 10+1}{{10}} \ \ \ cu \ \ \ \frac{41}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{41}{{10}} = \frac{41}{{10}}$
f) $3 \frac{5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{3\cdot 9+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{27+5}{{9}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{33}{{9}}$ $\Rightarrow \frac{32}{{9}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{33}{{9}}$

Exercițiul 2: Comparați fracțiile:

a) $\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}$

b) $1\frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1 \frac{5}{{12}}$

c) $3\frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}$

d) $\frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}$

Rezolvare:

a) $\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1}{{2}}}$

Pentru a compara două fracții care au numitorii diferiti, mai întâi le aducem la același numitor și apoi le comparăm.

$\frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ ^{2)}\textrm{ \frac{1}{{2}}}$ $\Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{2}{{4}}}$ $\Rightarrow \frac{3}{{4}} \ \ \ \ \gt \ \ \ \frac{2}{{4}}}$

b) $1 \frac{1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ 1\frac{5}{{12}}}$ $\Rightarrow \frac{1\cdot 3+1}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{1\cdot 12+5}{{12}}}$ $\Rightarrow \frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}$ $\Rightarrow _{}^{4)}\textrm{\frac{4}{{3}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$

$\Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$ $\Rightarrow \frac{16}{{12}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{17}{{12}}}}$

c) $3 \frac{1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{3\cdot 8+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{24+1}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{37}{{10}}}}$

$\Rightarrow _{}^{5)}\textrm{} \frac{25}{{8}} \ \ \ \ cu \ \ \ _{}^{4)}\textrm{}\frac{37}{{10}}}}$ $\Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{148}{{40}}}}$ $\Rightarrow \frac{125}{{40}} \ \ \ \ \lt \ \ \ \frac{148}{{40}}}}$

d) $\frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ 4\frac{1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{4\cdot 6+1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{24+1}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ cu \ \ \ \frac{25}{{6}}}}$ $\Rightarrow \frac{25}{{6}} \ \ \ \ = \ \ \ \frac{25}{{6}}}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Compararea Fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru Compararea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

29
iun.
2018

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

categories: Numere Naturale

"Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!"

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers!

(mai mult…)

Exercițiul 1: $3(x+2) - 7=14$

Rezolvare: Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

$3(x+2) - 7=14$ $/ +7$ $\Rightarrow$ $3(x+2)=14+7$ $\Rightarrow$

$3(x+2)=21$ $/ :\ \ \ \ 3$ $\Rightarrow$ $x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7$ $\Rightarrow$

$x+2=3$ $/ -2$ $\Rightarrow$ $x=3-2$ $\Rightarrow$ $x=1$

Exercițiul 2: $90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul -

$90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$ $/-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122$ $/\cdot 4$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488$ $/ - 18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470$ $/ \ \ \ :\ \ \ 2$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235$

105 +5a =235 / -105

5a =235 -105

5a = 130

a = 130 : 5

a = 26

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

24
iun.
2018

Exerciții Rezolvate la Graficul Funcției

categories: Funcții

"Nu îmi învăț niciodată studenții; tot ce fac este să le creez condițiile pentru ca ei să învețe."
Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții la Graficul unei Funcții! (mai mult…)

Exercițiul 1:

Fie funcția $f \ \ \ : \ \ \ R \rightarrow R ,$ $f (x)=-2x+1$ .

a) Reprezentați grafic funcția.

b)Determinați numărul real $a \in R,$ știind că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ este situate pe graficul funcției f(x).

c) Calculați suma $S=f(0)+f(1)+f(2)+..........+f(2011)$

Rezolvare:

a) Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ .

$\cap OX$ : $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-2\cdot x+ 1=0$

$\Rightarrow$ $-2\cdot x=-1$ $\Rightarrow$ $x=\frac{-1}{{-2}}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{1}{{2}}$ $\Rightarrow A( \frac{1}{{2}} \ ; 0)$

Pentru a obține punctul în care graficul funcției intersectează axa OX punem condiția ca $x=0$
$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -2\cdot 0+ 1 = 1$
$B(0\ \ ;\ \ \ 1)$

b) Pentru a arăta că punctul $A(2a-1,\ \ \ a-2)$ aparține graficului funcției f(x) punem condiția ca : $f(2a-1)= a-2$ adică în forma funcției f(x) înlocuim x cu 2a-1 și obținem:

$f(2a-1)= a-2$ $\Rightarrow -2\cdot (2a-1) + 1 = a-2$ $\Rightarrow -4\cdot a+2 + 1 = a-2$

$\Rightarrow -4a+3 = a-2$

Trecem toți termenii cu a într-o parte și toți termenii fară a în cealaltă parte.

$\Rightarrow -4a-a=-2-3$ $\Rightarrow -5a=- 5 \ \ \ \ /:(-5)$ $\Rightarrow a= 1$

c) $S=f(0)+f(1)+f(2)+... . . . . + f(2011)$

Calculăm $f(0), f(1), f(2), . . . . . , f(2011)$ și observăm că obținem Suma Gauss.

$f(0)= -2 \cdot 0 + 1= 0+1=1$

$f(1)= -2 \cdot 1 + 1= - 2 +1= -1$

$f(2)= -2 \cdot 2 + 1= - 4 +1= -3$

. . . . . . .. .. . . . . . . .. . .. . . . .. . . . . . . .. . . . .

$f(2011)= -2 \cdot 2011 + 1= - 4 022+1= -4021$

Obținem :

$S= 1-1-3-5-. . .. . . . -4021$ $\Rightarrow S= -(3+5+. . .. . . . +4021)$

Aplicăm Suma Gauss a numerelor impare :

$n= (4021-3) \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 4018 \ \ \ : \ \ \ 2 +1$ $\Rightarrow n= 2009 +1 = 2010 (termeni)$

$S=-[2010\cdot (4021+3) \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 4024 \ \ \ : \ \ \ 2]$

$S=-[2010\cdot 2012]$

$S=- 4 044 120$

Exercițiul 2:

Se consideră funcția $f : R\rightarrow R$ , $f(x)= -\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$

a) Reprezentați grafic funcția

b) Determinați aria triunghiului format de graficul funcției și axele de coordinate.c

c) Determinați distanța de la punctul $O(0,0)$ la graficul funcției f(x).

Rezolvare:

a) $\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0 \Rightarrow$ $-\sqrt{3}\cdot x+2\sqrt{3} = 0$

$\Rightarrow$ $-\sqrt{3}x=-2\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ $x=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$ $x= __{{}}^{\sqrt{3})}\textrm{\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }$

$\Rightarrow$ $x=2$ $\Rightarrow A(2\ \ \ ; \ \ \ 0 )$

$\cap OY:$ $x=0$ $\Rightarrow$ $f(0)= -\sqrt{3}\cdot 0+2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
$\Rightarrow B(0 , 2\sqrt{3})$

b) Calculăm $A_{\bigtriangleup AOB }$ . Observăm că $\bigtriangleup AOB$ este dreptunghic în unghiul O astfel putem aplica formula:

$A_{{\bigtriangleup AOB}}= \frac{c_{1}\cdot c_{2}}{2}= \frac{OA\cdot OB}{2}= \frac{2\cdot 2\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} u.m^{{2}}$

c) Știm că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara din acel punct pe dreaptă. Adică înălțimea triunghiului AOB. Pentru a afla înălțimea ne folosim de aria triunghiului pe care am calculate-o deja. Folosim formula:

$A_{\triangle AOB}= \frac{b \cdot h}{{2}}$ $= \frac{AB \cdot OM}{{2}}$

Calculăm AB cu formula distanței dintre punctele $A(2,0)$ și $B(0, 2\sqrt{3})$ astfel:

$AB= \sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$x_{{A}}=2$ și $y_{{A}}=0$ iar $x_{{B}}=0$ și $y_{B}=2\sqrt{3}$ , înlocuim in formula și obținem:

$AB=\sqrt{(x_{{B}}-x_{{A}})^2+(y_{{B}}-y_{{A}})^2}$

$AB=\sqrt{{(2-0})^2+(2\sqrt{3}-0})^2}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{2^2+(2\sqrt{3})^2}}$

$\Rightarrow AB=\sqrt{{4+2^2 \cdot 3}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{4+12}}$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{16}} = 4$

Înlocuim în formula ariei și aflăm OM.

$2\sqrt{3}u.m^2= \frac{4 u.m \cdot OM}{2} \ \ \ \ \ / \cdot 2$

$2 \cdot 2\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM$ $\Rightarrow 4\sqrt{3}u.m^2= 4 u.m \cdot OM \ \ \ \ / \ \ : \ \ 4 u.m$

$\Rightarrow OM = \sqrt{3} \ \ u.m$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Graficul unei funcții pentru copilul tău o gasești aici:Fisa de lucru Graficul unei functii

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

18
mart.
2018

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

categories: Fracții Ordinare, Fracții zecimale

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) $\frac{31}{9}$ ; b) $\frac{517}{99}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{31}{9}$ Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{31}{9}=3,(4)$ și citim trei virgulă perioadă patru.

b) $\frac{517}{99}=$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{517}{99}=5,(2)$ .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) $\frac{233}{45}$ ; b) $\frac{553}{60}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{233}{45}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{233}{45}=5,1(7)$ și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) $\frac{553}{60}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{553}{60}=9,21(6)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

13
mart.
2018

Exerciții rezolvate la Mărimi direct proporționale

categories: Rapoarte. Proportii

„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale.

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

$M_{a}=\frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2$ $\Rightarrow a+ b=48$

$\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}$ $\Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k$

$\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k$

$\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k$

Înlocuim a și b în ecuația $a+b=48$ și obținem:

$3 \cdot k + 9 \cdot k=48$ $\Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=4$

Înlocuim în a și b și obținem:

$\Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4$ $\Rightarrow a=12$

$\Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4$ $\Rightarrow b=36$ .

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: $1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)$

Rezolvare:

Considerăm trei numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

$a+b+c=84$

$\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}$

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

$1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}$

$1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}$

$1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}$

Și obținem: $\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func'ie de valoarea lui k.

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

$a+b+c=84$ $\Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84$ $\Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 18$

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

$a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{234}{{9}}$ $\Rightarrow a = 26$

$b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{252}{{9}}$ $\Rightarrow b = 28$

$c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{270}{{9}}$ $\Rightarrow c = 30$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Mărimi direct proporționale pentru copilul tău o gasești aici Fisa de lucru marimi direct proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

01
mart.
2018

Exerciții rezolvate la Procente.

categories: Rapoarte. Proportii

" Tăria minții vine prin exercițiu nu prin repaos".

Alexander Pope

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la Procente.

Exercițiul 1: Calculați:

a) 75 % din 1600

b) 1,25 % din 2000

c) 25 % din 16 % din 750

d) 4,(2) % din 7200 .

Rezolvare:

a) 75 % din 1600 = $\frac{75}{{100}} \cdot 1600=$ $\frac{75\cdot 16\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}=$ $75\cdot 16=$ $1200$

b) 1,25 % din 2000 = $\frac{1,25}{100} \cdot 2000=$ $\frac{1,25\cdot 20\emptyset\emptyset}{1\emptyset\emptyset}=$ $1,25\cdot 20=$ $25$

c) 25 % din 16 % din 750 = $25% \cdot (\frac{16}{{100}} \cdot 750)=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{16 \cdot 75\emptyset}{{10\emptyset}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{16 \cdot 75}{{10}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{1200}{{10}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{120\emptyset}{{1\emptyset}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot 120=$ $\frac{25}{{10\emptyset}} \cdot 12\emptyset=$ $\frac{25\cdot 12}{{10}}=$ $\frac{300}{{10}}=$ $\frac{30\emptyset}{{1\emptyset}}=$ $\frac{30}{{1}}=30$

d) 4,(2) % din 7200 = $\frac{4,(2)}{{100}} \cdot 7200 =$ $\frac{4,(2)\cdot 72\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}} =$ $4,(2)\cdot 72 =$ $\frac{42-4}{{9}} \cdot 72=$ $\frac{38}{{9}} \cdot 72=$ $\frac{38 \cdot 72}{{9}} =$ $\frac{2736}{{9}} =304$

Exercițiul 2: Aflați un număr x știind că :

a) 20% din el este 80;

b) 2,75 % din el este 3,30;

c) 3,(6)% din el este 36,3.

Rezolvare:

a) 20% din x este 80 $\Rightarrow \frac{20}{{100}} \cdot x = 80$ $\Rightarrow \frac{20}{{100}} \cdot x = 80 / \ \ \ \cdot 100$ $\Rightarrow 20 \cdot x = 80 \cdot 100$ $\Rightarrow 20 \cdot x = 8000 / \ \ \ :\ \ 20$ $\Rightarrow x = 8000 \ \ :\ \ 20$ $\Rightarrow x = 400$

b) 2,75 % din el este 3,30 $\Rightarrow \frac{2,75}{{100}} \cdot x = 3,30$ $\Rightarrow \frac{2,75}{{100}} \cdot x = 3,30 / \cdot100$ $\Rightarrow 2,75 \cdot x = 3,30 \cdot100$ $\Rightarrow 2,75 \cdot x = 330$

$\Rightarrow \frac{275}{{100}} \cdot x = 330$ $\Rightarrow \frac{275}{{100}} \cdot x = 330 /\cdot 100$ $\Rightarrow {275}\cdot x = 330 \cdot 100$

$\Rightarrow {275}\cdot x = 33000$ $\Rightarrow {275}\cdot x = 33000 / \ \ \ : \ \ 275$ $\Rightarrow x = 33000 \ \ : \ \ 275$

$\Rightarrow x = 120$

c) 3,(6)% din x este 36,3 $\Rightarrow \frac{3,(6)}{{100}} \cdot x = 36,3$ $\Rightarrow \frac{3,(6)}{{100}} \cdot x = 36,3 / \cdot 100$ $\Rightarrow 3,(6) \cdot x = 36,3 \cdot 100$

$\Rightarrow \frac{36-3}{{9}} \cdot x = 3630$

$\Rightarrow \frac{33}{{9}} \cdot x = 3630 / \cdot 9$ $\Rightarrow 33\cdot x = 3630 \cdot 9$

$\Rightarrow 33\cdot x = 32670 / \ \ \ : \ \ \ 33$ $\Rightarrow x = 32670 \ \ \ : \ \ \ 33$

$\Rightarrow x = 990$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o fișă de lucru pentru copilul tău o gasești aici:Fișă de lucru Procente

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

01
mart.
2018

Exerciții rezolvate la Rapoarte.

categories: Rapoarte. Proportii

„Nimic nu este prea dificil dacă împarți în pași mici ceea ce ai de făcut.”

Henry Ford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas Exerciții rezolvate la Rapoarte! (mai mult…)

Exercițiul1: Aflați termenul necunoscut din următoarele rapoarte:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$

Rezolvare:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

Înmulțim pe diagonală și obținem :

$\Rightarrow 3 \cdot x=21\cdot5$ $\Rightarrow 3 \cdot x=105$ $\Rightarrow x=105 \ \ \ :\ \ \ 3$ $\Rightarrow x=35$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

Transformăm fracția zecimală $0,20$ în fracție ordinară și obținem:

$\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{20}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{2}{{1}}$ $\Rightarrow 5\cdot 1=x \cdot 2$ $\Rightarrow 2x=5 \ \ \ \ \ /:\ \ 2$ $\Rightarrow x=\frac{5}{{2}}$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$ $\Rightarrow \frac{6,(4)}{x}=\frac{8}{1}$ $\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$

Transformăm fracția periodică $6,(4)$ în fracție ordinară astfel $6,(4)=\frac{64-6}{{9}}=\frac{58}{{9}}$ și obținem:

$\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}\cdot \frac{1}{{1}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow 58 \cdot 1 =9 \cdot 8\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x \ \ \ /\ \ \ \ :\ \ 72$ $\Rightarrow x = \frac{58}{{72}}^{{(2}}$

$\Rightarrow x = \frac{29}{{36}}$

Exercițiul 2: Se consideră numerele $a= 1+2+3+.........................+2018$ și $b = 2+4+6+.........................+4036$ . Calculați :

a) Raportul dintre a și b;

b) Raportul dintre suma și diferența numerelor b și a;

Rezolvare:

Calculăm mai întâi numărul a ca să îl aducem la o formă mai simplă. Recunoaștem suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive și aplicăm formula lui Gauss.

$a = 1+2+3+.........................+2018$

$a = 2018\cdot(2018+1) \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018\cdot 2019 \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018 \ \ \ : \ \ \ 2 \cdot 2019$

$a = 1009 \cdot 2019$

PS: Dacă nu îți mai amintești Suma lui Gauss găsești aici PDF-ul gratuit : Suma Gauss

Calculăm și numărul b pentru a obține o formă mai simplă.

$b = 2+4+6+.........................+4036$ .

Dăm factor comun pe 2 și obținem din nou Suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive.

$b =2 \cdot (1+2+3+...............+2018)$

$b =2 \cdot [2018\cdot (2018+1) \ \ :\ \ \ 2]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot (2018+1) ]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot 2019 ]$

$b =2 \cdot 1009 \cdot 2019$

$b =2018 \cdot 2019$

a) Facem raportul $\frac{a}{b} = \frac{1009 \cdot 2019}{2018 \cdot 2019} ^{{(1009 \cdot 2019}}$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$
b) Calculăm raportul $\frac{a+b}{b-a}=$ $\frac{1009\cdot 2019+2018\cdot 2019}{2018\cdot 2019-1009\cdot 2019}=$

Observăm că putem da factor comun pe $1009\cdot2019$ și la numărător și la numitor și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot (1+2)}{1009\cdot 2019\cdot(2-1)}=$ $\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}=$

Observăm că putem simplifica raportul prin $1009\cdot2019$ și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}^{{(1009\cdot 2019}} =$ $\frac{3}{1}=3$

Exercițiul 3:

Știind că $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ calculați valoarea raportului:

a) $\frac{12\cdot a+6\cdot b}{6\cdot a-b} = ?$

b) $\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} = ?$

Rezolvare:

a) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\Rightarrow \frac{12\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{6\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}-b} =$ $\frac{ \frac{84\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{ \frac{42\cdot b }{{2}}-b} =$

$\frac{ {42\cdot b }+6\cdot b}{ 21\cdot b -b} =$ $\frac{ {48\cdot b }}{ 20\cdot b } ^{(4\cdot b} =$ $\frac{ {12 }}{ 5 }$

b) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} =$ $\frac{3\cdot \frac{7\cdot b }{{2}} +5\cdot b}{2\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + 5\cdot b}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + _{{}}^{2)}{5\cdot b}}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+_{{}}^{2)}{ b}} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + {\frac{10\cdot b }{{2}}} }{ \frac{14\cdot b }{2}+{{{\frac{2\cdot b }{{2}}}}$ $= \frac{\frac{31\cdot b }{{2}} }{ \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} }\ \ \ :\ \ \ { \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} } \cdot { \frac{2}{16\cdot b}} =$ ${\frac{31 }{{16}} }$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

03
dec.
2017

Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf

categories: Geometrie a VI-a

" Nu e destul să știm, trebuie să și aplicăm. Nu e destul să ne dorim, trebuie să facem."

Goethe

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas 3 Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf !

(mai mult…)

Exercițiul1:

Fie unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ două unghiuri opuse la vârf. Știind că $m(\widehat{AOB})=59^\circ$ aflați $m(\widehat{AOC})=?$ și $m(\widehat{BOD})=?$

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf $\Rightarrow$

$m(\widehat{COD}) \equiv m(\widehat{AOB})$ $=59^{\circ}$

Analizând figura observăm că punctele $A,\ \ \ O$ și $D$ sunt coliniare: $m(\widehat{AOC}) + m(\widehat{AOB})=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})+59^\circ=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=180^\circ- 59^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=121^\circ$

$m(\widehat{AOC})\equiv m(\widehat{BOD})$ $\Rightarrow m(\widehat{BOD})=121^\circ$

Exercițiul 2:

Fie $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf și dreptele $AD \cap BC=\left \{ O \right \}$ . Știind că $m(\widehat{AOC})=21^\circ+x$ și $m(\widehat{AOB})=97^\circ+x$ aflați : $m(\widehat{AOB})$ și $m(\widehat{AOC})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf și $AD \cap BC=\left \{ O \right \}$ $\Rightarrow B\ \ , \ \ O$ și $C$ coliniare $\Rightarrow m(\widehat{BOC})=180^\circ$

Dacă privim atent desenul observăm: $\Rightarrow m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})=180^\circ$ $\Rightarrow 97^\circ+x+21^\circ+x=180^\circ$

$\Rightarrow 2x+ 118^\circ=180^\circ$ $\Rightarrow 2x=180^\circ-118^\circ$ $\Rightarrow 2x=62^\circ$ $\Rightarrow x=62^\circ\ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow x=31^\circ$

$m(\widehat{AOC})=21^\circ+x$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=21^\circ+31^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=52^\circ$

$m(\widehat{AOB})=97^\circ+x$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})=97^\circ+31^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})=128^\circ$

Exercițiul 3:

Dacă $AB\cap CD= \left \{ O \right \}$ și $\frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}}$ află $m(\widehat{BOC})$ și $m(\widehat{BOD})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Problema ne spune că $\frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}}$ $\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOD})}= 4\cdot m(\widehat{AOC})$

$\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})$

Dar $AB\cap CD= \left \{ O \right \}$ $\Rightarrow C\ \ , \ \ O \ \$ și $D$ coliniare $\Rightarrow m(\widehat{COD})= 180^\circ$

Analizând desenul observăm că $m(\widehat{COD})= m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})$

$\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})=180^\circ | \ \ \ \cdot 5$

$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOC})+ 4\cdot m(\widehat{AOC})=5\cdot 180^\circ$ $\Rightarrow 9\cdot m(\widehat{AOC})=900 ^\circ | \ \ \ :\ \ \ 9$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=100 ^\circ$

Știm că $m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot 100^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4\cdot 100^\circ}{5}$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{400^\circ}{5}$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= 80^\circ$