„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale.

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

M_{a}=\frac{a+b}{2}    \Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2   \Rightarrow a+ b=48

\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}   \Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k

\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k

\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k

Înlocuim a și b în ecuația a+b=48 și obținem:

3 \cdot k + 9 \cdot k=48 \Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12  \Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12    \Rightarrow k=4

Înlocuim în  a și b și obținem:

 \Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4  \Rightarrow a=12

 \Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4   \Rightarrow b=36.

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: 1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)

Rezolvare:

Considerăm trei  numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

a+b+c=84

\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

 1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}

 1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}

 1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}

Și obținem:  \left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}  \Rightarrow

\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func'ie de valoarea lui k.

\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k   \Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k \Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k  \Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k  \Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}

\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k   \Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k  \Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}

\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k  \Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k  \Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k  \Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

a+b+c=84 \Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84

\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84  \Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84

\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9 \Rightarrow 42 \cdot k = 756 \Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42

\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42

\Rightarrow k = 18

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

 a = \frac{13 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}  \Rightarrow a = \frac{234}{{9}}  \Rightarrow a = 26

 b = \frac{14 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}   \Rightarrow b = \frac{252}{{9}}   \Rightarrow b = 28

 c = \frac{15 \cdot k}{{9}}   \Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}  \Rightarrow c = \frac{270}{{9}}   \Rightarrow c = 30

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru  cu Exerciții la Mărimi direct proporționale  pentru copilul tău o gasești aici  Fisa de lucru marimi direct proportionale 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”