exercitii matematica - Matematica Mai Usoara

Etichetă: exercitii matematica

18
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Legătura dintre C.M.M.D.C și C.M.M.M.C

”Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncuși

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Legătura dinte C.M.M.D.C și C.M.M.M.

Vezi lectia video aici: https://youtu.be/kVj29S1JkgA

Exercițiul 1:

Determinați numerele naturale a și b care verifică următoarele relații:

a) $(a,b)=6$ și    $a\cdot b=468$

b) $(a,b)=15$ și    $[a,b]=540$

c) $(a,b)=14$ și    $a + b=7$

d) $[a,b]=180$ și $a\cdot b=2160$

Rezolvare:

a) $(a,b)=6$ și $a\cdot b=468$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 6 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 6 $\Rightarrow a=6\cdot x$ și $b=6\cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =6.

Înlocuim a și b și obținem:

$6\cdot x\cdot 6\cdot y=468$ $\Rightarrow 36 \cdot xy=468 | \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow xy=468 \ \ \ \ : \ \ \ 36$ $\Rightarrow x\cdot y=13$

Astfel obținem posibilitățile:

Cazul I : $x=1 \Rightarrow a=6\cdot 1=6$ și $y=13 \Rightarrow b= 6\cdot 13= 78$

Cazul II: $x=13 \Rightarrow a= 6\cdot 13= 78$ și $y=1 \Rightarrow b= 6\cdot 1= 6$

b) $(a,b)=15$ și $[a,b]=540$

Știm formula: $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$ . Înlocuim în formulă și aflăm a și b.

$15 \cdot 540=a\cdot b$ $\Rightarrow a\cdot b= 8100$ .

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 15 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 15 $\Rightarrow a= 15 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 15 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Punem condiția ca x și y să fie primi între ei, dacă nu ar fi primi între ei nu am mai obține c.m.m.d.c-ul =15.

Înlocuim a și b și obținem: $15\cdot x\cdot 15\cdot y=8100$ $\Rightarrow 225\cdot x\cdot y=8100| \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=8100 \ \ \ :\ \ \ 225$ $\Rightarrow x\cdot y=36$ .

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 15\cdot 1= 15$ și $y=36 \Rightarrow b= 15\cdot 36= 540$

Cazul II: $x=4 \Rightarrow a= 15\cdot 4= 60$ și $y=9 \Rightarrow b= 15\cdot 9= 135$

Cazul III: $x=9 \Rightarrow a= 15\cdot 9= 135$ și $y=4 \Rightarrow b= 15\cdot 4= 60$

Cazul IV: $x=36 \Rightarrow a= 15\cdot 36= 540$ și $y=1 \Rightarrow b= 15\cdot 1= 15$

În acest caz nu putem lua perechile de numere $(2\ \ \ ;\ \ \ 18)$ și $(18\ \ \ ;\ \ \ 2)$ deoarece aceste numere nu sunt numere prime între ele.

c) $(a\ \ \ ;\ \ \ b) = 14$ și $a + b=7$

Știm că Cel mai mare divizor al numerelor a și b este 14 $\Rightarrow$ a și b sunt multipli lui 14 $\Rightarrow a= 14 \cdot x$ și $\Rightarrow b= 14 \cdot y$ , iar $( x, y )=1$ .

Înlocuim în a și b și obținem:

$14 \cdot x+ 14\cdot y=98$ $\Rightarrow 14 \cdot (x+ y) =98 | \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =98 \ \ \ :\ \ \ 14$ $\Rightarrow (x+ y) =7$

Astfel obținem următoarele perechi de numere prime între ele :

Cazul I: $x=1 \Rightarrow a= 14\cdot 1= 14$ și $y=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$

Cazul II: $x=2 \Rightarrow a= 14\cdot 2= 28$ și $y=5 \Rightarrow b= 14\cdot 5= 70$

Cazul III: $x=3 \Rightarrow a= 14\cdot 3= 42$ și $y=4 \Rightarrow b= 14\cdot 4= 56$

Cazul IV: $x=4 \Rightarrow a= 14\cdot 4= 56$ și $y=3 \Rightarrow b= 14\cdot 3= 42$

Cazul IV: $x=5 \Rightarrow a= 14\cdot 5= 70$ și $y=2 \Rightarrow b= 14\cdot 2= 28$

Cazul V: $x=6 \Rightarrow a= 14\cdot 6= 84$ și $y=1 \Rightarrow b= 14\cdot 1= 14$

Exercițiul 2: Determinați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la 48 dă restul 42 și împărțit la 56 dă restul 50.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ : \ \ \ 48 = c_{1}\ \ \ \ rest 42$ $\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42$

$x\ \ \ : \ \ \ 56 = c_{2}\ \ \ \ rest 50$ $\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50$ .

Observăm în ambele relații că trebuie să adunăm un 6 pentru a putea da factor comun pe 48 și pe 56.

$\Rightarrow x=48 \cdot c_{1}+ 42 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot c_{1}+ 48$ $\Rightarrow x+6 =48 \cdot (c_{1}+ 1)$

$\Rightarrow x=56 \cdot c_{2}+ 50 \ \ \ \ | \ \ \ \ +6$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot c_{2}+ 56$ $\Rightarrow x+6 =56 \cdot (c_{2}+ 1)$

Mai departe trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 48 și 56 pentru a afla cât este x+6.

Descompunem în factori primi numerele 48 și 56 și obținem:

$48= 2^4 \cdot 3$

$56= 2^3 \cdot 7$

$[48, 56]= 2^4\cdot 3\cdot 7= 16\cdot 3\cdot 7=336$

$\Rightarrow x+6 =336 | \ \ \ -6\Rightarrow x=336-6 \Rightarrow x=330$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Legătura dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Legatura dintre cmmdc si cmmmc

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

09
ian.
2019

Exerciții rezolvate la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c)

categories: Mulţimea numerelor naturale

„Un om educat se deosebeşte de un om needucat, asa cum un om viu se deosebeşte de un om mort.”

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la Cel Mai Mic Multiplu Comun (c.m.m.m.c).

Exercițiul 1: Aflați cel mai mic multiplu comun al următoarelor numere:

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Rezolvare: Pentru a putea determina c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

a) $24,\ \ \ \ 12, \ \ \ 18$

$24=2^3\cdot 3$

$12=2^2\cdot 3$

$18=2^1\cdot 3^2$

Cel mai mic multiplu comun este produsul tuturor factorilor comuni și necomuni luați o singură dată la puterea cea mai mare.

$[24, 12, 18]=2^3\cdot 3^2=8 \cdot 9=72$

b) $28,\ \ \ \ 147, \ \ \ 63$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$28=2^2\cdot 7$

$147=3\cdot 7^2$

$63=3^2\cdot 7$

$[28, 147, 63]=2^2\cdot 3^2 \cdot 7^2=4\cdot 9\cdot 49=1764$

c) $120,\ \ \ \ 240, \ \ \ 360$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$120=2^3\cdot 3\cdot 5$

$240= 2^4\cdot 3\cdot 5$

$360= 2^3\cdot 3^2\cdot 5$

$[120, 240, 360]= 2^4\cdot 3^2\cdot 5=16 \cdot 9\cdot 5=720$

d) $121,\ \ \ \ 330, \ \ \ 49$

Descompunem numerele în factori primi și apoi le scriem ca produs de puteri.

$121= 11^2$

$330= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$

$49= 7^2$

$[121, 330, 49]= 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7^2\cdot 11^2=2\cdot 3\cdot 5\cdot 49\cdot 121= 177870$

Exercițiul 2: Aflați cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit pe rând la 6, 16 și 12 dă de fiecare dată restul 5.

Rezolvare:

Din enunțul problemei știm că:

$x\ \ \ :\ \ \ 6=c_{{1}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ . Aplicăm teorema împărțirii cu rest și obținem: $x =6\cdot c_{{1}} + 5$

Mai știm: $x\ \ \ :\ \ \ 16=c_{{2}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=16\cdot c_{{2}}+ 5$

$x\ \ \ :\ \ \ 12=c_{{3}}\ \ \ rest \ \ \ 5$ $\Rightarrow x=12\cdot c_{{3}}+ 5$ .

Scădem din fiecare relație câte un 5 și obținem:

$\Rightarrow x-5=6\cdot c_{{1}}$

$\Rightarrow x-5=16\cdot c_{{2}}$

$\Rightarrow x-5=12\cdot c_{{3}}$

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 6, 16 și 12.

Mai întâi descompunem în factori primi numerele:

$6=2\cdot 3$

$16=2^4$

$12=2^2 \cdot 3$

$\left [ 6,16,12 \right ]= 2^4 \cdot 3=16\cdot 3=48$

Obținem astfel:

$x-5 = 48 | \ \ \ +5$ $\Rightarrow x=48+5$ $\Rightarrow x=53$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Cel Mai Mic Multiplu Comun pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru CMMMC

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

25
iul.
2018

Exerciții Rezolvate la Scăderea Fracțiilor (Numerelor Raționale)

categories: Numere Raționale

"Dacă nu esti dispus sa inveți nimeni nu te poate ajuta. Dacă esti determinat să înveți, numeni nu te poate opri."

Zig Ziglar.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva Eerciții Rzolvate la Scăderea fracțiilor (Numerelor Raționale)!

Exercițiul 1: Efectuați scăderile:

a) $\frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=?$

b) $\frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=?$

c) $\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?$

d) $\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?$

e) $\frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?$

Rezolvare:

a) Observăm că avem două fracții care au același numitor.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au același numitor, scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:
$\frac{9}{3}}-\frac{5}{3}}=\frac{9-5 }{3}}=\frac{4}{3}}$

b) $\frac{17}{5}}-\frac{3}{5}}-\frac{7}{5}}=\frac{17-3-7}{5}}$ $=\frac{7}{5}}$

c) Observăm că avem două fracții care au numitori diferiți.

La scăderea a două sau mai multe fracții care au numitori diferiți mai întâi aducem fracțiile la același numitor determinăm c.m.m.m.c-ul numitorilor , amplificăm fracțiile pentru a le aduce la același numitor , apoi scădem fracțiile folosind regula de mai sus scădem numărătorii între ei și păstrăm numitorul. Astfel obținem:

$\frac{36}{5}}-\frac{7}{3}}=?$

Observăm că numitorul comun este 15; prima fracție o amplificăm cu 3 iar a doua cu 5.

$_{}^{3)}\textrm{\frac{36}{5}}-_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{3}}=$ $\frac{3\cdot 36}{3\cdot 5}-\frac{5\cdot 7}{5\cdot 3}=$ $\frac{108}{15}-\frac{35}{15}=$ $\frac{108-35}{15}=$ $\frac{73}{15}$

d) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

$\frac{5}{2}-\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=?$

Știm că 3 și 4 sunt numere prime între ele. În acest caz numitorul comun este 12.

Prima fracție o amplificăm cu 6, a doua cu 4 iar a treia cu 3. Astfel obținem:

$_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{2}} -_{}^{4)}\textrm{\frac{2}{3}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{4}}=$ ${\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2}} - \frac{4 \cdot 2}{4\cdot 3}} -\frac{3\cdot 3}{3\cdot 4}}=$ ${\frac{30}{12}} - \frac{8}{12}} -\frac{9}{12}}=$ ${\frac{30- 8 - 9}{12}}=$ ${\frac{13}{12}}$

e) Observăm că avem trei fracții care au numitori diferiți.

$\frac{17}{15}}-\frac{3}{20}}-\frac{7}{12}}=?$

Calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor 15, 20, 12.Pentru a putea calcula c.m.m.m.c-ul numerelor mai întâi le descompunem în factori primi.

Asadar am obținut numitorul comun 60.Prima fracție o amplificăm cu 4, a doua fracție o amplificăm cu 3 , iar a treia fracție o amplificăm cu 5. Astfel obținem:

$_{}^{4)}\textrm{\frac{17}{15}} -_{}^{3)}\textrm{\frac{3}{20}} -_{}^{5)}\textrm{\frac{7}{12}}=$ $\frac{4\cdot 17}{4\cdot 15}} -\frac{3\cdot3}{3\cdot20}} -\frac{5\cdot 7}{5\cdot12}}=$ $\frac{68}{60}} -\frac{9}{60}} -\frac{35}{60}=$ $\frac{68-9-35}{60}} =$ $\frac{24}{60}}^{(2} =$ $\frac{12}{30}}^{(2} =$ $\frac{6}{15}}^{(3} =$ $\frac{2}{5}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $5\frac{1}{4}} -3\frac{1}{3}} -\frac{5}{6}} = ?$

b) $3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?$

Rezolvare:

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{5\cdot4+1}{4}} -\frac{3\cdot3+1}{3}} -\frac{5}{6}} =$ $\frac{20+1}{4}} -\frac{9+1}{3}} -\frac{5}{6}} =$ $\frac{21}{4}} -\frac{10}{3}} -\frac{5}{6}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 4; 3; 6 astfel:

$4= 2^2$

$3= 1\cdot3$

$6= 2\cdot3$

$\left [ 4; 3; 6 \right ]= 2^2 \cdot 3=4\cdot 3=12$

Prima fracție o amplificăm cu 3, a doua fracție o amplificăm cu 4, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{}^{3)}\textrm{\frac{21}{{4}}}-_{}^{4)}\textrm{\frac{10}{{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{5}{{6}}}=$ ${\frac{3\cdot 21}{{3\cdot 4}}}-{\frac{4\cdot 10}{{4\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 5}{{2\cdot 6}}}=$ ${\frac{63}{{12}}}-{\frac{40}{{12}}}-{\frac{10}{{12}}}=$ ${\frac{63-40-10 }{{12}}}=$ ${\frac{13 }{{12}}}$

b) $3\frac{1}{2}} -\frac{5}{3}} -1\frac{1}{9}} = ?$

Primul pas introducem întregii în fracție.

$\frac{3\cdot 2+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{1\cdot 9+1}{9}} =$ $\frac{6+1}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{9+1}{9}} =$ $\frac{7}{2}} -\frac{5}{3}} -\frac{10}{9}} =$

Aducem fracțiile la același numitor . Mai întâi determinăm c.m.m.m.c-ul numerelor 2; 3; 9. Știm că $9=3^2$ atunci obținem c.m.m.m.c-ul numerelor:

$\left [ 2; 3; 9 \right ]= 2\cdot 3^2= 2\cdot 9=18$

Prima fracție o amplificăm cu 9, a doua fracție o amplificăm cu 6, iar a treia fracție o amplificăm cu 2.

$_{}^{9)}\textrm{\frac{7}{2}}}-_{}^{6)}\textrm{\frac{5}{3}}}-_{}^{2)}\textrm{\frac{10}{9}}}=$ ${\frac{9\cdot 7}{9\cdot 2}}}-{\frac{6\cdot 5}{6\cdot 3}}}-{\frac{2\cdot 10}{2\cdot 9}}}=$ ${\frac{63}{18}}}-{\frac{30}{18}}}-{\frac{20}{18}}}=$ ${\frac{63-30-20}{18}}}=$ ${\frac{13}{18}}}$

Exercițiul 3: Calculați:

$S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}$

Rezolvare:

Observăm ca numărătorul reprezintă diferența numerelor de la numitor si o vom scrie chiar așa:

$S={\frac{3}{1\cdot4}}}+{\frac{3}{4\cdot7}}}+{\frac{3}{7\cdot10}}}+............+{\frac{3}{96\cdot99}}}$

$S={\frac{4-1}{1\cdot4}}}+{\frac{7-4}{4\cdot7}}}+{\frac{10-7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99-96}{96\cdot99}}}$

$S={\frac{4}{1\cdot4}}}-{\frac{1}{1\cdot4}}}+{\frac{7}{4\cdot7}}}-{\frac{4}{4\cdot7}}}+{\frac{10}{7\cdot10}}}-{\frac{7}{7\cdot10}}}+............+{\frac{99}{96\cdot99}}}-{\frac{96}{96\cdot99}}}$

Observăm că se reduc termenii și obținem:

Observăm că ne rămâne prima și ultima fracție:

$S={\frac{1}{1}}}-{\frac{1}{99}}}$

Aducem la același numitor și obținem:

$S=_{}^{99)}\textrm{{\frac{1}{1}}}}-{\frac{1}{99}}}=$ ${{\frac{99}{99}}}}-{\frac{1}{99}}}={\frac{98}{99}}}$

Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Scăderea fracțiilor pentru copilul tău, pe care o gasești aici:Fisa de lucru Scaderea fractiilor

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

29
iun.
2018

Exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers

categories: Numere Naturale

"Învingătorii nu renunță, iar cei care renunță nu ajung învingători!"

Aristotel

Dragul meu părinte bine te-am găsit!

Azi te invit să exersăm împreună câteva exerciții rezolvate la Metoda Mersului Invers!

(mai mult…)

Exercițiul 1: $3(x+2) - 7=14$

Rezolvare: Știm din clasele mici că într-un exerciţiu în care sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise. Analizând exercițiul nostru observăm că nu putem efectua calculele din paranteza rotunda deoarece avem o necunoscută. În acest caz pentru a-l afla pe x prima oară îl mutăm pe 7 cu semn schimbat în partea dreaptă a egalului.

$3(x+2) - 7=14$ $/ +7$ $\Rightarrow$ $3(x+2)=14+7$ $\Rightarrow$

$3(x+2)=21$ $/ :\ \ \ \ 3$ $\Rightarrow$ $x+2=21 \ \ \ :\ \ \ 7$ $\Rightarrow$

$x+2=3$ $/ -2$ $\Rightarrow$ $x=3-2$ $\Rightarrow$ $x=1$

Exercițiul 2: $90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$

Rezolvare: De data aceasta primul termen mutat cu semn schimbat este 90 cu semnul -

$90+[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212$ $/-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=212-90$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] \ \ \ :\ \ \ 4=122$ $/\cdot 4$

$[(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18] =122 \cdot 4$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2+18 =488$ $/ - 18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=488-18$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)\cdot 2=470$ $/ \ \ \ :\ \ \ 2$

$(420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=470 \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow (420\ \ \ :\ \ \ 4 +5\cdot a)=235$

105 +5a =235 / -105

5a =235 -105

5a = 130

a = 130 : 5

a = 26

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

05
nov.
2017

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

categories: Geometrie a VI-a

"Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată." Thomas Edison

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la "Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare".

Exercițiul 1 :

Unghiul $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente și complementare. Știind că $m(\widehat{MON})$ este $\frac{3}{2}$ din $m(\widehat{NOP})$ să se calculeze $m(\widehat{NOP})$ și $m(\widehat{MON})$ ..

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că $m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2$
$\Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ$
$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ$
Înlocuim și aflăm și măsura unghiului $\widehat{MON}$
$m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}}$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ$
$m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})$
$m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ$

Exercițiul 2:

Măsura $m(\widehat{XOY})$ este $\frac{7}{8}$ din măsura suplementului său unghiul $m(\widehat{YOZ})$ . Aflați măsura $m(\widehat{XOY})$ și $m(\widehat{YOZ})$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că: $m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ$
Știm că $m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$
$\Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8$
$\Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ$
Înlocuim și aflăm măsura $m(\widehat{XOY})$ :
$m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ$

Exercițiul 3:

Determinați măsura unghiului $m(\widehat{MON})$ știind că măsura complementului suplementului său este de $63^\circ$ .

Rezolvare:
Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului $\widehat{MON}$ este $63^\circ$ . Scriem matematic această informație:
Notăm suplementul unghiului $\widehat{MON}$ cu $\widehat{NOP}$ și obținem informația:
$m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Notăm complementul unghiului $\widehat{NOP}$ cu $\widehat{NOQ}$ și obținem informația:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{NOQ})=63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ$
Mai știm din enunțul problemei că: $m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Înlocuim $m(\widehat{NOP})=27^\circ$ și obținem:
$m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ$

Succes!

Daca te ajuta poti descarca lecția in format pdf de aici: Unghiuri-Complementare-Suplementare (3)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

03
nov.
2017

Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi

categories: Geometrie a VI-a

"Fără educație, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al rațiunii."

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun câteva exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la o lecție nouă de Geometrie: "Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi". (mai mult…)

Exercițiul 1:

În figura de mai jos unghiurile $\widehat{XOY}$ și $\widehat{YOZ}$ sunt adiacente. Știind că $m(\widehat{XOY} )=69^\circ$ și $m(\widehat{XOZ} )=123^\circ$ , determinați $m(\widehat{YOZ} )$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Analizând desenul observăm că îl putem determina $m(\widehat{YOZ} )$ ca fiind:

$m(\widehat{YOZ} )=m(\widehat{XOZ} )-m(\widehat{XOY} )$ $\Rightarrow m(\widehat{YOZ} )=123^\circ - 69^\circ=54^\circ$

Exercițiul 2:

Unghiurile $\widehat{ABC}$ și $\widehat{CBD}$ sunt adiacente astfel încât $m(\widehat{ABC})=45^\circ$ iar $m(\widehat{CBD})=25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ$ . Demonstrați că $\left [ BC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{ABD}$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Ca să arătăm că $\left [ BC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{ABD}$ trebuie să arătăm că $\widehat{ABC}\equiv \widehat{CBD}$ .

Calculăm dimensiunea unghiului $m(\widehat{CBD}) = 25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ$

$m(\widehat{CBD}) = \frac{25}{{100}}\cdot 180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{25\cdot180^\circ}{{100}}$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{4500^\circ}{{100}}=45^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) \equiv m(\widehat{ABC})$ $\Rightarrow \left [ BC$ bisectoarea $\widehat{ABD}$ .

Realizăm desenul:

Exercițiul 3:

Se dau două unghiuri adiacente $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ . Știind că bisectoarele $\left [ OM$ și $\left [ ON$ ale celor două unghiuri sunt perpendiculare și că $m( \widehat{AOB})=5\cdot m( \widehat{BOC})$ să se determine $m( \widehat{AOB})$ și $m( \widehat{BOC})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
Analizând datele problemei observăm că nu știm exact dimensiunile unghiurilor $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ deci este destul de greu de realizat desenul.
Dar știm că bisectoarele celor două unghiuri sunt perpendiculare deci formează un unghi $\widehat{MON}=90^\circ$
Mai știm că $\left [ MO$ bisectoarea $\widehat{AOB}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}\equiv \widehat{MOB}$
Și că $\left [ ON$ bisectoarea $\widehat{BOC}$ $\Rightarrow \widehat{BON}\equiv \widehat{NOC}$
Dar $\widehat{MOB}+\widehat{BON}=90^\circ$
Din aceste relații $\Rightarrow 2m ( \widehat{MOB})+2 m ( \widehat{BON})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2[m ( \widehat{MOB})+ m ( \widehat{BON})]=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2\cdot m ( \widehat{MON})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2\cdot 90^\circ=m( \widehat{AOC})$ $\Rightarrow m( \widehat{AOC})=180^\circ$ .
Realizăm desenul:
Observăm din desen că $m( \widehat{AOB})+m( \widehat{BOC})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 5\cdot m( \widehat{BOC})+m( \widehat{BOC})=180^\circ$
$\Rightarrow 6\cdot m( \widehat{BOC})=180^\circ$ $\Rightarrow m( \widehat{BOC})=180^\circ\ \ \ :\ \ \ 6 \$ $\Rightarrow m( \widehat{BOC})=30^\circ$
Știm că $\Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot m( \widehat{BOC})$ $\Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot 30^\circ=150^\circ$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de "Matematică Math More Easy."

29
oct.
2017

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

categories: Numere Naturale

"Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde."

Eric Berne

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la "Factorul comun la Puteri".

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}$

e) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

(mai mult…)

Rezolvare:
a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$
Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că $3^{96}$ este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe $3^{96}$ și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})$

Scădem puterile și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$3^{96}\cdot(1+9+81)$ $=3^{96}\cdot91$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

Observăm că $2^{47}$ este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe $2^{47}$ și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})$

Scădem puterile și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)$

Efectuăm înmulțirile și obținem:

$2^{47}\cdot(2+6+8)$ =

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

$2^{47}\cdot 16$ =

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca $2^{4}$ și obținem

$2^{47}\cdot2^{4}$ =

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

$2^{47+4}=2^{51}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

Observăm că $8^{297}$ este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe $8^{297}$ și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})$

Scădem puterile și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})$

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1)$ =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-192-64)$ =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

$8^{297}\cdot 256$ =

Știm că putem scrie $8=2^3$ și $256=2^8$ și obținem:

$(2^3)^{297}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

$2^{3\cdot297}\cdot 2^8=$ $2^{891}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

$2^{891+8}=2^{899}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=$

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării $3^{2n}$ , îl dăm factor comun și obținem:

$3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=$

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+21-6)=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot 24=$ $3^{2n}\cdot 3\cdot8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

$3^{2n+1}\cdot8$

d) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri transformăm bazele pe 6 îl scriem $6=2\cdot3$ , pe $4=2^2$ , $9=3^2$ , pe $18=2\cdot3^2$ și obținem:

$(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

Observăm că se repeta $2^{2n}\cdot3^{2n}$ și îl dăm factor comun, astfel obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)$

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=$ $(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=$ $(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=$ $(6)^{2n+1}\cdot331$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

28
oct.
2017

Exerciții rezolvate la Mijlocul unui Segment.

categories: Geometrie a VI-a

"Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută." -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: "Mijlocul unui segment dat".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Mijlocul unui segment. Simetricul unui punct fata de alt punct

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Se dau patru puncte M, N, P,Q coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ , $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ , $\left [ PQ \right ]=6 \ cm$ și punctul X mijlocul segmentului $\left [ MN \right ]$ , iar punctul Y mijlocul segmentului $\left [ NQ\right ]$ . Calculați lungimea segmentului $\left [ XY\right ]$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
Realizăm desenul respectând datele problemei:
Analizând atent desenul realizat observăm că segmentul $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$
Pentru ca nu cunoaștem demensiunile celor două segmente: $\left [ XN\right ]$ și $\left [ NY\right ]$ vom face cateva calcule ca să le aflăm.
Știm că punctul $X \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ MN \right ]$ $\Rightarrow \left [ MX \right ] \equiv \left [ XN \right ]$ $=\frac{\left [ MN \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ MN \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor: $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ și $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ și îl pot afla pe $\left [ MN \right ]$ .
$\left [ MN \right ]=\left [ MP \right ]-\left [ NP \right ]$ $=18 cm - 8 cm =10 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ XN \right ]= \frac{ \left [ MN \right ]}{2}=\frac{10 cm}{2}=5 cm$
Trebuie sa îl aflăm și pe $\left [ NY\right ]$ .
Știu că $Y \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ NQ \right ]$ $\Rightarrow \left [ NY \right ] \equiv \left [ YQ \right ]$ $=\frac{\left [ NQ \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ NQ \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor $\left [ NP \right ]$ și $\left [ PQ \right ]$ și îl pot afla pe $\left [ NQ \right ]$ .
$\left [ NQ \right ]= \left [ NP \right ]+ \left [ PQ \right ]$ $= 8 cm + 6 cm =14 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ NY\right ]=\frac{\left [ NQ\right ]}{2}=\frac{14 cm}{2}=7 cm$
Înlocuim în: $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$ = $=5 cm +7 cm=12 cm$

Exercițiul 2:

Pe o dreaptă d se consideră trei puncte A, B, C coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ AB \right ]=8cm$ , $\left [ AC \right ]=20cm$ . Știind că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ și N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ , calculați lungimea segmentului $\left [ MN \right ]$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Știm că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\equiv \left [ MB \right ]$ $=\frac{ \left [ AB \right ]}{{2}}$ $=\frac{ 8 cm}{{2}}=4 cm$ .
Știm că N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ $\Rightarrow \left [ AN \right ]\equiv \left [ NC \right ]$ $=\frac{\left [ AC \right ]}{2}$ $=\frac{20 cm}{2}= 10 cm$
Analizând atent desenul observăm că $\left [ BN\right ]=\left [ AN\right ]-\left [ AB\right ]=10 cm - 8 cm=2 cm$
$\left [ MN \right ]=\left [ MB \right ]+\left [ BN \right ]$
$\left [ MN \right ]=4 cm+2 cm=6 cm$

Exercițiul 3:

Pe o dreaptă d se consideră punctele: X, Y, Z, T coliniare în această ordine astfel încât $\left [ XY\right ]=12 cm$ , $\left [ YZ\right ]=5 cm$ , $\left [ ZT\right ]=3 cm$ . Se știe că punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor: $\left [ XY\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YZ\right ]$ și respectiv $\left [ ZT\right ]$ . Aflați lungimea segmentelor: $\left [ XZ\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XN\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YP\right ]$

Rezolvare:
Scriem datele problemei
Realizăm desenul respectând datele problemei:

Analizând desenul realizat observăm că: $\left [ XZ\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YZ\right ]=12 cm +5 cm =17 cm$
$\left [ XT\right ]= \left [ XZ\right ]+\left [ ZT\right ]=17 cm +3 cm =20 cm$
$\left [ YT\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZT\right ]=5 cm +3 cm =8 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]$
Nu îl știm pe $\left [ YN\right ]$ dar știm că N este mijlocul segmentului $\left [ YZ\right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]\equiv \left [ NZ \right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{\left [ YZ \right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{5 cm}{2}= 2,5 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]= 12 cm + 2,5 cm=14,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
Nu cunoaștem dimensiunea lui $\left [ ZP\right ]$ dar știm că punctul P este mijlocul lui $\left [ ZT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]\equiv \left [ PT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [ ZT\right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [3 cm ]}{2}=1,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
$\left [ YP\right ]= 5 cm +1,5 cm= 6,5 cm$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

24
oct.
2017

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes."

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) $120$

b) $3528;$

c) $36000$

Rezolvare:

a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin $2\cdot 5$
Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
Deci 120 descompus în factori primi este: $120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$
b) $3528$
Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
Pentru că 441 este un număr impar și nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
$4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3$
Mai departe împărțim prin 3.
Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: $3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2$
c) $36000$
Pentru că $36000$ se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu $1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3$
Deci obținem:
Astfel putem scrie $36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3$

Exercițiul 2 :

Determinați numerele naturale "m", "n" și "p"astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) $36=2^n \cdot 3^p$

b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

Obținem astfel:
a) $36=2^n \cdot 3^p$
$36=2^2\cdot 3^2$ $\Rightarrow n=2$ și $p=2$
b) $360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$
c) $720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m$
$720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1$ $\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2$ și $m=1$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în "Clubul de Matematică Math More Easy".

29
sept.
2017

Segment de dreaptă. Semidreapta

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură, Geometrie a VI-a

"Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi........ este să nu începi acel ceva"

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan. În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția "Segment de dreaptă. Semidreapta".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Segment de dreaptă. Semidreapta".

PS: Asigura-te ca te-ai abonat la canalul meu de YouTube pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Segment de dreaptă:

Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
Se notează : $\left [ AB \right ]$

Segmentul de dreaptă închis:

Se notează: $\left [ AB \right ]$
Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

Se notează: $\left ( AB \right )$
nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta:

Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.

Se notează: $\left [ MN$

M se numește origine

Semidreaptă închisă:

Este semidreapta care își conține originea
Se notează: $\left [ MN$

Semidreaptă deschisă:

Este semidreapta care nu își conține originea.
Se notează: $\left ( MN$

Semidrepte opuse:

Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor