examen matematica - Matematica Mai Usoara

Etichetă: examen matematica

17
ian.
2017

Relații între mulțimi de numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(mai mult…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.

Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: $A \neq B$ .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : $A\subset B$ , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: $B \supset A$
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: $A \not \subseteq B$ sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: $B \not \supset \ A$ .

Observații:

Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime $\not \bigcirc\subset A$

Orice mulțime este inclusă în ea însăși $A \subset A$ .

Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset A$ atunci $A=B$ .

Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ .

Submulțimi:

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică $A \subset B$ se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

Observații:

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu $2^{{card A}}$
Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu: Fie mulțimea $M=\left \{ 1,3,5 \right \}$ . CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are $2^{3}=8$ submulțimi.

$\not\bigcirc$ , $\left \{ 1 \right \}$ , $\left \{ 3 \right \}$ , $\left \{ 5 \right \}$ , $\left \{ 1,3 \right \}$ , $\left \{ 1,5 \right \}$ , $\left \{ 3,5 \right \}$ , $M$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

18
nov.
2016

Exerciții rezolvate la formulele de calcul prescurtat

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul anterior ţi-am prezentat "Formulele de Calcul Prescurtat" pentru numere reale.

Dragul meu părinte, ţi-am spus că aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte? Aceste rapoarte de numere compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte)

EXERCIŢIUL 1: Folosind formula pentru pătratul sumei sau diferenţei a doi termeni, calculaţi:

a) $(x+1) ^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=+1$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot (+1)+(+1)^{2}$

$(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1$

b) $(x - 2)^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=-2$ . Aplicând formula obţinem:

$(x - 2)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 2 +(-2)^{2}$

$(x - 2)^{2}=x^{2}-4 x +4$

c) $(2x+\sqrt{3})^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=\sqrt{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$

$(2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3$

d) $(5x-\sqrt{2})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=5x$ şi $b=\sqrt{2}$ . Aplicând formula obţinem:

$(5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}$

$(5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2$

e) $(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{3}x$ şi $b=\frac{1}{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}$

f) $(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{7}x$ şi $b=\frac{7}{4}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}$

f) $(x+7)(x-7)$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=7$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+7)(x-7)= x^{2}-7^{2}$

$(x+7)(x-7)= x^{2}-49$

EXERCIŢIUL 2: Efectuaşi calculele :

a) $(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}=$

b) $(x-\sqrt{2}) ^{2}-(\sqrt{2}x+1) ^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

10
nov.
2016

Formulele de calcul prescurtat

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. În articolul anterior ţi-am explicat cum facem "Operaţii între numerele reale reprezentate prin litere". Am explicat pas cu pas cum facem "Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere" , dar şi Înmulţirea, Împărţirea, ridicarea la puterea a numerelor reale reprezentate prin litere" . În articolul de azi vreau să îţi prezint formulele de calcul prescurtat pentru numere reale.

Aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte. Aceste rapoarte compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

Avem următoarele formule:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$a^{2}-b^{2}=(a- b)(a+b)$

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$

$(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c$

$(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c$

$(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}+b^{3}$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}-b^{3}$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Acestea sunt cele mai importante şi uzuale formule de calcul prescurtat pentru numerele reale. În curând voi reveni şi cu un articol cu Aplicaţii la formulele de calcul prescurtat în care voi prezenta câteva exerciţii cu un grad de dificultate diferit.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

31
oct.
2016

Exerciții Rezolvate la "Operaţii cu Numere Reale Reprezentate prin Litere"

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Săptămâna aceasta ti-am prezentat în două articole "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere" şi "înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere" , azi te invit să efectuăm împreună cateva exerciţii cu numere reale reprezentate prin litere.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Calculaţi:

a) $x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=$

Înmulţim coeficientii între ei iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=1\cdot (-2) x ^{2+0} y ^{2+1}z ^{0+2}=-2 x ^{2} y ^{3}z ^{2}$

b) $\sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=$

Înmulţim coeficientii între ei iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$\sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{12})x^{1+1}y^{0+1}=$ $=(-\sqrt{3\cdot12})x^{2}y^{1}=(-\sqrt{36})x^{2}y^{1}=-6x^{2}y^{1}$

c) $\frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=$

Mai întâi introducem întregul în fracţie la termenul al doilea, după care înmulţim coeficienţii între ei (fracţiile), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$\frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}xy \cdot \frac{1\cdot3+1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} x^{1+2}y^{1+1}=\frac{4}{6} x^{3}y^{2}=\frac{2}{3} x^{3}y^{2}$

d) $54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)$ =

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)=54 :(-6) a^{3-2} b^{3-1}=(-9) a b^{2}$

e) $-35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=$

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$-35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=-35:(-7)x^{3-2}y^{1-1} z^{3-1}=5x^{1}y^{0} z^{2}=5x z^{2}$

f) $\sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=$

Împărţim coeficienţii între ei (radicalii), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$\sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=\sqrt{27}:(-\sqrt{3}) x^{5-3}y ^{2-0}}=-\sqrt{27:3}x^{2}y ^{2}}=-\sqrt{9}x^{2}y ^{2}}=-3x^{2}y ^{2}}$

g) $(-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=$

Mai întâi introducem întregul în fracţie în cei doi termeni, după care împărţim coeficienţii între ei (fracţiile), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$(-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=(-\frac{1\cdot2+1}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{1\cdot3+1}{3}a ^{3} b^{2})$

$=(-\frac{3}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{4}{3}a ^{3} b^{2})=-\frac{3}{2}: (-\frac{4}{3})a ^{3-3} b^{3-2}=$

$=-\frac{3}{2}\cdot (-\frac{3}{4})a ^{3-3} b^{3-2}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 4}a ^{0} b^{1}=\frac{9}{8}b$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

26
oct.
2016

Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Gasesti lecția in format pdf aici : Inmultirea-Nnumerelor-Reprezentate--prin -Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Observaţie:Prin "Inmulţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Împărţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferenţa exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Ridicarea la puterea întreagă a unui număr real reprezentat prin litere" se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficienţului iniţial, iar partea literală este formată din aceleaşi litere ca ale temenului iniţial, fiecare literă având exponent egal cu produsul dintre exponentul iniţial şi puterea la care s-a ridicat numărul real reprezentat prin literă.

Observaţie:

Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire, împărţire şi ridicare la putere a expresiilor algebrice îşi pastrează aceleaşi reguli şi proprietăţi ca la numere reale.

La înmulţirea unui factor cu o paranteză (proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare şi scădere) înmulţim factorul din faţa parantezei cu fiecare termen din paranteză.

La înmulţirea a două paranteze înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză, iar la final reducem termenii asemenea.

La împărţirea unei paranteze cu un factor împărţim fiecare termen din paranteză la factor, dacă operaţia de împărţire este posibilă, dacă nu scriem termenii ca fracţie.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

09
oct.
2016

Mulţimi de numere reale.

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

Alte articole la Numere Reale gasesti aici:

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate

Reprezentarea pe Axă a Numerelor Reale. Aproximări!

Scoaterea si Introducerea factorilor sub Radical

Sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi faci temele pentru acasă la matematică.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

14
iun.
2016

Evaluare naţională 2016. Sesiunea specială iunie 2016

categories: Subiecte rezolvate Evaluare Naţionala 2016

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit.
Nu am mai scris nimic de mult timp şi pentru că se apropie cu paşi repezi examenul de capacitate pentru absolvenţii clasei a VIII-a m-am gândit în articolul de azi să rezolvăm exerciţiile date la sesiunea specială pentru olimpici care s-a desfăşurat săptămâna trecută.
Voi rezolva şi explica fiecare exerciţiu pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explici copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016. (mai mult…)

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

1. Rezultatul calculului 10×5 - 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 - 10 = 50-10 = 40

2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri:
Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte)
3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti)
Metoda II. Folosind Regula de trei simplă:
6 cărţi……………………24 lei
3 cărţi……………………x lei

x = $\frac{(3\cdot24)}{6}=\frac{72}{6}=12$ lei

3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15 $cm^{2}$

Rezolvare: Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime.
A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15 $cm^{2}$

5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu ..90 ° .

Rezolvare: Ştim că A'ADD' este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu măsura (<A'AD)= 90 °.

6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu ...120.

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

2. Știind că $\frac{a}{b}=4$ , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare:
Metoda I. Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe "a" în funcţie de "b".
$\frac{a}{b}=\frac{4}{1}\Rightarrow a=4b$

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .
$\frac{(3\cdot4b-2b)}{b}=10$

$\frac{(12b-2b)}{b}=10$ .
$\frac{10b}{b}=10$

$10=10 (A)$
Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

$\frac{b(3\cdot\frac{a}{b}-2)}{b}=10$

b se simplifică şi obţinem:

$3\cdot\frac{a}{b}-2=10$ .

$(3\cdot4\cdot2)=10$

$(12 - 2)=10$ .

$10=10$ (A)
Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare:
Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul.
$360 lei - 324 lei = 36 lei.$ .

$\frac{p}{100}\cdot360 lei = 36 lei$ .

$p=\frac{36\cdot100}{360}=\frac{3600}{360}=10$

$p = 10 %$ .

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x - 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.
Rezolvare:
Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

$\cap Ox: y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x -4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow M(4 ; 0)$
$\cap Oy : x = 0 \Rightarrow f(0) = 0 - 4 \Rightarrow f(0) = - 4 \Rightarrow N(0 ; - 4)$

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u şi ON = 4 u → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

5. Se consideră expresia :

$E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}$ , unde x este număr real,
x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să aducem la acelaşi numitor în paranteză şi să rezolvăm paranteza aplicând formulele de calcul prescurtat :

$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+ b^{2}$

$E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}$
$E(x)=[\frac{(x+2)^2}{x-3}-\frac{(x-3)^2}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}] : \frac{5}{x+2}$ $E(x)=(\frac{x^2+4x+4-x^2+6x-9-25}{(x+2)(x-3)}): \frac{5}{x+2}$

$E(x)=(\frac{10x-30}{(x+2)(x-3)})\cdot \frac{x+2}{5}$

$E(x)=\frac{10(x-3)}{(x+2)(x-3)}\cdot \frac{x+2}{5}$

Simplificăm termenii asemenea şi obţinem:

$E(x)=\frac{10}{5}$

$E(x)=2$

Pentru aducerea la acelaşi numitor şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al expresiei lui E(x) se punctează cu 2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN $\perp$ BC și BM = CN = 60 m .

a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m.
b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° .
c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 .
Rezolvare:

a) Notăm cu $L_{{mare}}$ =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu $L_{{mica}}$ = AD=BC

laturile mici ale paralelogramului.

$P_{ABCD} = 2(L_{mica}+L_{mare}) = 2( AB + AD) = 2 (80 m + 60m) = 2\cdot140m = 280 m.$

Pentru scrierea şi aplicarea formulei perimetrului dreptunghiului se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al perimetrului se punctează cu 3 puncte.

b) Ştim din datele problemei ca $BM \equiv NC$ şi ca $BM // NC$ deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme $\Rightarrow$ BMNC paralelogram şi pentru ca $BC \perp MN$ $\Rightarrow$ $BMNC romb$ $\Rightarrow$ BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $AD \equiv BC$ $\Rightarrow$ $BC=60 m$ .

În concluzie am demonstrat ca $BN\equiv CN\equiv BC$ $\Rightarrow$ $\Delta BMC echilateral$ $\Rightarrow$ $m(\lt BCN)= 60^{\circ}$ .

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $m (< BCN)\equiv m (<DAB)$ $\Rightarrow$ $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ .

Pentru demonstrarea că $BMNC romb$ se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii unghiului $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ se punctează cu 3 puncte.

c) Observăm ca MEFC este trapez, iar pentru a calcula Aria trapezului avem nevoie de înălţimea trapezului.

$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$

În cazul nostru $B=CF, b=ME$ iar $h= EP$ . Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim $AD // EF \Rightarrow EF = 60 m$
$\Delta EPF (< P = 90^{\circ}). Dar < EFP = 60^{\circ} \Rightarrow m( < PEF) = 30^{\circ} \Rightarrow PF = \frac{EF}{2}= \frac{60}{2}=30 m$

$\Delta EPF (< P = 90^{\circ} )$ : $EF^{2}=EP ^{2} + PF ^{2}$
$60^{2}=EP ^{2} + 30 ^{2}$

$3600=EP ^{2} + 900$
$EP ^{2}$ = 3600 – 900
$EP ^{2} =2700$
$EP=\sqrt{2700}$
$EP=30\sqrt{3} m$

$A_{{CMEF}}=\frac{(ME+CF)\cdot EP}{2}$

$A_{{CMEF}}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3} }{2}$

$A_{{CMEF}}=\frac{100\cdot 30\sqrt{3} }{2}$

$A_{{CMEF}}=1500\sqrt{3} m^2$

$1500\sqrt{3} \lt 2600$
$15\sqrt{3} \lt 26 | ^2$

$225 \cdot3 \lt 26^2$

$675 < 676$

Pentru demonstrarea şi calcularea distanţei de la M la CF se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea ariei şi demonstrarea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = $6\sqrt{3} m$ , iar VO este înălțimea piramidei.

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu $108\sqrt{3} m^2$ .
b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu $144\sqrt{2} m^3$ .
c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

Rezolvare:

a) Pentru a afla aria laterală a piramidei regulate VABC aplicam formula:

$A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}$
Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12.
Obţinem astfel: $P_{{b}}=3\cdot l=3\cdot12=36 m$ , iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM= $6\sqrt{3}m$ .

$A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}= \frac{36\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{21 6\sqrt{3}}{2}=108\sqrt{3} m^2$

Pentru scrierea formulei ariei laterale a piramidei triunghiulare regulate se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a rezultatului ariei se punctează cu 3 puncte.

b) Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC aplicam formula:

$V_{{p}}= \frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}$
Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

$A_{{b}}= \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3} m^2$
Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC avem nevoie şi de dimensiunea înălţimei piramidei VO.
Pentru a calcula înălţimea piramidei VO avem nevoie de dimensiunea laturei OM care stim ca este egală cu 1/3 din AM.
AM este înălţime în triunghiul echilateral ABC şi pentru ai afla dimensiunea aplicăm formula :

$AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} m$

$OM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3} m=2\sqrt{3} m$

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
∆VOM(< O = $90^\circ$ ) : $VM^{{2}}=VO^2 +OM^2$
$(6\sqrt{3}) ^{{2}}=VO^2 +(2\sqrt{3}) ^{{2}}$
$VO^2 = 108-12$
$VO^2 = 96$
$VO^2 = \sqrt{96}$

$VO = 4\sqrt{6} m$

$V_{{p}}=\frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}=\frac{36\sqrt{3}m^2\cdot 4\sqrt{6}m}{3}=\frac{144\sqrt{18}m^3}{3}=\frac{144\cdot 3\sqrt{2}m^3}{3}=144\sqrt{2} m^3$

Pentru aflarea dimensiunii înălţimii piramidei se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea formulei volumului piramidei triunghiulare regulate şi calcularea corectă a volumului se punctează cu 3 puncte.

c) Ştim că N mijlocul lui VO şi NP este distanţa de la N la VA → NP ⊥ VA (P ɛ VA) → că ∆VPN este asemenea cu ∆VOA conform criteriului de asemămare U.U obţinem următoarele rapoarte egale:

∆VPN ~ ∆VOA → $\frac{VP}{{VO}}=\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}$
Din aceste rapoarte egale putem să scoatem dimensiunea laturii NP.
Pentru a afla NP avem nevoie de dimensiunea muchiei VA care ştim că este egală cu muchia VB.
Aflăm VB din triunghiul dreptunghic VMB cu ajutorul teoremei lui Pitagora.
∆VMB (< M = $90^{\circ}$ ) $VB ^{2}= VM ^{2} + BM ^{2}$

$VB ^{2}= (6\sqrt{3}) ^{2} + 6 ^{2}$
$VB ^{2}= 108 + 36$
$VB ^{2}= 144$

$VB ^{2}=\sqrt{144} m$

$VB =12 m\Rightarrow VA=12 m$

Pentru ca N este mijlocul lui VO → $VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} m$ .

$\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}\Rightarrow \frac{2\sqrt{6}}{{12}}=\frac{NP}{{4\sqrt{3}}} \Rightarrow NP=\frac{2\sqrt{6}\cdot4\sqrt{3} }{{12}} m=\frac{8\sqrt{18} }{{12}} m \Rightarrow$

$\Rightarrow NP=\frac{24\sqrt{2}}{{12}} m \Rightarrow NP =2\sqrt{2} m$

Dar noi trebuie să demonstrăm ca NP < 3m $\Rightarrow2\sqrt{2} \lt 3 | ^{{2}}$
8 < 9 (A)

Pentru identificarea corectă a rapoartelor lui Thales se obţin 2 puncte, iar calcularea corectă a dimensiunii laturii NP şi demonstraţia ca $NP\lt 3$ se punctează cu 3 puncte.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

11
mai
2015

Top 10 sfaturi despre cum îţi ajuţi copilul să depăşească frica de teză?

categories: Sfaturi pentru părinţi

Dragul meu părinte, te salut cu drag după o scurtă perioadă în care nu am mai scris nimic.

De o săptămână am început pregătirile pentru teza semestrială la matematică, iar replica pe care am auzit-o de la copii cu care lucrez :” Am început tezele. Mor de frică”, m-a determinat să scriu un articol cu sfaturi pentru părinţii care vor să-şi ajute copii să depăşească teama de evaluarea semestrială la matematică şi să obţină o notă bună.

De cele mai multe ori chiar părintele este un factor de stres pentru copilul care va susţine evaluarea semestrială la matematică.

(mai mult…)

De aceea, prin acest articol încerc să trag un semnal de alarmă părinţilor, dar şi să îi ajut prin ai învăţa cum să procedeze astfel încât să-şi ajute micuţii scolari să gestioneze stresul tezelor şi al examenelor.De multe ori stresul tezelor şi al examenelor este principalul vinovat al notelor scăzute chiar dacă copilul este unul care depune eforturi foarte mari în a învăţa, care se străduieste să se ridice la un nivel forte ridicat.

De cele mai multe ori părinţii îmi spun:

„Nu îmi explic cum a luat nota asta mică, ştia totul foarte bine, l-am văzut cu ochii mei cât a învăţat!”

Iar eu le răspund:

„ Perfect adevărat, dar nu l-aţi văzut şi ce emoţii are? De ce nu l-aţi ajutat să depăşească frica de teză?”

Mulţi recunosc ori ca nu au observat frica copilului, ori că nu au luat în seamă că acestă teamă îi va infuenţa nota la evaluare, însă toţi rămân surprinşi când le spun că tu părinte drag poţi să îţi ajuţi copilul să depăsească stresul tezelor şi al examenelor.

Dragul meu părinte, hai să vedem cum se manifestă acest balaur invizibil numit stresul tezelor şi al examenelor.

De multe ori copii nu spun că le este frică de examene dar se vede din comportamentul lor : le transpiră palmele mai abundent, sunt palizi la faţă, au stari de leşin, transpiră mai mult decât in celelalte zile, au mâinile reci, acuză dureri de cap, stări de voma sau simt nevoia sa meargă la toaletă mai des, au impresia ca au uitat tot sau o parte din materia pe care au învătat-o, sunt ferm convinşi ca vor lua o notă mică, lipsa poftei de mâncare cu o zi două inainte de teză, lipsa somnului, coşmaruri ca sunt ironizaţi de colegi ca au luat o notă mică, iar lista poate continua....

Dar să vedem dragul meu părinte cum îl poţi ajuta să depăşească aceste stări negative.

Nu îl condiţiona asupra notei.

Aud adesea părinţi care spun: „ Dacă nu vine cu notă mare la teză, nu mai are ce căuta acasă” sau alte astfel de aberaţii. Chiar dacă va lua o notă mai mică decât cea pe care o aştepţi tu, tot copilul tău este.

Evită să scoţi în evidenţă efectele negative ale unui posibil esec

Cel mai probabil, copilul tău ştie deja că îi va iesi o medie mai mică dacă ratează evaluarea , iar acest lucru îl va influenţa negativ şi în viitor.

Nu îl lăsa să înveţe pănă la o oră târzie cu o seară înainte de ziua tezei.

Odihna este foarte importanta înaintea unei evaluări. În momentul în care creierul nu este suficient de odihnit, nu se oxigenează complet şi pot apărea momente de blank(stări în care nu îti mai aduci aminte).

Spune-i că este un om valoros indiferent de rezultat.

S-a demonstrat stiinţific că atitudinea este cheia succesului. Atunci când ai încredere în forţele proprii şi ştii că poţi depăşii singur un obstacol, nimic nu îţi va sta în cale. Spune-i copilului tău că ai încredere în el că va lua o notă mare la evaluare şi vei vedea rezultatul.

Interpretează tu rolul profesorului şi ascultă-l.

Ajută-l să îşi împartă materia pe care o are de învăţat pe mai multe zile.

Sfătuieşte-l să îsi împartă subiectele pe care le are de recapitulat lpe mai multe zile pentru a evita să recapituleze toate noţiunile în aceeaşi zi.

Pregăteşte-i un meniu alimentar uşor.

Supavegheaza-l şi asigură-te ca nu consumă prea multe alimente cu efect energizant gen Cola, Ciocolată,...

Cu o seară înainte de teză iesiţi la o plimbare în parc.

Oxigenarea creierului este esenţiala în buna funcţionare a acestuia. Şi unde ai putea obţine acest lucru dacă nu la o plimbare in natură, în parc. Astfel copilul tău se va relaxa , iar rezultatul se va vedea în nota de la teză.

Cu o seară înainte de teză oferă-i o ceaşcă cu ceai de tei sau lapte cald îndulcite cu miere.

Se cunosc efectele benefice asupra somnului ale ceaiului de tei sau laptelui caldut îndulcit cu o linguriţă de miere. Astfel copilul tău va avea un somn liniştit şi odihnitor, iar a doua zii la evaluare va fii fresh.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:

mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

26
iul.
2014

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia ”Adunarea şi Scăderea numerelor naturale”, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Calculaţi suma: 1+2+3+4+.........................+80 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

1+2+3+4+.........................+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

1+2+3+4+.........................+80 = ?

putem scrie:

1+80+2+79+3+78+4+77+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

(1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

81+81+81+81+...........= ?

Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

81+81+81+81+...........+81= ?

Adică putem scrie :

40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

Calculaţi suma: 1+3+5+.........................+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

1+3+5+.........................95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

1+3+5+.........................+95+97+99 = ?

putem scrie:

1+99+3+97+5+95+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

(1+99)+(3+97)+(5+95)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

100+100+100+...........= ?

Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

100+100+100+100+...........+100= ?

Adică putem scrie :

25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

Calculaţi suma: 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

3+6+9+12+.........................+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

3+6+9+12+.........................+1992+1995+1998+2001 = ?

3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+...................= ?

(3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+...........+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

2004+2004+2004+2004+.........................+termenul liber = ?

Adică:

333 x 2004 + termenul liber = ?

Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

667 332+ 1002= ?

668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

02
apr.
2014

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

categories: Numere Naturale, Uncategorized

"În acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii frecvent întâlnite la lecţia Scrierea şi citirea numerelor naturale".

EXERCIŢIUL 1:

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{aa}$ .

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.

În acest caz rezultă că a = 9.

Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{aa}$ este 99.

Răspuns corect:

99

EXERCIŢIUL 2:

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{abc}$ :

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.

În acest caz exerciţiul ne cere să aflăm cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ : rezultă că a=b=c=9.

Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ este 999.

Răspuns corect:

999 999

EXERCIŢIUL 3 :

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma : $\displaystyle \overline{abc}$ format din cifre distincte.

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
Acest exerciţiu ne cere cel mai mare număr natural format din cifre distincte deci în acest caz .
În exerciţiul nostru, pentru ca numărul natural de forma să fie cel mai mare trebuie să aibă cifra sutelor egală cu 9.
a = Cifra Sutelor
b = Cifra Zecilor
c = Cifra Unităţi
În concluzie a = 9.
Dar ştim că $a\neq b\neq c$ .
În concluzie b şi c nu pot lua valoarea 9.
Dar ştim că 8 şi 7 sunt următoarele numere naturale cele mai mari după 9.
În concluzie cifra zecilor a numărului nostru trebuie să fie 8, deci b=8, iar cifra unităţilor să fie 7 rezultă că c = 7.
Astfel obţinem numărul 987.

Răspuns corect: 987

EXERCIŢIUL 4 :

Ø Scrieţi toate numerele naturale de forma $\displaystyle \overline{xyzt}$ cu condiţia ca $x+y=z+t=4$ cu x, z, y, t distincte.

Rezolvare:

Exerciţiul nostru, spune că x, y, z, t sunt distincte, deci $x\neq y\neq z\neq t$ şi că $\begin{array}{l}x+y=4\\z+t=4\end{array}$
Analizând această condiţie obţinem: $\begin{array}{l}0+4=4\\1+3=4\\3+1=4\\4+0=4\end{array}$
În concluzie numerele noastre x, y, z, t pot lua pe rând valorile 0, 1, 3, 4.
Şi acum să vedem ce variante avem:

VariantaVarianta 2Varianta 1: $\displaystyle x=0,\text{ }y=4,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul de forma : 0413 care nu respectă condiţia impusă de exerciţiul nostru pentru că numărul nostru trebuie să fie format din patru numere.

Varianta 2 : $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul 4013

Varianta 3 : $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=3,\text{ }t=1.$

Obţinem numărul 4031

Varianta 4 : $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 1304.

Varianta 5: $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 1340.

Varianta 6 : $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 3104.

Varianta 7 : $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 3140.

Răspuns corect: 1304, 1340, 3104, 3140, 4013, 4031

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi!
Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Etichetă: examen matematica

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Alte articole la Numere Reale gasesti aici:

Sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi faci temele pentru acasă la matematică.

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

1. Rezultatul calculului 10×5 - 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 - 10 = 50-10 = 40

2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri: Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte) 3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti) Metoda II. Folosind Regula de trei simplă: 6 cărţi……………………24 lei 3 cărţi……………………x lei

x = lei

3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15

Rezolvare: Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime. A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15

5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu ..90 ° .

Rezolvare: Ştim că A'ADD' este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu măsura (<A'AD)= 90 °.

6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu ...120.

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

2. Știind că , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

.

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare: Metoda I. Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe "a" în funcţie de "b".

.

.

Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

b se simplifică şi obţinem:

.

.

(A) Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare: Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul. .

.

.

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x - 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy . b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel. Rezolvare: Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u şi ON = 4 u → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

5. Se consideră expresia :

, unde x este număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să aducem la acelaşi numitor în paranteză şi să rezolvăm paranteza aplicând formulele de calcul prescurtat :

Simplificăm termenii asemenea şi obţinem:

Pentru aducerea la acelaşi numitor şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al expresiei lui E(x) se punctează cu 2 puncte.

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN BC și BM = CN = 60 m .

a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m. b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° . c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 . Rezolvare:

a) Notăm cu =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu = AD=BC

laturile mici ale paralelogramului.

Pentru scrierea şi aplicarea formulei perimetrului dreptunghiului se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al perimetrului se punctează cu 3 puncte.

b) Ştim din datele problemei ca şi ca deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme BMNC paralelogram şi pentru ca BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram .

În concluzie am demonstrat ca .

Dar ABCD paralelogram .

Pentru demonstrarea că se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii unghiului se punctează cu 3 puncte.

c) Observăm ca MEFC este trapez, iar pentru a calcula Aria trapezului avem nevoie de înălţimea trapezului.

În cazul nostru iar . Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim

:

= 3600 – 900

Pentru demonstrarea şi calcularea distanţei de la M la CF se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea ariei şi demonstrarea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = , iar VO este înălțimea piramidei.

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu . b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu . c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

Rezolvare:

a) Pentru a afla aria laterală a piramidei regulate VABC aplicam formula:

Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12. Obţinem astfel: , iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM=.

Pentru scrierea formulei ariei laterale a piramidei triunghiulare regulate se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a rezultatului ariei se punctează cu 3 puncte.

b) Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC aplicam formula:

Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM. ∆VOM(< O = ) :

Pentru aflarea dimensiunii înălţimii piramidei se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea formulei volumului piramidei triunghiulare regulate şi calcularea corectă a volumului se punctează cu 3 puncte.

c) Ştim că N mijlocul lui VO şi NP este distanţa de la N la VA → NP ⊥ VA (P ɛ VA) → că ∆VPN este asemenea cu ∆VOA conform criteriului de asemămare U.U obţinem următoarele rapoarte egale:

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri:
Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte)
3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti)
Metoda II. Folosind Regula de trei simplă:
6 cărţi……………………24 lei
3 cărţi……………………x lei

x = $\frac{(3\cdot24)}{6}=\frac{72}{6}=12$ lei

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15 $cm^{2}$

Rezolvare: Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime.
A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15 $cm^{2}$

2. Știind că $\frac{a}{b}=4$ , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare:
Metoda I. Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe "a" în funcţie de "b".
$\frac{a}{b}=\frac{4}{1}\Rightarrow a=4b$

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .
$\frac{(3\cdot4b-2b)}{b}=10$

$\frac{(12b-2b)}{b}=10$ .
$\frac{10b}{b}=10$

$10=10 (A)$
Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

$3\cdot\frac{a}{b}-2=10$ .

$(12 - 2)=10$ .

$10=10$ (A)
Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

Rezolvare:
Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul.
$360 lei - 324 lei = 36 lei.$ .

$\frac{p}{100}\cdot360 lei = 36 lei$ .

$p = 10 %$ .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.
Rezolvare:
Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

$E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}$ , unde x este număr real,
x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN $\perp$ BC și BM = CN = 60 m .

a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m.
b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° .
c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 .
Rezolvare:

a) Notăm cu $L_{{mare}}$ =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu $L_{{mica}}$ = AD=BC

b) Ştim din datele problemei ca $BM \equiv NC$ şi ca $BM // NC$ deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme $\Rightarrow$ BMNC paralelogram şi pentru ca $BC \perp MN$ $\Rightarrow$ $BMNC romb$ $\Rightarrow$ BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $AD \equiv BC$ $\Rightarrow$ $BC=60 m$ .

În concluzie am demonstrat ca $BN\equiv CN\equiv BC$ $\Rightarrow$ $\Delta BMC echilateral$ $\Rightarrow$ $m(\lt BCN)= 60^{\circ}$ .

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $m (< BCN)\equiv m (<DAB)$ $\Rightarrow$ $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ .

Pentru demonstrarea că $BMNC romb$ se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii unghiului $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ se punctează cu 3 puncte.

În cazul nostru $B=CF, b=ME$ iar $h= EP$ . Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim $AD // EF \Rightarrow EF = 60 m$
$\Delta EPF (< P = 90^{\circ}). Dar < EFP = 60^{\circ} \Rightarrow m( < PEF) = 30^{\circ} \Rightarrow PF = \frac{EF}{2}= \frac{60}{2}=30 m$

$\Delta EPF (< P = 90^{\circ} )$ : $EF^{2}=EP ^{2} + PF ^{2}$
$60^{2}=EP ^{2} + 30 ^{2}$

$3600=EP ^{2} + 900$
$EP ^{2}$ = 3600 – 900
$EP ^{2} =2700$
$EP=\sqrt{2700}$
$EP=30\sqrt{3} m$

2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = $6\sqrt{3} m$ , iar VO este înălțimea piramidei.

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu $108\sqrt{3} m^2$ .
b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu $144\sqrt{2} m^3$ .
c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

$A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}$
Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12.
Obţinem astfel: $P_{{b}}=3\cdot l=3\cdot12=36 m$ , iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM= $6\sqrt{3}m$ .

$V_{{p}}= \frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}$
Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
∆VOM(< O = $90^\circ$ ) : $VM^{{2}}=VO^2 +OM^2$
$(6\sqrt{3}) ^{{2}}=VO^2 +(2\sqrt{3}) ^{{2}}$
$VO^2 = 108-12$
$VO^2 = 96$
$VO^2 = \sqrt{96}$

Pentru ca N este mijlocul lui VO → $VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} m$ .

Dar noi trebuie să demonstrăm ca NP < 3m $\Rightarrow2\sqrt{2} \lt 3 | ^{{2}}$
8 < 9 (A)

Pentru identificarea corectă a rapoartelor lui Thales se obţin 2 puncte, iar calcularea corectă a dimensiunii laturii NP şi demonstraţia ca $NP\lt 3$ se punctează cu 3 puncte.