În lecția „Relații între mulțimi” pentru clasa a VI-a vei învăța cum se compară două mulțimi și cum se identifică mulțimile egale, submulțimile și relația de incluziune.

Vei descoperi semnificația simbolurilor matematice și vei reprezenta relațiile dintre mulțimi cu ajutorul diagramelor. Explicațiile clare și exemplele rezolvate pas cu pas te vor ajuta să recunoști corect relațiile și să aplici noțiunile în exerciții.

Relații între mulțimi și submulțimi, lecție pentru clasa a VI-a

Relații între mulțimi. Submulțimi

Două mulțimi pot avea aceleași elemente, pot să nu aibă niciun element comun sau una poate fi cuprinsă în cealaltă. În această lecție înveți să recunoști mulțimile egale, mulțimile disjuncte, incluziunea și submulțimile.

CLASA A VI-A

În această lecție vei învăța:

cum verifici dacă două mulțimi sunt egale;
cum recunoști două mulțimi disjuncte;
ce înseamnă incluziunea și submulțimea proprie;
cum determini toate submulțimile unei mulțimi finite.

Lecția video

Urmărește explicația relațiilor dintre mulțimi și a submulțimilor.

1. Mulțimi egale și mulțimi diferite

Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente. Ordinea în care scriem elementele nu contează.

A = B ⇔ fiecare element din A aparține lui B și fiecare element din B aparține lui A.

Exemplu: A = {1, 3, 9}, B = {3⁰, 3¹, 3²}. Deoarece B = {1, 3, 9}, rezultă A = B.

Dacă există un element care aparține uneia dintre mulțimi, dar nu și celeilalte, atunci mulțimile sunt diferite: A ≠ B.

Atenție: Două mulțimi cu același număr de elemente nu sunt neapărat egale. De exemplu, {1, 2} ≠ {3, 4}, deși fiecare are două elemente.

2. Mulțimi disjuncte

Două mulțimi sunt disjuncte dacă nu au niciun element comun. Cu alte cuvinte, intersecția lor este mulțimea vidă.

A și B sunt disjuncte ⇔ A ∩ B = ∅

Exemplu: A = {1, 3, 5} și B = {2, 4, 6} sunt disjuncte, deoarece niciun element din A nu aparține și lui B. Prin urmare, A ∩ B = ∅.

Atenție: Dacă două mulțimi au măcar un element comun, ele nu sunt disjuncte. De exemplu, {1, 3} și {3, 5} au elementul 3 în comun.

3. Incluziunea și submulțimile

Mulțimea A este inclusă în B dacă fiecare element al lui A aparține și lui B. Scriem A ⊆ B și spunem că A este o submulțime a lui B.

A ⊆ B ⇔ pentru orice x, dacă x ∈ A, atunci x ∈ B.

Exemplu: Pentru A = {2, 4} și B = {2, 4, 6}, avem A ⊆ B. De asemenea, A ≠ B, deoarece 6 ∈ B și 6 ∉ A. În acest caz, A este o submulțime proprie a lui B, notată A ⊊ B.

Dacă găsim un element x pentru care x ∈ A, dar x ∉ B, atunci A nu este inclusă în B, adică A ⊈ B. De exemplu, {2, 7} ⊈ {2, 4, 6}, deoarece 7 nu aparține celei de-a doua mulțimi.

Nu confunda: 2 ∈ B spune că numărul 2 este element al lui B. {2} ⊆ B spune că mulțimea {2} este submulțime a lui B.

4. Proprietăți importante

Orice mulțime este inclusă în ea însăși: A ⊆ A.
Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime: ∅ ⊆ A.
Egalitate prin dublă incluziune: dacă A ⊆ B și B ⊆ A, atunci A = B.
Tranzitivitate: dacă A ⊆ B și B ⊆ C, atunci A ⊆ C.

Astfel, două mulțimi sunt egale exact atunci când fiecare este submulțime a celeilalte.

5. Cum găsim toate submulțimile?

Pentru M = {a, b}, submulțimile sunt ∅, {a}, {b}, {a, b}. Mulțimea vidă și mulțimea M sunt incluse în listă.

Mulțimea tuturor submulțimilor lui M se notează 𝒫(M). Așadar, 𝒫(M) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Dacă M are n elemente, atunci are 2ⁿ submulțimi.

De ce? Pentru fiecare element există două alegeri: îl includem sau nu îl includem în submulțime. Dacă M are 3 elemente, obținem 2 × 2 × 2 = 8 submulțimi.

Exemplu: Pentru N = {1, 7, 77}, cele 8 submulțimi sunt ∅, {1}, {7}, {77}, {1, 7}, {1, 77}, {7, 77} și {1, 7, 77}.

De reținut

A = B
Mulțimile au exact aceleași elemente.

A ∩ B = ∅
Mulțimile A și B sunt disjuncte.

A ⊆ B
Fiecare element din A este și în B.

A ⊊ B
A este inclusă în B, dar A ≠ B.

∅ ⊆ A și A ⊆ A
Acestea sunt întotdeauna adevărate.

Exersează

Scrie toate submulțimile lui T = {3, 5, 8}. Apoi verifică dacă {3, 8} ⊆ T și dacă 3 ⊆ T sunt afirmații corecte.

Verificare: T are 2³ = 8 submulțimi; {3, 8} ⊆ T este adevărată; „3 ⊆ T” folosește greșit simbolul de incluziune. Corect este 3 ∈ T.