Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

Dragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

Exerciţiul 1: Calculaţi:

$15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

$(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=$

$"1\cdot3$

$3 ^{38} - 3^{38}=0$

Exerciţiul 2: Calculaţi: $a=(b-c) ^{2011}$ dacă : $b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})$

$c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3 $

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem : $1954 ^{0}=1$

deoarece ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem: $b=(2 ^{3\cdot2}-1) : 3 ^{2^{1}}-( 4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}} )$

$b=(2 ^{6}-1) : 3 ^{2}-( 4 ^{1}-1 )$

$b=(64-1) : 9 - 3$

$b=63 : 9 - 3 $

$"b=$

$b=4 $

$c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3$

$c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=0+3$

$c=3$

Calculăm numărul „a”: $a=(4-3) ^{2011}$

$a=1 ^{2011}$

$a=1$

Exerciţiul 3:

Determinaţi numărul natural "n" pentru care sunt adevărate egalităţile:

$"7$

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

$"11+12+13+..............+30=<br$

$"(11+30)+(12+29)+..............=<br$

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

$"41+41+............+41=<br$

(de 10 ori)

$"10\cdot41<br$

Astfel obţinem: $7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}$

$7 ^{410}=7^{3n+2}$ $\Rightarrow$ $410={3n+2}$ /(-2)

$410-2 =3n+2-2$

$408 =3n /: 3$

$408 : 3 =3n : 3$

$136 =n$

Exerciţiul 4:

Demonstraţi că pentru orice număr natural "n" este adevărată relaţia:

$15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

$A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

$A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $"(a$

$A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

$A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}$

$A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas dăm factor comun pe: $2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90 $

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Share on Facebook