dividing integers - Matematica Mai Usoara

Etichetă: dividing integers

18
mart.
2018

Transformarea unei fracții ordinare într-o fracție periodică

categories: Fracții Ordinare, Fracții zecimale

„Trebuie să încerci necontenit să urci foarte sus, dacă vrei să poți să vezi foarte departe.”

Constantin Brâncusi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la transformarea unei fracții ordinare în fracție periodică.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice simple:

a) $\frac{31}{9}$ ; b) $\frac{517}{99}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{31}{9}$ Împărțim 31 la 9 și obținem:

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{31}{9}=3,(4)$ și citim trei virgulă perioadă patru.

b) $\frac{517}{99}=$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 4. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{517}{99}=5,(2)$ .

Exercițiul 2 : Transformați următoarele fracții ordinare în fracții zecimale periodice mixte:

a) $\frac{233}{45}$ ; b) $\frac{553}{60}$ ;

Rezolvare:

Pentru a transforma fracțiile ordinare în fracții zecimale periodice simple trebuie să împărțim numărătorul la numitor astfel:

a) $\frac{233}{45}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 7. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{233}{45}=5,1(7)$ și citim cinci virgulă unu perioadă șapte.

b) $\frac{553}{60}$

Observăm că dacă am continua împărțirea se va repeat numărul 6. În aceste cazuri spunem că rezultatul $\frac{553}{60}=9,21(6)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

05
nov.
2017

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

categories: Geometrie a VI-a

"Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată." Thomas Edison

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la "Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare".

Exercițiul 1 :

Unghiul $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente și complementare. Știind că $m(\widehat{MON})$ este $\frac{3}{2}$ din $m(\widehat{NOP})$ să se calculeze $m(\widehat{NOP})$ și $m(\widehat{MON})$ ..

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că $m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2$
$\Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ$
$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ$
Înlocuim și aflăm și măsura unghiului $\widehat{MON}$
$m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}}$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ$
$m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})$
$m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ$

Exercițiul 2:

Măsura $m(\widehat{XOY})$ este $\frac{7}{8}$ din măsura suplementului său unghiul $m(\widehat{YOZ})$ . Aflați măsura $m(\widehat{XOY})$ și $m(\widehat{YOZ})$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că: $m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ$
Știm că $m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$
$\Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8$
$\Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ$
Înlocuim și aflăm măsura $m(\widehat{XOY})$ :
$m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ$

Exercițiul 3:

Determinați măsura unghiului $m(\widehat{MON})$ știind că măsura complementului suplementului său este de $63^\circ$ .

Rezolvare:
Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului $\widehat{MON}$ este $63^\circ$ . Scriem matematic această informație:
Notăm suplementul unghiului $\widehat{MON}$ cu $\widehat{NOP}$ și obținem informația:
$m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Notăm complementul unghiului $\widehat{NOP}$ cu $\widehat{NOQ}$ și obținem informația:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{NOQ})=63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ$
Mai știm din enunțul problemei că: $m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Înlocuim $m(\widehat{NOP})=27^\circ$ și obținem:
$m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ$

Succes!

Daca te ajuta poti descarca lecția in format pdf de aici: Unghiuri-Complementare-Suplementare (3)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

29
oct.
2017

Exerciții rezolvate la Factorul Comun la Puteri

categories: Numere Naturale

"Un ratat nu știe ce va face dacă pierde, dar vorbește despre ce va face dacă va castiga. Un învingător nu vorbește despre ce va face dacă va caștiga, dar știe ce va face dacă pierde."

Eric Berne

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună cateva exerciții la "Factorul comun la Puteri".

Exercițiul 1:

Efectuați calculele, folosind factorul comun:

a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}$

e) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

(mai mult…)

Rezolvare:
a) $3^{96}+3^{98}+3^{100}$
Adunarea este o operație de gradul I și ridicarea la putere este o operație de gradul III, iar ordinea efectuării operațiilor ne spune că trebuie să facem mai întâi operațiile de gradul III și apoi cele de gradul I

Observăm că avem puteri foarte mari și nu putem ridica la putere așa că ne vom folosi de factorul comun și vom da factor comun puterea cea mai mică.

Observăm că $3^{96}$ este puterea cea mai mică asa ca îl dăm factor comun pe $3^{96}$ și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{96-96}+3^{98-96}+3^{100-96})$

Scădem puterile și obținem:

$3^{96}\cdot(3^{0}+3^{2}+3^{4})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$3^{96}\cdot(1+9+81)$ $=3^{96}\cdot91$

b) $2\cdot2^{47}+3\cdot2^{48}+2^{50}$

Observăm că $2^{47}$ este puterea cea mai mică așa că îl dăm factor comun pe $2^{47}$ și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{47-47}+3\cdot2^{48-47}+2^{50-47})$

Scădem puterile și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot2^{0}+3\cdot2^{1}+2^{3})$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$2^{47}\cdot(2\cdot 1+3\cdot2+8)$

Efectuăm înmulțirile și obținem:

$2^{47}\cdot(2+6+8)$ =

Efectuăm adunarea din paranteză și obținem:

$2^{47}\cdot 16$ =

Știm că 16 îl putem scrie în baza 2 ca $2^{4}$ și obținem

$2^{47}\cdot2^{4}$ =

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și scriem baza și adunam exponenții:

$2^{47+4}=2^{51}$

c) $8^{300}-24\cdot8^{298}-64\cdot8^{297}$

Observăm că $8^{297}$ este cea mai mică putere, îl dăm factor comun pe $8^{297}$ și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{300-297}-24\cdot8^{298-297}-64\cdot8^{297-297})$

Scădem puterile și obținem:

$8^{297}\cdot(8^{3}-24\cdot8^{1}-64\cdot8^{0})$

Ridicăm la putere termenii din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-24\cdot8-64\cdot1)$ =

Efectuăm înmulțirile din paranteză și obținem:

$8^{297}\cdot(512-192-64)$ =

Efectuăm scăderea din paranteza rotundă și obținem:

$8^{297}\cdot 256$ =

Știm că putem scrie $8=2^3$ și $256=2^8$ și obținem:

$(2^3)^{297}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri înmulțim puterile și obținem:

$2^{3\cdot297}\cdot 2^8=$ $2^{891}\cdot 2^8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, scriem baza și adunam puterile și obținem astfel:

$2^{891+8}=2^{899}$

d) $3^{2n+2}+7\cdot 3^{2n+1}-6\cdot3^{2n}=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și obținem:

$3^{2n}\cdot3^2+7\cdot 3^{2n}\cdot3^1-6\cdot3^{2n}=$

Observăm că se repetă în fiecare termen al adunării $3^{2n}$ , îl dăm factor comun și obținem:

$3^{2n}\cdot(3^2+7\cdot3^1-6\cdot1)=$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+7\cdot3-6)=$

Efectuăm Înmulțirea din paranteză și obținem:

$3^{2n}\cdot(9+21-6)=$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$3^{2n}\cdot 24=$ $3^{2n}\cdot 3\cdot8=$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri scriem baza și adunăm exponenții și obținem:

$3^{2n+1}\cdot8$

d) $6^{2n+1}+6\cdot 4^{n+1}\cdot 9^{n+2}+18^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri transformăm bazele pe 6 îl scriem $6=2\cdot3$ , pe $4=2^2$ , $9=3^2$ , pe $18=2\cdot3^2$ și obținem:

$(2\cdot3)^{2n+1}+6\cdot (2^2)^{n+1}\cdot (3^2)^{n+2}+(2\cdot3^2)^{n+1}\cdot2^{n+1}$

Aplicăm Regulile de calcul cu puteri, distribuim puterea și obținem:

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2\cdot(n+1)}\cdot 3^{2\cdot(n+2)}+2^{n+1}\cdot3^{2(n+1)}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n+1}\cdot3^{2n+1}+6\cdot 2^{2n+2}\cdot 3^{2n+4}+2^{n+1}\cdot3^{2n+2}\cdot2^{n+1}$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^2\cdot2^{n}\cdot2^1$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{n+n}\cdot2^{1+1}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

$2^{2n}\cdot2^1\cdot3^{2n}\cdot3^1+6\cdot 2^{2n}\cdot2^2\cdot 3^{2n}\cdot3^4+2^{2n}\cdot2^{2}\cdot3^{2n}\cdot3^2$

Observăm că se repeta $2^{2n}\cdot3^{2n}$ și îl dăm factor comun, astfel obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2^1\cdot3^1+6\cdot2^2\cdot3^4+2^{2}\cdot3^2)$

Ridicăm la putere termenii din paranteza rotundă:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(2\cdot3+6\cdot4\cdot81+4\cdot9)$

Efectuăm înmulțirile din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot(6+1944+36)$

Efectuăm calculele din paranteza rotundă și obținem:

$2^{2n}\cdot3^{2n}\cdot 1986=$ $(2\cdot3)^{2n}\cdot 6\cdot331=$ $(6)^{2n}\cdot 6^1\cdot331=$ $(6)^{2n+1}\cdot331$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

10
iul.
2017

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes."

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

Definiție: Numărul natural "a" este divizibil (sau se divide) cu numărul natural "b", dacă există un număr natural "c" astfel încât: " $a=b\cdot c$ " .

Observație:

Numărul natural "a" nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural "b", dacă există un număr natural "c" astfel încât: " $a\neq b\cdot c$ " .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie $n \geq 2$ un număr natural. Numerele 1 și $n$ se numesc divizori improprii ai numărului $n$ .

Ceilalți divizori ai numărului $n$ (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea $D_{{n}}$ a tuturor numerelor naturale care divid pe $n$ .

Se notează $D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \}$ .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural $n$ este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu $n$ .

Se notează $M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

07
mai
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

categories: a VIII-a, SEMESTRUL II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ este:……………………………

Rezolvare:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{6}-3\sqrt{6}$ $=-2\sqrt{6}$

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu $x^2+1$ raportul : $\frac{x^4-1}{{x^2+1}}$ se obține:.....................................

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: $x^4-1$ și se obține:

$\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=$ $\frac{x^2-1}{1}$ $=x^2-1$ .

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: $x-\sqrt{3}=0$ este: ........................................

Rezolvare:

$x-\sqrt{3}=0$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3}$ $\Rightarrow x=-\sqrt{3}$

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția $f : R \to R$ , $f (x)=x-3$ . Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: .........................

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm $f (3)$ (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

$f (3)=3-3=0$

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de $\sqrt{12}cm$ este: ........................

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

$d=l\sqrt{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow$ $l=2 cm$

Știm că volumul cubului are formula: $V= l^3$ ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

$V= l^3 \Rightarrow$ $V= (2cm)^3 \Rightarrow$ $V= 8cm^3$ .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: $E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ .

a) Determina'i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1, $(\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}$ .

Rezolvare:

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ $\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1$ $\Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}$

$\Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}$

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2$

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

$\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

Aducem la același numitor în paranteză.

$\Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$ $\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=1$

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția $f : R \to R ,$ $f(x)= -x+2$ .

a) Calculați media aritmetică a numerelor $a=f(0)$ și $b=f(2)$ .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

a) $f(0)=0+2=2$

$f(2)=-2+2=0$

$M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}= 1$

b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
$\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ $\Rightarrow -x+2=0$ $\Rightarrow -x=-2$ $\Rightarrow x=2$ $\Rightarrow A(2;0)$
$\cap OY:$ $x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2$ $\Rightarrow B(0;2)$

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura $AB=4\sqrt{6} cm$ și $VO=2\sqrt{6} cm$ , unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

a) Știm formula arie laterale: $A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ .

Pentru a calcula $A_{{l}}$ trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei $a_{{p}}=VM$ .

VABC este piramidă triunghiulară regulată $\Rightarrow \bigtriangleup ABC$ echilateral $\Rightarrow$ AM înălțimea $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm$

Știm că $OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM$ $\Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm$ $\Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm$ $\Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm$ .

Aplicăm Teorema lui Pitagora în $\bigtriangleup VOM$ pentru a afla apotema VM.

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ $\Rightarrow$ T.P $\Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2$ $\Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2$

$\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 32 cm^2$ $\Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}$ $\Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm$

$\Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm$

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca $\bigtriangleup ABC$ este echilateral $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l$ $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB$

$\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm$ $\Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm$ .

Înlocuim în aria laterală și obținem:

$A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2$

b) $d(O; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$ și $\left \{ O \right \} \in AM$ $\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

$OM=2\sqrt{2}cm$

c) $d(A; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

d) $m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )$ =?

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ : $sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}}$ $=\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)$ $\Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

19
mart.
2015

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

categories: Mulţimea numerelor naturale, Numere Naturale

Dragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Calculaţi:

$15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

$(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=$

$1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=$

$"1\cdot3$

$3 ^{38} - 3^{38}=0$

Exerciţiul 2: Calculaţi: $a=(b-c) ^{2011}$ dacă : $b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})$

$c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3 $

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem : $1954 ^{0}=1$

deoarece ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem: $b=(2 ^{3\cdot2}-1) : 3 ^{2^{1}}-( 4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}} )$

$b=(2 ^{6}-1) : 3 ^{2}-( 4 ^{1}-1 )$

$b=(64-1) : 9 - 3$

$b=63 : 9 - 3 $

$"b=$

$b=4 $

$c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3$

$c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3$

$c=0+3$

$c=3$

Calculăm numărul „a”: $a=(4-3) ^{2011}$

$a=1 ^{2011}$

$a=1$

Exerciţiul 3:

Determinaţi numărul natural "n" pentru care sunt adevărate egalităţile:

$"7$

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

$"11+12+13+..............+30=<br$

$"(11+30)+(12+29)+..............=<br$

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

$"41+41+............+41=<br$

(de 10 ori)

$"10\cdot41<br$

Astfel obţinem: $7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}$

$7 ^{410}=7^{3n+2}$ $\Rightarrow$ $410={3n+2}$ /(-2)

$410-2 =3n+2-2$

$408 =3n /: 3$

$408 : 3 =3n : 3$

$136 =n$

Exerciţiul 4:

Demonstraţi că pentru orice număr natural "n" este adevărată relaţia:

$15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

$A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

$A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $"(a$

$A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

$A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: $a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}$

$A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6$

La următorul pas dăm factor comun pe: $2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)$

$A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90 $

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

17
nov.
2014

REGULI DE CALCUL CU PUTERI

categories: Mulţimea numerelor naturale, Numere Naturale

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat prima oară această lecţie: „ Reguli de calcul cu puteri” în anul anterior, în clasa a V-a.

În acest an, în clasa a VI-a această lecţie este reamintită, deoarece noţiunile învăţate în această lecţie îi sunt utile copilului tău la următoarea lecţie: „ Criterii de diviozibilitate”.

(mai mult…)

Dar să vedem, dragul meu părinte, ce ar trebui să reţină copilul tău la această lecţie: „Reguli de calcul cu puteri”:

Definiţie:

Fie „a” şi „n” , două numere naturale, cu n ≥ 2.Produsul a „n” factori egali cu „a” se numeşte puterea a n-a a numărului „a” şi se notează :

Se scrie: $a^{n}$

Se citeşte: „ a la puterea n”.

„ a” se numeşte bază.

„n” se numeşte exponent.

Exemplu:

a · a = a²

a · a · a= a³

a · a· a· ................· a = $a^{n}$

Excepţie: $a^{1}$ = a şi $a^{0}$ = 1

Orice număr la puterea 1 este egal cu el însuşi.

Orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Dar să vedem, dragul meu părinte, care sunt regulile cu puteri:

Înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază:

$a^{m}\cdot a ^{n}=a^{m+n}$

- se scrie baza şi se adună exponenţii

Împărţirea puterilor cu aceeaşi bază:

$a^{m}\div a ^{n}=a^{m-n}$

se scrie baza şi se scad exponenţii

Puterea unei puteri:

$ (a^{m}) ^{n}=a^{m\cdot n}$

-se scrie baza şi se înmulţesc exponenţii

Puterea unui produs:

$ (a\cdot b) ^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Puterea unui cât:

$(a\div b) ^{n}=a^{n}\div b^{n}$

Dragul meu părinte, la această lecţie, copilul tău trebuie să reţină şi prioritatea pe care o are ridicarea la putere în calcul.

Ridicarea la putere este o înmulţire repetată.

Exponentul arată de câte ori se repetă produsul prin care se calculează puterea.

Ridicarea la putere este o operaţie de ordinul III.

Dacă într-un exerciţiu nu există paranteze, atunci se efectuează întâi redicările la putere, apoi înmulţirile şi împărţirile, iar la final, adunările li scăderile.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

02
nov.
2014

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

categories: DIVIZIBILITATE

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

https://youtu.be/eHJq2pYv-4M

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

x = 3 · a + 6 · b

x = 3·( a + 2 · b)

x ⁞ 3

EXERCIŢIUL 2:

Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ....... + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ....... + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

m = 2 + 4 + 6 + ....... + 100 (m are 50 termeni)

Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:

m = 2 + 4 + 6 + ....... 96+98+ 100.

Observăm că dacă adunăm:

2 + 100 = 102.

4 + 98 = 102.

6 + 96 = 102.

.........................

După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.

m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+................ . ("m" are 25 paranteze)

Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.

Putem scrie:

m = 25 · 102

Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.

Analog îl calculăm şi pe „n” .

Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ....... + 100), adică

n = 11· m

n = 11· 2550

n = 28 050

Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:

m + n = 2550+28050 = 30 600

Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.

În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.

Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?

30 600 : 12 = ?

30 600 : 12 = 2550

30 600 = 12 · 2550

30 600 ⁞ 12

EXERCIŢIUL 3:

Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).

3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)

4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)

5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)

6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)

7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)

8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)

9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)

10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.

EXERCIŢIUL 4:

Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

EXERCIŢIUL 5:

Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”

b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)

b /c atunci “c” se împarte exact la „b”

c = b · n , n ϵ N     (relaţia 2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy @yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

23
oct.
2014

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Să se efectueze:

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=
Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=
Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

1320 + ( 4544– 1645)=
Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

1320 + ( 4544 – 1645)=

1320 + 2899=

Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

1320 + 2899=
4219 Răspuns corect

Exerciţiul 2: Să se efectueze:

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=
Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=
Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

2307 + (3702 + 2220)=
Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

2307 + (3702 + 2220)=

2307 + 5922=
Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

2307 + 5922=
8229 Răspuns corect

Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

(320 + x) · 15 = 5100 / : 15

(320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

(320 + x ) · 1= 340
Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

(320 + x ) · 1= 340

320 + x= 340

Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x= 340 / (- 320 )

320 + x - 320= 340- 320

Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x - 320= 340- 320
x = 20

x = 20 Răspuns corect

Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

Rezolvare primul mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)

15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120

15 · (10 · x – 11 ) = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15

15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15

1 · (10 · x – 11 ) = 9

Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · a – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

15 · a – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · a – 120 = 15 / (+120)

15 · a– 120 + 120 = 15 + 120

15 · a = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · a = 135 / :15

15 · a : 15 = 135 : 15

1 · a = 9

a = 9

Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

22
oct.
2014

Ordinea Efectuării Operaţiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(mai mult…)

Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

Înmulţirea este o adunare repetată.

Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4 (4 se adună de 3 ori)

Împărţirea este o scădere repetată.

Exemplu: 12 : 4 = 12 - 4 - 4 - 4 (4 se scade de 3 ori)

Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu: 5 x 12 + 7 - 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

220 - (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

               145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

            145 + 655133 =

655278 Răspuns corect

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

(123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

(123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

(49175 – 2785)· 10=

Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

(49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

    463900 Răspuns corect.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor