Teorema lui Thales. Reciproca Teoremei lui Thales

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul "Asemănarea triunghiurilor". Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele $E \in AB$ , $F \in AC$ , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \parallel BC$

OBSERVAȚIE: Dacă $\frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \not \parallel BC$

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

Dacă: $d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............$ $\Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................$

Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Pentru unghiul exterior:

Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10) astfel $A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u$ . Unim $A_{{10}}$ cu $B$ și apoi ducem $A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B$ și $A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B$ . Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

$\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}$

Succes!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Share on Facebook