geometrie - Matematica Mai Usoara

Etichetă: geometrie

30
iul.
2020

Model Evaluare Națională 2021

categories: Model Evaluare Nationala 2021

"Curajul şi perseverenţa sunt stâncile pe care ne căţărăm spre culmile succesului"

Marius Torok

Dragul meu bine ai venit !

Începând cu anul 2021 se schimbă structura examenului de Evaluare Natională. Ministerul Educației Naționale a propus un model de Varianta de examen.Am rezolvat si explicat acest Modelul de Evaluare Nationala 2021 propus de M. E. C pentru absolventii claselor a VIII-a anul scolar 2020-2021.

‼️Aboneaza-te la canalul meu de Youtube si hai sa facem impreuna MATEMATICA MAI USOARA! 😍😍😍
Succes!

05
nov.
2017

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

categories: Geometrie a VI-a

"Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată." Thomas Edison

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la "Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare".

Exercițiul 1 :

Unghiul $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente și complementare. Știind că $m(\widehat{MON})$ este $\frac{3}{2}$ din $m(\widehat{NOP})$ să se calculeze $m(\widehat{NOP})$ și $m(\widehat{MON})$ ..

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că $m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2$
$\Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ$
$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ$
Înlocuim și aflăm și măsura unghiului $\widehat{MON}$
$m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}}$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ$
$m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})$
$m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ$

Exercițiul 2:

Măsura $m(\widehat{XOY})$ este $\frac{7}{8}$ din măsura suplementului său unghiul $m(\widehat{YOZ})$ . Aflați măsura $m(\widehat{XOY})$ și $m(\widehat{YOZ})$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că: $m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ$
Știm că $m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$
$\Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8$
$\Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ$
Înlocuim și aflăm măsura $m(\widehat{XOY})$ :
$m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ$

Exercițiul 3:

Determinați măsura unghiului $m(\widehat{MON})$ știind că măsura complementului suplementului său este de $63^\circ$ .

Rezolvare:
Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului $\widehat{MON}$ este $63^\circ$ . Scriem matematic această informație:
Notăm suplementul unghiului $\widehat{MON}$ cu $\widehat{NOP}$ și obținem informația:
$m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Notăm complementul unghiului $\widehat{NOP}$ cu $\widehat{NOQ}$ și obținem informația:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{NOQ})=63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ$
Mai știm din enunțul problemei că: $m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Înlocuim $m(\widehat{NOP})=27^\circ$ și obținem:
$m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ$

Succes!

Daca te ajuta poti descarca lecția in format pdf de aici: Unghiuri-Complementare-Suplementare (3)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

03
nov.
2017

Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi

categories: Geometrie a VI-a

"Fără educație, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al rațiunii."

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun câteva exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la o lecție nouă de Geometrie: "Exerciții rezolvate la Unghiuri Adiacente. Bisectoarea unui unghi". (mai mult…)

Exercițiul 1:

În figura de mai jos unghiurile $\widehat{XOY}$ și $\widehat{YOZ}$ sunt adiacente. Știind că $m(\widehat{XOY} )=69^\circ$ și $m(\widehat{XOZ} )=123^\circ$ , determinați $m(\widehat{YOZ} )$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Analizând desenul observăm că îl putem determina $m(\widehat{YOZ} )$ ca fiind:

$m(\widehat{YOZ} )=m(\widehat{XOZ} )-m(\widehat{XOY} )$ $\Rightarrow m(\widehat{YOZ} )=123^\circ - 69^\circ=54^\circ$

Exercițiul 2:

Unghiurile $\widehat{ABC}$ și $\widehat{CBD}$ sunt adiacente astfel încât $m(\widehat{ABC})=45^\circ$ iar $m(\widehat{CBD})=25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ$ . Demonstrați că $\left [ BC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{ABD}$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Ca să arătăm că $\left [ BC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{ABD}$ trebuie să arătăm că $\widehat{ABC}\equiv \widehat{CBD}$ .

Calculăm dimensiunea unghiului $m(\widehat{CBD}) = 25 % \ \ \ din \ \ \ 180^\circ$

$m(\widehat{CBD}) = \frac{25}{{100}}\cdot 180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{25\cdot180^\circ}{{100}}$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) = \frac{4500^\circ}{{100}}=45^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{CBD}) \equiv m(\widehat{ABC})$ $\Rightarrow \left [ BC$ bisectoarea $\widehat{ABD}$ .

Realizăm desenul:

Exercițiul 3:

Se dau două unghiuri adiacente $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ . Știind că bisectoarele $\left [ OM$ și $\left [ ON$ ale celor două unghiuri sunt perpendiculare și că $m( \widehat{AOB})=5\cdot m( \widehat{BOC})$ să se determine $m( \widehat{AOB})$ și $m( \widehat{BOC})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
Analizând datele problemei observăm că nu știm exact dimensiunile unghiurilor $\widehat{AOB}$ și $\widehat{BOC}$ deci este destul de greu de realizat desenul.
Dar știm că bisectoarele celor două unghiuri sunt perpendiculare deci formează un unghi $\widehat{MON}=90^\circ$
Mai știm că $\left [ MO$ bisectoarea $\widehat{AOB}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}\equiv \widehat{MOB}$
Și că $\left [ ON$ bisectoarea $\widehat{BOC}$ $\Rightarrow \widehat{BON}\equiv \widehat{NOC}$
Dar $\widehat{MOB}+\widehat{BON}=90^\circ$
Din aceste relații $\Rightarrow 2m ( \widehat{MOB})+2 m ( \widehat{BON})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2[m ( \widehat{MOB})+ m ( \widehat{BON})]=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2\cdot m ( \widehat{MON})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 2\cdot 90^\circ=m( \widehat{AOC})$ $\Rightarrow m( \widehat{AOC})=180^\circ$ .
Realizăm desenul:
Observăm din desen că $m( \widehat{AOB})+m( \widehat{BOC})=m( \widehat{AOC})$
$\Rightarrow 5\cdot m( \widehat{BOC})+m( \widehat{BOC})=180^\circ$
$\Rightarrow 6\cdot m( \widehat{BOC})=180^\circ$ $\Rightarrow m( \widehat{BOC})=180^\circ\ \ \ :\ \ \ 6 \$ $\Rightarrow m( \widehat{BOC})=30^\circ$
Știm că $\Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot m( \widehat{BOC})$ $\Rightarrow m( \widehat{AOB})=5 \cdot 30^\circ=150^\circ$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de "Matematică Math More Easy."

28
oct.
2017

Exerciții rezolvate la Mijlocul unui Segment.

categories: Geometrie a VI-a

"Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută." -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: "Mijlocul unui segment dat".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Mijlocul unui segment. Simetricul unui punct fata de alt punct

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Se dau patru puncte M, N, P,Q coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ , $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ , $\left [ PQ \right ]=6 \ cm$ și punctul X mijlocul segmentului $\left [ MN \right ]$ , iar punctul Y mijlocul segmentului $\left [ NQ\right ]$ . Calculați lungimea segmentului $\left [ XY\right ]$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:
Realizăm desenul respectând datele problemei:
Analizând atent desenul realizat observăm că segmentul $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$
Pentru ca nu cunoaștem demensiunile celor două segmente: $\left [ XN\right ]$ și $\left [ NY\right ]$ vom face cateva calcule ca să le aflăm.
Știm că punctul $X \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ MN \right ]$ $\Rightarrow \left [ MX \right ] \equiv \left [ XN \right ]$ $=\frac{\left [ MN \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ MN \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor: $\left [ MP \right ]=18 \ cm$ și $\left [ NP \right ]=8 \ cm$ și îl pot afla pe $\left [ MN \right ]$ .
$\left [ MN \right ]=\left [ MP \right ]-\left [ NP \right ]$ $=18 cm - 8 cm =10 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ XN \right ]= \frac{ \left [ MN \right ]}{2}=\frac{10 cm}{2}=5 cm$
Trebuie sa îl aflăm și pe $\left [ NY\right ]$ .
Știu că $Y \ \ \ mijloc \ \ \ de \ \ \ \left [ NQ \right ]$ $\Rightarrow \left [ NY \right ] \equiv \left [ YQ \right ]$ $=\frac{\left [ NQ \right ]}{2}$
Nu știu dimensiunea segmentului $\left [ NQ \right ]$ dar cunosc dimensiunile segmentelor $\left [ NP \right ]$ și $\left [ PQ \right ]$ și îl pot afla pe $\left [ NQ \right ]$ .
$\left [ NQ \right ]= \left [ NP \right ]+ \left [ PQ \right ]$ $= 8 cm + 6 cm =14 cm$
Acum îl pot afla pe $\left [ NY\right ]=\frac{\left [ NQ\right ]}{2}=\frac{14 cm}{2}=7 cm$
Înlocuim în: $\left [ XY\right ]=\left [ XN\right ]+\left [ NY\right ]$ = $=5 cm +7 cm=12 cm$

Exercițiul 2:

Pe o dreaptă d se consideră trei puncte A, B, C coliniare în această ordine, astfel încât $\left [ AB \right ]=8cm$ , $\left [ AC \right ]=20cm$ . Știind că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ și N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ , calculați lungimea segmentului $\left [ MN \right ]$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Știm că M este mijlocul lui $\left [ AB \right ]$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\equiv \left [ MB \right ]$ $=\frac{ \left [ AB \right ]}{{2}}$ $=\frac{ 8 cm}{{2}}=4 cm$ .
Știm că N este mijlocul lui $\left [ AC \right ]$ $\Rightarrow \left [ AN \right ]\equiv \left [ NC \right ]$ $=\frac{\left [ AC \right ]}{2}$ $=\frac{20 cm}{2}= 10 cm$
Analizând atent desenul observăm că $\left [ BN\right ]=\left [ AN\right ]-\left [ AB\right ]=10 cm - 8 cm=2 cm$
$\left [ MN \right ]=\left [ MB \right ]+\left [ BN \right ]$
$\left [ MN \right ]=4 cm+2 cm=6 cm$

Exercițiul 3:

Pe o dreaptă d se consideră punctele: X, Y, Z, T coliniare în această ordine astfel încât $\left [ XY\right ]=12 cm$ , $\left [ YZ\right ]=5 cm$ , $\left [ ZT\right ]=3 cm$ . Se știe că punctele M, N și P sunt mijloacele segmentelor: $\left [ XY\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YZ\right ]$ și respectiv $\left [ ZT\right ]$ . Aflați lungimea segmentelor: $\left [ XZ\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YT\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ XN\right ]\ \ ,\ \ \ \left [ YP\right ]$

Rezolvare:
Scriem datele problemei
Realizăm desenul respectând datele problemei:

Analizând desenul realizat observăm că: $\left [ XZ\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YZ\right ]=12 cm +5 cm =17 cm$
$\left [ XT\right ]= \left [ XZ\right ]+\left [ ZT\right ]=17 cm +3 cm =20 cm$
$\left [ YT\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZT\right ]=5 cm +3 cm =8 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]$
Nu îl știm pe $\left [ YN\right ]$ dar știm că N este mijlocul segmentului $\left [ YZ\right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]\equiv \left [ NZ \right ]$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{\left [ YZ \right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ YN \right ]=\frac{5 cm}{2}= 2,5 cm$
$\left [ XN\right ]= \left [ XY\right ]+\left [ YN\right ]= 12 cm + 2,5 cm=14,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
Nu cunoaștem dimensiunea lui $\left [ ZP\right ]$ dar știm că punctul P este mijlocul lui $\left [ ZT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]\equiv \left [ PT\right ]$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [ ZT\right ]}{2}$ $\Rightarrow \left [ ZP\right ]=\frac{\left [3 cm ]}{2}=1,5 cm$
$\left [ YP\right ]= \left [ YZ\right ]+\left [ ZP\right ]$
$\left [ YP\right ]= 5 cm +1,5 cm= 6,5 cm$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

29
sept.
2017

Segment de dreaptă. Semidreapta

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură, Geometrie a VI-a

"Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi........ este să nu începi acel ceva"

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan. În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția "Segment de dreaptă. Semidreapta".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Segment de dreaptă. Semidreapta".

PS: Asigura-te ca te-ai abonat la canalul meu de YouTube pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Segment de dreaptă:

Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
Se notează : $\left [ AB \right ]$

Segmentul de dreaptă închis:

Se notează: $\left [ AB \right ]$
Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

Se notează: $\left ( AB \right )$
nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta:

Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.

Se notează: $\left [ MN$

M se numește origine

Semidreaptă închisă:

Este semidreapta care își conține originea
Se notează: $\left [ MN$

Semidreaptă deschisă:

Este semidreapta care nu își conține originea.
Se notează: $\left ( MN$

Semidrepte opuse:

Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
sept.
2017

Planul

categories: Geometrie a VI-a

" Dacă începi astăzi, vei vedea rezultate cu o zi mai devreme decât dacă aștepți până mâine. Începe astăzi! "

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună încă o lecție de Geometrie: Planul.

(mai mult…)

Planul:

Ni-l imaginăm ca o suprafață netedă, întinsă la nesfârșit în toate direcțiile, alcătuită din puncte.

Îl notăm cu o literă din alfabetul grecesc: $\alpha, \beta, \gamma, \Delta ,\Psi , \Omega .............$ , sau cu trei litere mari într-o paranteză rotundă cu condiția să reprezinte trei puncte necoliniare ce-i aparțin (ABC).

Pozițiile Relative A Unui Punct Față De Un Plan:

Punct Interior unui plan:

Punct Exterior unui plan:

Dreaptă inclusă în plan:

Dacă o dreaptă d are toate punctele într-un plan $\alpha$ , atunci dreapta este inclusă în planul $\alpha$ . Se notează: $d \subset \alpha$ .

Observație:

Dacă $A \in \alpha$ și $B \in \alpha$ $\Rightarrow AB \subset \alpha$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor

dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

23
mai
2017

Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură

"Invatatul este asemeni navigarii in amonte: daca nu avansezi esti tras inapoi."
Proverb chinezesc

Dragul meu părinte bine te-am regăsit.Ultimul capitol din programa la matematică de clasa a V-a este rezervat Elementelor de Geometrie.

Cele mai vechi urme ale geometriei se găsesc în Egiptul Antic și Babilon, în jurul anului 3000 î.Hr și a fost descoperită din nevoia de a măsura pământul. De aici și denumirea de Geometrie: în limba Greacă geo = pământ, metria = măsură. (mai mult…)

Dragul meu părinte, te invit azi să aprofundăm noțiunile despre: Unități de Măsură pentru Arie. Aria Pătratului și Aria dreptunghiului.

Exercițiul 1: Determinați x din: $10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2$

Rezolvare:

Prima oară transformăm $cm^2$ și $mm^2$ în $m^2$ .

Pentru a face transformările desenăm scara unităților de măsură:

Pentru a transforma $cm^2$ în $m^2$ urcăm 2 trepte deci împărțim la $100^2$ .

$10^4 cm ^2=10^4 \div 100^2=10^4 \div (10^2)^2=10^4 \div 10^4=1 m^2$

Pentru a transforma $mm^2$ în $m^2$ urcăm 3 trepte deci împărțim la $100^3$ .

$10^6 mm ^2=10^6 \div 100^3=10^6 \div (10^2)^6=10^6 \div 10^6=1 m^2$

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

$10^4 cm^2 + 10^6 mm^2- x=1,6 m^2$ $\Rightarrow$ $1 m^2 + 1 m^2- x=1,6 m^2$ $\Rightarrow 2 m^2 - x=1,6 m^2$ $\Rightarrow x=2 m^2 - 1,6 m^2$ $\Rightarrow x=2,0 m^2 - 1,6 m^2$ $\Rightarrow x =0,4 m^2$

Exercițiul 2: Determinați x din: $5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2$

Rezolvare:

Pentru a transforma $Km^2$ în $m^2$ coborâm 3 trepte deci înmulțim cu $100^3$ .

$0,0004 Km^2= 0,0004 \cdot 100^3 = 0,0004 \cdot 1000000$ $=0,000400 \cdot 1000000= 400 m^2$

Înlocuim în ecuația noastră și obținem:

$5 \cdot x - 3 \cdot 0,0004 Km^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x - 3 \cdot 400 m^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x - 1200 m^2= 315 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x = 315 m^2 + 1200 m^2$ $\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2$ > $\Rightarrow 5 \cdot x = 1515 m^2 / : 5$ $\Rightarrow x = 1515 m^2 \div 5$ $\Rightarrow x = 303 m^2$

Exercițiul 3: Determinați x din: $x + 23,615 ha= 2363 ari$

Rezolvare:

$1 ar = 1 dam^2 \Rightarrow 2363 ari = 2363 dam ^2$

$1 ha = 1 hm^2 \Rightarrow 23,615 ha = 23,615 hm ^2 \Rightarrow$ $23,615 hm ^2= 23,615 \cdot 10^2 = 2361,5 dam^2$

Înlocuim în ecuația dată și obținem:

$x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2$

$x + 2361,5 dam^2= 2363 dam^2 / -2361,5 dam^2$

$x = 2363 dam^2 -2361,5 dam^2$

$x = 1,5 dam^2$

Exercițiul 4: Calculați aria unui pătrat ce are perimetrul egal cu 5,92 m.

Rezolvare:

$P_{{ ABCD}}= 4\cdot l \Rightarrow 4\cdot l = 5,92 m \Rightarrow$ $l = 5,92 m : 4 \Rightarrow l = 1,48 m$

$A_{ABCD}= l^2 \Rightarrow A_{ABCD}= (1,48 m)^2 \Rightarrow$ $A_{ABCD}= 1,48 m \cdot 1,48 m \Rightarrow A_{ABCD}= 2,1904 m^2$

Exercițiul 5: Câte plăci de beton în formă de pătratică având latura de 50 cm sunt necesare pentru a pava curtea unei case care are formă de dreptunghi cu dimensiunile de 47 m lungime și 21m lățime.

Rezolvare:

Pentru a rezolva problema facem mai întâi suprafața curții, adică Aria dreptunghiului.

$A_{curte}= L \cdot l \Rightarrow A_{curte}= 47m \cdot 21 m \Rightarrow A_{curte}= 987 m^2$ $\Rightarrow A_{curte}= 987 \cdot 10 000 \Rightarrow A_{curte}= 9870000 cm^2$

Calculăm și aria plăcii de beton.

$A_{placa beton}= l^2 \Rightarrow A_{placa beton}= (50 cm)^2$ $\Rightarrow A_{placa beton}= 2500 cm^2$

$A_{curte} \div A_{placa beton}= 9870000 cm^2 : 2500 cm^2 \Rightarrow$

$A_{curte} \div A_{placa beton}= 98700 : 25 \Rightarrow$ $A_{curte} \div A_{placa beton}= 3948$ bucăți plăci beton.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
feb.
2017

Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

(mai mult…)

Problema 1:

În $\Delta ABC$ se dau AB=52 cm, AC=72 cm și $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ . Dacă $M \in (AB)$ , $N \in (AC)$ astfel încât $MN \parallel BC$ , și $P_{{\Delta MNP}}=50 cm$ calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

$P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)$

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

$n=(19-1) : 2 +1$

$n=18 : 2 +1$

$n=9 +1$

$n=10 (termeni)$

Calculăm Suma Gauss cu formula

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100$

$P_{{ \Delta ABC}}=200 cm$ .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

$P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC$

$200 cm = 52 cm + 72 cm +BC$

$BC= 200 cm - 124 cm$

$BC= 76 cm$

Știm din datele problemei că $MN \parallel BC$ deci putem aplica teorema lui Thales

$MN \parallel BC$ $\Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k$ $\Rightarrow AM=52cm \cdot k$

$\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k$ $\Rightarrow AN= 72cm\cdot k$

$\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k$ $\Rightarrow MN= 76cm\cdot k$

$P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP$

$50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k$

$50 cm = 200cm \cdot k$

$k = 200cm : 50 cm$

$k=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AM=13cm$

$\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AN=18cm$

$\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow MN=19cm$

Problema 2:

Un trapez ABCD, $AB \parallel CD$ , $AB \gt CD$ are $AB = 26 cm$ și linia mijlocie $MN = 18 cm$ , $M \in (AD)$ , $N \in (BC)$ .

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, $P \in (AB)$ , $Q \in (DC)$ și $PQ \cap MN= \left \{ R \right \}$ , arătați că R este mijlocul lui $\left [ PQ \right ]$ .

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

$MN=\frac{AB+CD}{{2}}$ $\Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD$ $\Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD$ $\Rightarrow 36cm -26 cm=CD$ $\Rightarrow CD = 10 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

30
ian.
2017

Teorema lui Thales. Reciproca Teoremei lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul "Asemănarea triunghiurilor". Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele $E \in AB$ , $F \in AC$ , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă: $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \parallel BC$

OBSERVAȚIE: Dacă $\frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}$ $\Rightarrow EF \not \parallel BC$

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

Dacă: $d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............$ $\Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................$

Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

Pentru unghiul exterior:

Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10) astfel $A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u$ . Unim $A_{{10}}$ cu $B$ și apoi ducem $A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B$ și $A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B$ . Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

$\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}$

Succes!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

24
ian.
2017

Raportul a două segmente

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei: "Asemănarea triunghiurilor". Este unul dintre cele mei importante capitole din geometria în plan și se bazează pe Teorema lui Thales.

Thales din Milet (624 - 546 î.Hr.), ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul lor el ar fi măsurat înălțimea Marii Piramide a lui Keops.

Segmente proporționale:

Def: Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.

Definiție: Patru segmente se numesc proporționale dacă se poate forma o proporție cu lungimile acestora.

Teorema paralelelor echidistante:

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă decantă segmente congruente.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Etichetă: geometrie

"Perseverența este obiceiul succesului dobândit prin muncă susținută." -Herbert Harris

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva probleme la o lecție de geometrie foarte importantă: "Mijlocul unui segment dat".

Planul: