exercises - Matematica Mai Usoara

Etichetă: exercises

23
oct.
2014

Exerciții rezolvate la Ordinea Efectuarii Operațiilor

Dragul meu părinte, în postarea anterioară am vorbit despre „Ordinea Efectuării Operaţiilor”.

Ţi-am reamintit care sunt operaţiile de gradul I, operaţiile de gradul al II-lea şi am vorbit despre ordinea efectuării operaţiilor într-un exerciţiu în care apar parantezele rotunde, pătrate şi acoladele.

Hai să vedem, dragul meu părinte şi câteva exerciţii la această lecţie.

Voi aborda câteva exemple de exerciţii cu grad diferit de dificultate şi pe care le voi explica pas cu pas, astfel încât ţie, dragul meu părinte, îţi va fii foarte uşor să le explici copilului tău.

(mai mult…)

Exerciţiul 1: Să se efectueze:

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

1320 +[48 · 23 +(340 · 11 – 60 ·5) – 235 ·7]=

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=
Pasul doi:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

1320 + [ 48 · 23 + (3740 – 300) – 235 ·7]=

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă.

1320 + ( 48 · 23 + 3440 – 235 ·7)=

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=
Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

1320 + ( 1104 + 3440 – 1645)=

1320 + ( 4544– 1645)=
Pasul cinci:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

1320 + ( 4544 – 1645)=

1320 + 2899=

Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

1320 + 2899=
4219 Răspuns corect

Exerciţiul 2: Să se efectueze:

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

Rezolvare:

Primul pas: efectuăm operaţiile de înmultire din paranteza rotundă

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (280· 5 – 3 · 230)]}=

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=
Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă, în timp ce acolada va devenii paranteză pătrată.

2307 + {3702 + [270 : 3 +3 · (1400 – 690)]}=

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

Pasul trei: efectuăm operatiile de împărţire şi înmulţire din paranteza rotundă.

2307 + [3702 + (270 : 3 +3 · 710)]=

2307 + [3702 + ( 90+ 2130)]=
Pasul patru: efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată va devenii paranteză rotundă.

2307 + [3702 + ( 90 + 2130)]=

2307 + (3702 + 2220)=
Pasul cinci: efectuăm operatia adunare din paranteza rotundă.

2307 + (3702 + 2220)=

2307 + 5922=
Pasul şase: efectuăm operatia de adunare.

2307 + 5922=
8229 Răspuns corect

Exerciţiul 3: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea (320 + x) · 15 = 5100

Rezolvare:

Primul pas: împărţim întreaga egalitate la 15.

(320 + x) · 15 = 5100 / : 15

(320 + x) · 15 : 15= 5100 :15

(320 + x ) · 1= 340
Pasul doi: efectuăm operatia de înmulţire din partea stângă a egalităţii si scăpăm de paranteza rotundă

(320 + x ) · 1= 340

320 + x= 340

Pasul trei :scădem numărul natural 320 din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x= 340 / (- 320 )

320 + x - 320= 340- 320

Pasul patru: efectuăm operatiiile de scădere din ambele părţi ale egalităţii.

320 + x - 320= 340- 320
x = 20

x = 20 Răspuns corect

Exerciţiul 4: Determinaţi numărul natural „x” pentru care are loc egalitatea:

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Acest gen de exerciţiu se poate rezolva în 2 moduri.

Rezolvare primul mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, trebuie să începem rezolvarea exerciţiului de la coadă la cap, astfel.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi: împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · (10 · x – 11 ) – 120 ] · 1 = 15

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · (10 · x – 11 ) – 120 = 15 / (+120)

15 · (10 · x – 11 ) – 120 + 120 = 15 + 120

15 · (10 · x – 11 ) = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · (10 · x – 11 ) = 135 / :15

15 · (10 · x – 11 ) : 15 = 135 : 15

1 · (10 · x – 11 ) = 9

Pasul şase: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza rotundă.

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

Rezolvare al doilea mod:

Pentru a rezolva acest exerciţiu, în care ni se cere să-l aflăm pe x, notăm paranteza (10 · x – 11 ) = a şi obţinem:[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25, după care rezolvăm ecuaţia în necunoscuta „a” astfel:

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25

Primul pas: adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 125.

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 = 25 / (+125)

[15 · a – 120 ] · 10 – 125 +125 = 25 +125

[15 · a – 120 ] · 10 = 150

Pasul doi:împărţim întreaga egalitate la 10 .

[15 · a – 120 ] · 10 = 150 / :10

[15 · a – 120 ] ·10 : 10= 150 :10

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

Pasul trei: efectuăm înmulţirea din partea stângă a egalităţii şi scăpăm de paranteza pătrată.

[15 · a – 120 ] · 1 = 15

15 · a – 120 = 15

Pasul patru:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 120.

15 · a – 120 = 15 / (+120)

15 · a– 120 + 120 = 15 + 120

15 · a = 135

Pasul cinci:împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 15.

15 · a = 135 / :15

15 · a : 15 = 135 : 15

1 · a = 9

a = 9

Pasul şase:revenim la notaţia (10 · x – 11 ) = a ştiind căa = 9 şi obţinem egalitatea:

10 · x – 11 = 9

Pasul şapte:adunăm în ambele părţi ale egalităţii pe 11.

10 · x – 11 = 9 / (+11)

10 · x – 11 + 11= 9 + 11

10 · x = 20

Pasul opt: împărţim în ambele părţi ale egalităţii cu 10.

10 · x = 20 / :10

10 · x :10 = 20 :10

x = 2

x = 2 Răspuns corect

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

22
oct.
2014

Ordinea Efectuării Operaţiilor

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, noţiunile de la această lecţie nu îi sunt străine copilului tău. O parte din noţiunile de la această lecţie le-a învăţat şi în anul anterior de studiu, însă acum sunt completate şi de noţiuni noi. Dar să vedem, dragul meu părinte, ce trebuie să reţină copilul tău la această lecţie:

(mai mult…)

Adunarea şi Scăderea Numerelor Naturale sunt operaţii de de ordinul I

Înmulţirea este o adunare repetată.

Exemplu: 3 x 4 = 4 + 4 +4 (4 se adună de 3 ori)

Împărţirea este o scădere repetată.

Exemplu: 12 : 4 = 12 - 4 - 4 - 4 (4 se scade de 3 ori)

Înmulţirea şi Împărţirea sunt operaţii de de ordinul II.

Într-un exerciţiu fără paranteze, se efectuează întâi înmulţirile şi împărţirile , în ordinea în care sunt scrise; apoi adunările şi scăderile, în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu: 5 x 12 + 7 - 12 : 6 = 60 + 7 – 2 = 67 – 2 = 65

Cum utilizăm Parantezele?

Dragul meu părinte, copilul tău a învăţat în clasele anterioare ordinea efectuării operaţiilor, deci nu este pentru prima oară când intră în contact cu aceste informaţii.

Dacă avem de efectuat următorul calcul:

220- (2 · 3 + 7 · 2)

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, atunci efectuăm întâi operaţiile din paranteze după care efectuam restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

220 - (2 · 3 + 7 · 2) = 220 – (6 +14) = 220 – 20 = 200

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde si paranteze pătrate atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu : 145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

Primul pas: efectuăm operatia de înmultire din paranteza rotundă

145 + 47 · [215 · 110 – 83 ·(405 – 18 ·16)]=

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

Pasul doi: efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă, iar paranteza pătrată devine rotundă.

145 + 47 · [215 · 110 – 83 · (405 – 288)]=

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

Pasul trei:efectuăm operatiile de înmulţire din paranteza rotundă,

               145 + 47 · (215 · 110 – 83 · 117 ) =

               145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

Pasul patru:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

              145 + 47 · (23650 – 9711 ) =

               145 + 47 · 13939 =

Pasul cinci: efectuăm operatia de înmulţire.

               145 + 47 · 13939 =

               145 + 655133 =

Pasul şase:efectuămoperatia de adunare.

            145 + 655133 =

655278 Răspuns corect

Dacă într-un exerciţiu sunt folosite paranteze rotunde, paranteze pătrate şi acolade atunci efectuăm întâi operaţiile din parantezele rotunde, după care efectuăm operaţiile din parantezele pătrate, apoi operaţiile din acolade, iar la final efectuăm restul operaţiilor în ordinea în care sunt scrise.

Exemplu :

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

Primul pas: efectuăm operatia de împărţire din paranteza rotundă

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407+ 2405 : 65)] – 2785} · 10=

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

Pasul doi:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă, iar acolada va deveni paranteză pătrată in timp ce paranteza patrată va devinii paranteza rotundă.

{123 · 35 + 10 · [47 + 10 · (407 + 37)] – 2785} · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 10 · 444) – 2785] · 10=

Pasul trei:efectuăm operatia de înmulţire din paranteza rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 10· 444) – 2785] · 10=

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440) – 2785] · 10=

Pasul patru:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă , iar paranteza pătrată se va transforma în paranteză rotundă.

[123 · 35 + 10 · (47 + 4440 ) – 2785] · 10=

(123 · 35 + 10 · 4487 – 2785)· 10=

Pasul cinci:efectuăm operaţiile de înmulţire din paranteza rotundă.

(123 · 35+ 10 · 4487– 2785)· 10=

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

Pasul şase:efectuăm operatia de adunare din paranteza rotundă.

(4305 + 44870 – 2785)· 10=

(49175 – 2785)· 10=

Pasul şapte:efectuăm operatia de scădere din paranteza rotundă.

(49175 – 2785)· 10=

                 46390 · 10=

Pasul opt:efectuăm operatia de înmulţire.

               46390· 10=

    463900 Răspuns corect.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

19
aug.
2014

Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, la lecţia „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mediu, dar şi câteva cu un grad de dificultate ridicat în care voi aplica atât propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” dar şi propietăţile de la „Adunarea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Ştiind că : x·y=236 şi z=123. Calculaţi: ( x·y)·z=? şi y·(z ·x)=?

Rezolvare:

( x·y) ·z=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

( x·y) ·z= x·y ·z =236 · 123=29 028

y·(z ·x)=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” că

y·(z ·x)= y·z ·x = x·y ·z=236 ·123=29 028

RĂSPUNS CORECT: 29028

EXERCIŢIUL 2 : Se ştie că: x + y = 29 şi z =18. Calculaţi : x·z+ y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

Trebuie să calculăm : x·z+ y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

x·z+ y·z=z·(x+y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

18·29=522

RĂSPUNS CORECT: 522

EXERCIŢIUL 3 : Se ştie că: x-y=12 şi z=10. Calculaţi: x·z- y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

Trebuie să calculăm : x·z - y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

x·z- y·z=z·(x-y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

10·12=120

RĂSPUNS CORECT: 120

EXERCIŢIUL 4: Rezolvaţi ecuaţia şi aflaţi valoarea lui „x”:

x+2x+3x+...........+100x=50500

Rezolvare:

x+2x+3x+...........+100x=50500

x+2x+3x+...........+98x+99x+100x=50500

Observăm că între termeni adunării putem să scoatem factor comul termenul „x”. Asftel obţinem:

x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500

Am obţinut o necunoscută înmulţită cu o paranteză, iar în paranteză avem Suma Gauss a primelor 100 de numere naturale. Un astfel de exerciţiu am prezentat în postul la „Aplicaţii la adunarea numerelor naturale” .Astfel în loc de:

x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500 putem scrie:

x·(1+100+2+99+3+98+...........)=50500.

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

x·[(1+100)+(2+99)+(3+98)+...........)]=50500.

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 101, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

x·(101+101+101+...........+101)=50500.

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 100:2 termeni, adică 50 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 50 de termeni de 101.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 101 adunat de 50 de ori care îl putem scrie astfel:

x·(101·50)=50500.

x·5050=50500. /:5050

Obţinem astfel :

x=50500: 5050

x=10

RĂSPUNS CORECT: x=10

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 5: Dacă x+y=8 şi y+2z=35 sp se calculeze: 5x+13y+16z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte şi acest exerciţiu pare un exerciţiu dificil la prima vedere însă este doar un exerciţiu în care trebuie să aplicăm proprietăţile de la „Adunărea a două numere naturale” şi proprietăţile de la ”Inmulţirea a două sau mai multe numere naturale”.

Observăm că: 5x+13y+16z=?

Pentru că noi cunoaştem: x+y=8 şi y+2z=35 observăm în ecuaţia pe care o avem noi de calculat că putem face câteva artificii matematice care nu ne vor degrada rezultatul şi care ne sunt permise datorită proprietăţilor de la „Adunărea a două numere naturale”.

Astfel pe „13y” îl putem scrie ca: 5y+8y şi obţinem:

5x+5y+8y+16z=?

Observăm că între primii doi termeni putem scoate factor comun pe 5, iar între ultimii doi termeni putem scoate factor camun pe 8, obţinem astfel:

5(x+y)+8(y+2z)=?

Dar noi ştim din enunţul exerciţiului ca x+z=8 şi y+2z=35. Înlocuim în ecuaţia pe care o avem de calculat şi obţinem:

5 · 8 + 8· 35 = ?

Îl scoatem factor comun pe 8 şi obţinem:

8·(5 + 35) = ?

8·40 = 320

RĂSPUNS CORECT: 320

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !
Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor