algebra clasa a VIII-a - Matematica Mai Usoara

Etichetă: algebra clasa a VIII-a

10
nov.
2016

Formulele de calcul prescurtat

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. În articolul anterior ţi-am explicat cum facem "Operaţii între numerele reale reprezentate prin litere". Am explicat pas cu pas cum facem "Adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere" , dar şi Înmulţirea, Împărţirea, ridicarea la puterea a numerelor reale reprezentate prin litere" . În articolul de azi vreau să îţi prezint formulele de calcul prescurtat pentru numere reale.

Aceste formule sunt foarte importante deoarece le vom folosi în Operaţiile cu rapoarte. Aceste rapoarte compun un exerciţiu care se dă şi la examenul de capacitate. (Cel puţin în anul anterior Examenul de Evaluare Naţională 2016 a avut un exerciţiu cu rapoarte).

Avem următoarele formule:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

$a^{2}-b^{2}=(a- b)(a+b)$

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$

$(a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c$

$(a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c$

$(a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot b-2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c$

$(a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}+b^{3}$

$(a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\cdot b+3\cdot a\cdot b^{2}-b^{3}$

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Acestea sunt cele mai importante şi uzuale formule de calcul prescurtat pentru numerele reale. În curând voi reveni şi cu un articol cu Aplicaţii la formulele de calcul prescurtat în care voi prezenta câteva exerciţii cu un grad de dificultate diferit.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

31
oct.
2016

Exerciții Rezolvate la "Operaţii cu Numere Reale Reprezentate prin Litere"

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Săptămâna aceasta ti-am prezentat în două articole "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere" şi "înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere" , azi te invit să efectuăm împreună cateva exerciţii cu numere reale reprezentate prin litere.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Calculaţi:

a) $x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=$

Înmulţim coeficientii între ei iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$x ^{2} y ^{2}\cdot (-2 y z ^{2})=1\cdot (-2) x ^{2+0} y ^{2+1}z ^{0+2}=-2 x ^{2} y ^{3}z ^{2}$

b) $\sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=$

Înmulţim coeficientii între ei iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$\sqrt{3}x\cdot (-\sqrt{12}xy)=\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{12})x^{1+1}y^{0+1}=$ $=(-\sqrt{3\cdot12})x^{2}y^{1}=(-\sqrt{36})x^{2}y^{1}=-6x^{2}y^{1}$

c) $\frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=$

Mai întâi introducem întregul în fracţie la termenul al doilea, după care înmulţim coeficienţii între ei (fracţiile), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi adunăm exponenţii.

$\frac{1}{2}xy \cdot 1\frac{1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}xy \cdot \frac{1\cdot3+1}{3}x^{2}y=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} x^{1+2}y^{1+1}=\frac{4}{6} x^{3}y^{2}=\frac{2}{3} x^{3}y^{2}$

d) $54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)$ =

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$54 a^{3} b^{3}: (-6a^{2} b)=54 :(-6) a^{3-2} b^{3-1}=(-9) a b^{2}$

e) $-35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=$

Împărţim coeficienţii între ei, iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$-35x^{3}y z^{3} :(-7x^{2}y z)=-35:(-7)x^{3-2}y^{1-1} z^{3-1}=5x^{1}y^{0} z^{2}=5x z^{2}$

f) $\sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=$

Împărţim coeficienţii între ei (radicalii), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$\sqrt{27} x^{5}y ^{2}:(-\sqrt{3} x^{3})=\sqrt{27}:(-\sqrt{3}) x^{5-3}y ^{2-0}}=-\sqrt{27:3}x^{2}y ^{2}}=-\sqrt{9}x^{2}y ^{2}}=-3x^{2}y ^{2}}$

g) $(-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=$

Mai întâi introducem întregul în fracţie în cei doi termeni, după care împărţim coeficienţii între ei (fracţiile), iar la partea literală scriem literele o singură dată şi scădem exponenţii.

$(-1\frac{1}{2}a ^{3} b^{3}):(-1\frac{1}{3}a ^{3} b^{2})=(-\frac{1\cdot2+1}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{1\cdot3+1}{3}a ^{3} b^{2})$

$=(-\frac{3}{2}a ^{3} b^{3}):(-\frac{4}{3}a ^{3} b^{2})=-\frac{3}{2}: (-\frac{4}{3})a ^{3-3} b^{3-2}=$

$=-\frac{3}{2}\cdot (-\frac{3}{4})a ^{3-3} b^{3-2}=\frac{3\cdot 3}{2\cdot 4}a ^{0} b^{1}=\frac{9}{8}b$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

26
oct.
2016

Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Gasesti lecția in format pdf aici : Inmultirea-Nnumerelor-Reprezentate--prin -Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Observaţie:Prin "Inmulţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Împărţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferenţa exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Ridicarea la puterea întreagă a unui număr real reprezentat prin litere" se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficienţului iniţial, iar partea literală este formată din aceleaşi litere ca ale temenului iniţial, fiecare literă având exponent egal cu produsul dintre exponentul iniţial şi puterea la care s-a ridicat numărul real reprezentat prin literă.

Observaţie:

Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire, împărţire şi ridicare la putere a expresiilor algebrice îşi pastrează aceleaşi reguli şi proprietăţi ca la numere reale.

La înmulţirea unui factor cu o paranteză (proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare şi scădere) înmulţim factorul din faţa parantezei cu fiecare termen din paranteză.

La înmulţirea a două paranteze înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză, iar la final reducem termenii asemenea.

La împărţirea unei paranteze cu un factor împărţim fiecare termen din paranteză la factor, dacă operaţia de împărţire este posibilă, dacă nu scriem termenii ca fracţie.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

20
oct.
2016

Exerciții rezolvate la numere reale!

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Bine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$ şi $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: $\frac{15}{2x+1}\epsilon N$ $\Rightarrow$ $2x+1 \epsilon D_{{15}}$ .

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

$D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}$

$2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1$

$2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2$

$2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7$

Soluţie : $x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}$ .

Determinăm şi mulţimea $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim mulţimea divizorilor unui număr întreg.

$\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$

Deoarece $3\epsilon Z$ , este suficient să demonstrez că $\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ ${2x-3}\epsilon D_{27}$

Deoarece sunt pe multimea Z, $\Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}$

$2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$

$2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3$

$2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6$ $2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3$

$2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15$

$2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12$

Soluţie : $x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi $x\in Z$ pentru care $\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z$

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$ , iar $\sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}$ .

Obţinem astfel: $\frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z$

Considerăm $\sqrt{3}\simeq 1,73$ obţinem: $2+ 1,73 =3,73$ şi $7-1,73 =5,27$

Deoarece $\left \| 2+\sqrt{3} \right \|$ şi $\left \| 7-\sqrt{3} \right \|$ sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere ies de sub modul cu sumnul +, adica $2+\sqrt{3}$ şi $7-\sqrt{3}$ .

Obţinem astfel: $\frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 9 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $2x-1\in D_{9}$ .

$D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}$ .

$2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$
$2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1$

$2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5$ $2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4$

Soluţie: $x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!