Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf

" Nu e destul să știm, trebuie să și aplicăm. Nu e destul să ne dorim, trebuie să facem."

Goethe

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas 3 Exerciții rezolvate la Unghiuri opuse la vârf !

Exercițiul1:

Fie unghiurile $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ două unghiuri opuse la vârf. Știind că $m(\widehat{AOB})=59^\circ$ aflați $m(\widehat{AOC})=?$ și $m(\widehat{BOD})=?$

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf $\Rightarrow$

$m(\widehat{COD}) \equiv m(\widehat{AOB})$ $=59^{\circ}$

Analizând figura observăm că punctele $A,\ \ \ O$ și $D$ sunt coliniare: $m(\widehat{AOC}) + m(\widehat{AOB})=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})+59^\circ=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=180^\circ- 59^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=121^\circ$

$m(\widehat{AOC})\equiv m(\widehat{BOD})$ $\Rightarrow m(\widehat{BOD})=121^\circ$

Exercițiul 2:

Fie $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf și dreptele $AD \cap BC=\left \{ O \right \}$ . Știind că $m(\widehat{AOC})=21^\circ+x$ și $m(\widehat{AOB})=97^\circ+x$ aflați : $m(\widehat{AOB})$ și $m(\widehat{AOC})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Din datele problemei știm că $\widehat{AOB}$ și $\widehat{COD}$ opuse la vârf și $AD \cap BC=\left \{ O \right \}$ $\Rightarrow B\ \ , \ \ O$ și $C$ coliniare $\Rightarrow m(\widehat{BOC})=180^\circ$

Dacă privim atent desenul observăm: $\Rightarrow m(\widehat{BOC})=m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})+m(\widehat{AOC})=180^\circ$ $\Rightarrow 97^\circ+x+21^\circ+x=180^\circ$

$\Rightarrow 2x+ 118^\circ=180^\circ$ $\Rightarrow 2x=180^\circ-118^\circ$ $\Rightarrow 2x=62^\circ$ $\Rightarrow x=62^\circ\ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow x=31^\circ$

$m(\widehat{AOC})=21^\circ+x$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=21^\circ+31^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=52^\circ$

$m(\widehat{AOB})=97^\circ+x$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})=97^\circ+31^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOB})=128^\circ$

Exercițiul 3:

Dacă $AB\cap CD= \left \{ O \right \}$ și $\frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}}$ află $m(\widehat{BOC})$ și $m(\widehat{BOD})$ .

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Realizăm desenul:

Problema ne spune că $\frac{ m(\widehat{AOD})}{ m(\widehat{AOC})}=\frac{4}{{5}}$ $\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOD})}= 4\cdot m(\widehat{AOC})$

$\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})$

Dar $AB\cap CD= \left \{ O \right \}$ $\Rightarrow C\ \ , \ \ O \ \$ și $D$ coliniare $\Rightarrow m(\widehat{COD})= 180^\circ$

Analizând desenul observăm că $m(\widehat{COD})= m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})$

$\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ m(\widehat{AOD})=180^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})+ \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})=180^\circ | \ \ \ \cdot 5$

$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{AOC})+ 4\cdot m(\widehat{AOC})=5\cdot 180^\circ$ $\Rightarrow 9\cdot m(\widehat{AOC})=900 ^\circ | \ \ \ :\ \ \ 9$ $\Rightarrow m(\widehat{AOC})=100 ^\circ$

Știm că $m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot m(\widehat{AOC})$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4}{5}\cdot 100^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{4\cdot 100^\circ}{5}$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= \frac{400^\circ}{5}$ $\Rightarrow m(\widehat{AOD})}= 80^\circ$