#profesori buni - Matematica Mai Usoara

Etichetă: #profesori buni

03
apr.
2017

Exerciții rezolvate la Suma Gauss a Fracțiilor Zecimale

"Îi poți da unui elev câte o lecție în fiecare zi, dar dacă îl poți îndruma să învețe stârnindu-i curiozitatea, el își va dedica întreaga viață învățăturii."
Clay P. Bedford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea fracțiilor zecimale, exerciții cu un grad de dificultate ridicat în care apare Suma Gauss.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele calcule:

1,1 + 2,2 + 3,3 + ....................+ 9,9 =

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{11}{10}+\frac{22}{10}+\frac{33}{10}+.....................+\frac{99}{10}=$
$\frac{11+22+33+...................+99}{10}=$
$\frac{1\cdot 11+2\cdot 11+3\cdot 11+...................+9\cdot 11}{10}=$
$\frac{11\cdot (1 + 2 +3 +...................+9)}{10}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{11\cdot [9\cdot (9+1): 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot [9\cdot 10 : 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot (90 : 2)}{10}=$
$\frac{11\cdot 45}{10}=$
$\frac{495}{10}=49,5$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Exercițiul 2:

Efectuați următoarele calcule:

$1,11+2,22+3,33+.............+9,99$

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{111}{100}+\frac{222}{100}+\frac{333}{100}+.....................+\frac{999}{100}=$
$\frac{111+222+333+.........+999}{100}=$
$\frac{111\cdot 1+111\cdot 2+111\cdot 3+.........+111\cdot 9}{100}=$
$\frac{111\cdot (1+ 2+ 3+.........+ 9)}{100}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{111\cdot [9 \cdot (9+1)]:2}{100}=$
$\frac{111\cdot (9 \cdot 10:2)}{100}=$
$\frac{111\cdot (90 : 2)}{100}=$
$\frac{111\cdot 45}{100}=$
$\frac{4995}{100}=49,95$

PDF Gratuit: Suma Gauss – Explicatie, Definitie si Exercitii rezolvate

Exercițiul 3:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă efectuăm înmulțirile obținem:

$5 \cdot 200 = 1000$

Exercițiul 4:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă adunăm primele două fracții zecimale obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Observăm că am adunat până în acest moment 4 fracții zecimale iar cifra 8 se repetă de 3 ori. Dacă continuăm adunarea și adunăm toate fracțiile zecimale obținem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

23
mart.
2017

Exerciții rezolvate la Înmulțirea fracțiilor zecimale

categories: Fracții zecimale

"Fă azi ce alţii nu fac ca să trăieşti mâine cum alţii nu pot."

Zig Ziglar

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul precedent am efectuat câteva exerciții ușoare la înmulțirea fracțiilor zecimale. Azi îți propun să rezolvăm împreună câteva exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat!

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Dacă $x \cdot (y-z)=2,4$ și $x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ , atunci calculați:

$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )$

Rezolvare:

$x \cdot (y-z)=2,4 \Rightarrow$ $x \cdot y- x \cdot z=2,4$

$x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ $x \cdot z+ x \cdot t=3,1$

Adunăm cele două relații și obținem:

$x \cdot y- x \cdot z+x \cdot z+ x \cdot t=2,4 + 3,1$

Observăm că $x \cdot z$ se reduce și obținem:

$x \cdot y+ x \cdot t=5,5$
$x \cdot( y+ t )=5,5$
Înmulțim relația cu 2,4 și obținem:
$x \cdot( y+ t )=5,5 | \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=5,5 \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=13,20$

Exercițiul 2 :

Dacă $x+y=7,05$ și $y+z=14,1$ atunci calculați: $(x+3y+2z) \cdot (z-x)$

Rezolvare:

$x+y=7,05$ $\Rightarrow$ $x+y =7,05$
$y+z=14,1$ $| \cdot 2$ $\Rightarrow$ $2y+2z=28,2$

Adunam cele două relații si obținem:

$x+y+2y+2z=7,05+28,2$
$x+3y+2z=35,25$

Observăm ca am obținut prima paranteză.

Revenim la cele două relații inițiale:

$x+y=7,05$
$y+z=14,1$

Scădem din a doua relație prima relație și obținem:

$y+z-x-y=14,1-7,05$
$z-x=7,05$

Înmulțim cele două relații obținute:

$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=35,25 \cdot 7,05$
$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=248,5125$

Exercițiul 3:

Determinați cifrele a și b care verifică relația:

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare și obținem:

Pentru ca avem peste tot același numitor putem scrie relația fară numitor:

Desfacem în baza 10 numerele:

și obținem:

$(10 \cdot a + a+ 10 \cdot b +b)\cdot b=1287$
$(11 \cdot a + 11 \cdot b )\cdot b=1287$
$11 \cdot (a +b)\cdot b=1287 | : 11$
$(a +b)\cdot b=117$
$(a +b)\cdot b= 3^{{2}}\cdot 13$
Verificăm varianta $b=3$
$(a+3)\cdot 3=117$
$3a+9=117$
$3a=117 -9$
$3a=108$
$a=108 : 3$
$a=36$

Această variantă nu ne convine deoarece a trebuie să fie cifră.

Verificăm cea de-a doua variantă $b=3 ^{2} =9$ și obținem:

$(a+9)\cdot 9=117$
$9a+81=117$
$9a=117-81$
$9a=36$
$a=36:9$
$a=4$

Această variantă este ok deci obținem soluția $a=4$ și $b=9$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
mart.
2017

Exerciții rezolvate la Formulele de Calcul Prescurtat

categories: Calcul Algebric

"Invata tot ce poti, in orice moment disponibil, de la oricine si intotdeuna va veni o vreme cand te vei simti recompensat pentru ceea ce ai invatat."
Sarah Caldwel

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. Azi te invit să efectuăm împreună câteva exerciții la formulele de calcul prescurtat.

EXERCIŢIUL 1: Efectuați, folosind formula de calcul prescurtat:

a) $(2x+1) ^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=+1$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+1)^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot (+1)+(+1)^{2}$

$(2x+1)^{2}=4x^{2}+4 x+1$

b) $(4x - 7y)^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=4x$ şi $b=7y$ . Aplicând formula obţinem:

$(4x - 7y)^{2}=(4x)^{2}-2\cdot 4x\cdot 7y +(7y)^{2}$

$(4x - 7y)^{2}=16x^{2}-56xy +49y^{2}$

c) $(2x+\sqrt{3})^{2}$

Rezolvare:

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=2x$ şi $b=\sqrt{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(2x+\sqrt{3})^{2}=(2x)^{2}+2\cdot 2x\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}$

$(2x+\sqrt{3})^{2}=4x^{2}+4\sqrt{3} x+3$

d) $(5x-\sqrt{2})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=5x$ şi $b=\sqrt{2}$ . Aplicând formula obţinem:

$(5x-\sqrt{2})^{2}=(5x)^{2}-2\cdot 5x\cdot \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}$

$(5x-\sqrt{2})^{2}=25x^{2}-10 \sqrt{2}x+2$

e) $(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b) ^{2}=a^{2}+2\cdot a \cdot b+b^{2}$ .

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{3}x$ şi $b=\frac{1}{3}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=(\frac{2}{3}x)^{2}+2\cdot \frac{2}{3}x\cdot \frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^{2}$

$(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}x^{2}+ \frac{4}{9}x +\frac{1}{9}$

f) $(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a - b)^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b +b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=\frac{2}{7}x$ şi $b=\frac{7}{4}$ . Aplicând formula obţinem:

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=(\frac{2}{7}x)^{2}-2\cdot \frac{2}{7}x\cdot \frac{7}{4}+(\frac{7}{4})^{2}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-\frac{28}{28}x+\frac{49}{16}$

$(\frac{2}{7}x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{4}{49}x^{2}-x+\frac{49}{16}$

f) $(x+9)(x-9)$

Aplicăm formula de calcul prescurtat: $(a+b)(a-b)= a^{2}-b^{2}$

În cazul exerciţiului nostru: $a=x$ şi $b=9$ . Aplicând formula obţinem:

$(x+9)(x-9)= x^{2}-9^{2}$

$(x+9)(x-9)= x^{2}-81$

EXERCIŢIUL 2: Efectuaşi calculele :

a) $(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$(x+2)^{2}+ (x-1)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+ 2^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}=$

b) $(2\sqrt{2}-3\sqrt{3}) ^{2}-2(\sqrt{3}+3\sqrt{2}) ^{2}$

Aplicând formulele de calcul prescurtat obţinem:

$[(2\sqrt{2})^{2}-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}+(3\sqrt{3})^{2}]-2[(\sqrt{3})^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}] =$

$(4\cdot 2-12\sqrt{2\cdot3}+9\cdot 3)-2(3+6 \sqrt{2\cdot3}+9\cdot2)=$

$8-12\sqrt{6}+27-6+12 \sqrt{6}-36=$

$8+27-6+12 -36=5$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

13
mart.
2017

Înmulțirea fracțiilor zecimale

categories: Numere Raționale Pozitive

„Este uimitor ce pot face oamenii obişnuiţi dacă se apucă de treabă fără idei preconcepute.” — Charles F. Kettering

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Data trecută am efectuat exerciții la "Adunarea și Scăderea Fracțiilor Zecimale". Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Înmulțirea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele înmulțiri:

$2,75 \cdot 3=$

$125,75 \cdot 33=$

$0,7 \cdot 3,8=$

$2,57 \cdot 1,77=$

$12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=$

Rezolvare:

$2,75 \cdot 3=$

Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă).

Pentru că fracția zecimală $2,5$ are o zecimală punem la produs virgula după o cifră numărând de la dreapta la stânga.

2. $125,75 \cdot 33=$

Înmulțim numerele ca la numerele naturale (facem excepție de virgulă)

Pentru că fracția zecimală $125,75$ are două zecimale punem la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.

$0,7 \cdot 3,8=$

Pentru că fracția zecimală $0,7$ are o zecimală după virgulă iar fracția zecimală $3,8$ are tot o zecimală după virgulă, am pus la produs virgula după două cifre numărând de la dreapta la stânga.
$2,57 \cdot 1,77 =$

Pentru că fracția zecimală $2,57$ are două zecimale după virgulă iar fracția zecimală $1,77$ are tot două zecimale după virgulă, am pus la produs virgula după patru cifre numărând de la dreapta la stânga.

$12,4 \cdot 3,5 \cdot 5,2=$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

27
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

categories: Fracții zecimale

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

21
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

categories: Fracții Ordinare

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Amplificați cu 3 următoarele fracții:

$\frac{2x}{3y}$ , $\frac{x+2}{y+1}$ , $\frac{a+b}{x+y}$

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2: Simplificați următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

$\frac{20}{30}$ , $\frac{5a}{10b}$ , $\frac{10a+10b}{25x+25y}$ , $\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$ , $\frac{6^3 }{10^4}$

Rezolvare:

$\frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}$

$\frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}$

$\frac{10a+10b }{25x+25y}$

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

$\frac{10a+10b }{25x+25y}=$ $\frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=$ $\frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}$

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=$ $\frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =$ $\frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} =$ $\frac{25 }{33}$

$\frac{6^3 }{10^4}$

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{6^3 }{10^4} =$ $\frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=$ $\frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=$ $\frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=$ $\frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}$

EXERCIŢIUL 3: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=$ $\frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=$ $\frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}=$ $\frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}=$ $\frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=$ $\frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=$ $\frac{4}{5}}$

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}$

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =$ $\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}$

Calculăm Suma Gauss cu formula $S= n\cdot(n+1) : 2$

$S=1+2+3+..........+200$

$S=200\cdot(200+1) : 2$

$S=200\cdot201 : 2$

$S=100\cdot201$

$\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=$ $\frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=$ $\frac{2}{3}$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =$ $\frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =$ $\frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =$ $\frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =$ $\frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} =$ $\frac{12}{ 9}^{(3}} =$ $\frac{4}{ 3}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
ian.
2017

Relații între mulțimi de numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(mai mult…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.

Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: $A \neq B$ .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : $A\subset B$ , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: $B \supset A$
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: $A \not \subseteq B$ sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: $B \not \supset \ A$ .

Observații:

Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime $\not \bigcirc\subset A$

Orice mulțime este inclusă în ea însăși $A \subset A$ .

Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset A$ atunci $A=B$ .

Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ .

Submulțimi:

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică $A \subset B$ se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

Observații:

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu $2^{{card A}}$
Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu: Fie mulțimea $M=\left \{ 1,3,5 \right \}$ . CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are $2^{3}=8$ submulțimi.

$\not\bigcirc$ , $\left \{ 1 \right \}$ , $\left \{ 3 \right \}$ , $\left \{ 5 \right \}$ , $\left \{ 1,3 \right \}$ , $\left \{ 1,5 \right \}$ , $\left \{ 3,5 \right \}$ , $M$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

12
ian.
2017

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi. Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a două mulțimi și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: $A=\left \{ 1,2,3\right \}$ , $B=\left \{ 2,4,6\right \}$ și $C=\left \{ 3,5,7\right \}$ . Calculați: $A\cup B$ , $A\cap B$ , $A\setminus B$ , $A\cup C$ , $A\cap C$ , $A\setminus C$ .

Rezolvare:

$A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}$

$A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}$

$A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}$

$A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}$

$A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

$A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}$ .

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen $A\setminus B$ .

Din reuniunea celor două mulțimi $A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ observăm că mai avem un elemnt $\left \{ 5 \right \}$ pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul $\left \{ 5 \right \}\in B$ .

Astfel am găsit mulțimile:

$A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}$

$B= \left \{1,2,3,5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

06
ian.
2017

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei în plan : " Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic". Acest capitol este foarte important în studiul Geometriei în Plan (geometria de clasa a VII-a), dar și în Geometria în Spațiu (geometria de clasa a VIII-a). Prima lecție din acest capitol "Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii."

(mai mult…)

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

Observație: Vom nota : $pr_{d}M=M^{{'}}$

Teoremă: Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.

Observație: Dacă proiecția segmentului [AB] pe dreapta d este segmentul $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ , atunci proiecția mijlocului segmentului [AB] pe dreapta d este mijlocul segmentului $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ .

Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Observație: Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Reciproca Teoremei Înălțimii : Fie triunghiul ABC și $D \epsilon (BC)$ astfel încât $AD \perp BC$ și $AD^{{2}}=DC \cdot DB$ . Atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

03
ian.
2017

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate.

categories: Numere Reale

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit! În articolul de azi vreau să îți explic pas cu pas "Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate" . În articolul precedent ți-am vorbit despre Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect azi trebuie să aflăm care este algoritmul de extragere al radicalului unui număr real.

(mai mult…)

Pentru a înțelege cât mai bine algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate voi lua un exemplu pe care îl voi explica pas cu pas.

Exemplu : $Reguli de calcul cu Radical$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!