marimi direct proportionale - Matematica Mai Usoara

„Fără educaţie, ce este omul? Un splendid sclav, un sălbatic al raţiunii.”

Joseph Addison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la marimi invers proporționale.

Exercițiul 1: Suma a trei numere este egală cu 20.Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 3; 2,(4); și 11.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că suma celor trei numere este egală cu 20 $\Rightarrow$ $a+b+c=20$

Tot din enunțul problemei știm:

$\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 3;\ \ \ \ 2,(4);\ \ \ \ 11 \right \}$

$\Rightarrow a\cdot 3=b\cdot 2,(4)=c \cdot 11=k$

$\Rightarrow a\cdot 3=k \Rightarrow a=\frac{k}{{3}}$

$\Rightarrow b\cdot 2,(4)=k$

Transformăm fracția periodică în fracție ordinară astfel:

$2,(4)=\frac{24-2}{{9}}=\frac{22}{{9}}$ . Astfel obținem:

$\Rightarrow b\cdot \frac{22}{{9}}=k \ \ \ |\ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}$ $\Rightarrow b=k \ \ \ : \ \ \ \frac{22}{{9}}$ $\Rightarrow b=k \cdot \frac{9}{{22}}$ $\Rightarrow b=\frac{9k}{{22}}$

$\Rightarrow c\cdot 11=k \Rightarrow c=\frac{k}{{11}}$

Înlocuim a, b și c în relația $a+b+c=20$ și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

$\frac{k}{{3}} + \frac{9k}{{22}} +\frac{k}{{11}}=20$

Aducem fracția la același numitor calculând c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor.

$3=3$

$22=2 \cdot 11$

$11=11$

$\left [3,22,11 \right ]=3\cdot 2 \cdot 11=66$ . Astfel obținem:

${22)}^_{{\frac{k}{{3}}}}+ 3)^_{{\frac{9k}{{22}}}}+ 6)^_{{\frac{k}{{11}}}}=66)^_{{\frac{20}{{1}}}}$

$22k+27k+6k=1320$ $\Rightarrow 55k=1320 | \ \ \ : \ \ \ 55$ $\Rightarrow k=1320 \ \ : \ \ \ 55$ $\Rightarrow k=24$

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

$\Rightarrow a= \frac{24}{{3}}\Rightarrow a= 8$

$\Rightarrow b= \frac{9\cdot 24}{{22}}\Rightarrow b= \frac{216}{{22}}^{(2}\Rightarrow b= \frac{108}{{11}}$

$\Rightarrow c= \frac{ 24}{{11}}$

Exercițiul 2: Produsul a trei numere este egal cu 1. Aflați numerele știind că acestea sunt invers proporționale cu numerele 4; 16; și 27.

Rezolvare:

Considerăm trei numere a; b și c.

Știm din enunțul problemei că produsul celor trei numere este egal cu 1. $\Rightarrow$ $a \cdot b \cdot c =1$

Tot din enunțul problemei știm:

$\left \{ a;\ \ \ b;\ \ \ c \right \} \overset{i.p}{\rightarrow} \left \{ 4;\ \ \ \ 16;\ \ \ \ 27 \right \}$ $\Rightarrow a \cdot 4= b \cdot 16= c \cdot 27 = k$

$\Rightarrow a\cdot 4 = k \Rightarrow a=\frac{k}{{4}}$

$\Rightarrow b \cdot 16 = k \Rightarrow b=\frac{k}{{16}}$

$\Rightarrow c \cdot 27 = k \Rightarrow c =\frac{k}{{27}}$

Înlocuim a, b și c în relația $a \cdot b \cdot c =1$ și aflăm valoarea lui k. Astfel obținem:

$\frac{k}{{4}} \cdot \frac{k}{{16}} \cdot \frac{k}{{27}} =1$ $\Rightarrow \frac{k^3}{{1728}} =1 |\ \ \ \cdot 1728$

$\Rightarrow k^3 = 1728$ $\Rightarrow k^3 = 12^3 \Rightarrow k=12$

Înlocuim k și aflăm valorile lui a, b și c. Astfel obținem:

$\Rightarrow a=\frac{12}{{4}} \Rightarrow a= 3$

$\Rightarrow b=\frac{12}{{16}}^{(4 }\Rightarrow b=\frac{3}{{4}}$

$\Rightarrow c=\frac{12}{{27}}^{(3 }\Rightarrow c=\frac{4}{{9}}$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare la Mărimi invers proporționale pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa usoara marimi invers proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale.

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

$M_{a}=\frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2$ $\Rightarrow a+ b=48$

$\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}$ $\Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k$

$\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k$

$\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k$

Înlocuim a și b în ecuația $a+b=48$ și obținem:

$3 \cdot k + 9 \cdot k=48$ $\Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=4$

Înlocuim în a și b și obținem:

$\Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4$ $\Rightarrow a=12$

$\Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4$ $\Rightarrow b=36$ .

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: $1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)$

Rezolvare:

Considerăm trei numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

$a+b+c=84$

$\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}$

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

$1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}$

$1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}$

$1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}$

Și obținem: $\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func'ie de valoarea lui k.

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

$a+b+c=84$ $\Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84$ $\Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 18$

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

$a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{234}{{9}}$ $\Rightarrow a = 26$

$b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{252}{{9}}$ $\Rightarrow b = 28$

$c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{270}{{9}}$ $\Rightarrow c = 30$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Mărimi direct proporționale pentru copilul tău o gasești aici Fisa de lucru marimi direct proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Matematica Mai Usoara

Etichetă: marimi direct proportionale

Exercitii rezolvate la Mărimi Invers Proporționale

Exerciții rezolvate la Mărimi direct proporționale

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Mărimi direct proporționale pentru copilul tău o gasești aici Fisa de lucru marimi direct proportionale