exercitii cu fractii clasa 5 - Matematica Mai Usoara

Etichetă: exercitii cu fractii clasa 5

25
ian.
2019

Transformarea fracțiilor zecimale (periodice)

„Cu un talent și o perseverență extraordinare toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la Transformarea fracțiilor zecimale în fracție ordinare.

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecțiaTransformarea fractiilor periodice in fractii ordinare!

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! (mai mult…)

Exercițiul 1: Transformați în fracții ordinare următoarele fracții zecimale:

a) $7,5$ ; b) $0,03$ ;

c) $13,(2)$ ; d) $0,2(5)$ ;

e) $0,2(5)$ ; f) $15,14(15)$ ;

Rezolvare:

a) $7,5$ este o fracție zecimală finită $\Rightarrow$ $7,5=\frac{75}{10}^{(5}=\frac{15}{2}$

Pentru că avem o singură cifră după virgulă numitorul este 10. În cazul în care vom avea mai multe cifre după virgulă vom pune atâția dea 0 cate cifre avem după virgulă.

b) $0,03=\frac{3}{100}$ .

În acest caz avem două cifre după virgulă am pus doi de 0 la numitor.

c) $13,(2)$ este o fracție periodică simplă.

Pentru a transforma o fracție periodică simplă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 132) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 13), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă. Astfel obținem:

$13,(2)=\frac{132-12}{9}=\frac{119}{9}$

Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă.

d) $0,2(5)$ este o fracție periodică mixtă (deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă)

Pentru a transforma o fracție periodică mixtă într-o fracție ordinară vom scrie la numărător întreg numărul (în cazul nostru 25) din care scădem numărul format din cifrele din fața virgulei (în cazul nostru 2), iar la numitor punem o cifră de 9 deoarece avem o singură cifră în perioadă și o cifră de 0 deoarece avem o cifră între virgulă și perioadă. Astfel obținem:

$0,2(5)=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$

Observație : În cazul în care avem mai multe cifre în perioadă punem atâția de 9 câte numere avem în perioadă, iar dacă avem mai multe cifre între virgulă și perioadă punem atâția de 0 câte numere avem între virgulă și perioadă.

e) $10,12(3)=\frac{10123-1012}{900}=\frac{9111}{{900}}^{(3}=\frac{3037}{{300}}$
f) $15,14(15)=\frac{151415-1514}{9900}=\frac{149901}{{9900}}^{(3}=\frac{49967}{{300}}$

Exercițiul 2: Se consideră numărul $x=2,1(39)$ .

a) Determinați a 2018-a zecimală a numărului x.

b) Calculați suma primelor 100 zecimale ale lui x.

c) Transformați numărul x în fracție ordinară.

Rezolvare:

Observăm că numărul x are după virgulă o cifră (1), iar în perioadă două cifre (39). Știm că cifra dintre virgulă și perioadă nu se repetă iar cifrele din perioada se repetă la nesfârșit.

Scris ca număr zecimal fară perioadă numărul x ar arăta așa:

$x=2,1(39)=2,139393939..........39......$

Pentru a determina a 2018-a zecimală a lui x scădem din $2018 - 1=2017$ (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă).

După care împărțim 2017 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă).

$2017\ \ \ :\ \ \ \ 2=1008 \ \ \ rest \ \ 1$

Pentru că am obținut restul 1 a 2018-a zecimală a lui x este 3 (prima cifră din perioadă).

b) Pentru a calcula suma primelor 100 zecimale ale lui x scădem :

$100-1=99$ (deoarece avem o singură cifră între virgulă și perioadă)

După care împărțim 99 la 2 (deoarece avem 2 cifre în perioadă) și obținem:

$99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1$

Obținem că suma celor 100 de zecimale ale lui x sunt:

$S=1+3+9+3+9+3+9+......+3$ =

Pentru că $99\ \ \ \ :\ \ \ \ 2=49 \ \ \ rest \ \ \ 1$ $\Rightarrow 3+9$ se repetă de 49 de ori.

Astfel putem scrie: $S=1+49\cdot (3+9)+3$ $\Rightarrow S=1+49\cdot 12 +3$ $\Rightarrow S=1+588 +3$ $\Rightarrow S= 592$

c) $x=2,1(39)$ $\Rightarrow x=\frac{2139-21}{{990}}=\frac{2118}{{990}}^{(2}=\frac{1059}{{495}}^{(3}=\frac{353}{{165}}$

Exercițiul 3: Determinați cifra $a$ știind că :

$\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} \in N$

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\overline{0,1a}+\overline{0,(a)}+\overline{0,a(1)} =$ $\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{a}{9}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$

Aducem la același numitor prin amplificarea celei de-a doua fracții cu 10. Astfel obținem:

$\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ ^{10)_}\textrm{\frac{a}{9}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$ $\frac{\overline{1a}-1}{{90}}+ \frac{10a}{90}}+ \frac{\overline{a1}-a}{90}=$ $\frac{\overline{1a}-1+10a+\overline{a1}-a}{{90}}$

Desfacem în baza 10 numerele: $\overline{1a}$ și $\overline{a1}$ astfel: $\overline{1a}= 10 +a$ iar $\overline{a1}= 10a +1$ .

Obținem: $\frac{10 +a -1+10a+10a+1 -a}{{90}}$ $=\frac{10+20a}{{90}}=$ $=\frac{10\cdot(1+2a)}{{90}}^{(10}=$ $=\frac{1+2a}{{9}} \in N$ $\Rightarrow 1+2a=9 |\ \ -1$

$\Rightarrow 2a=9 -1$ $\Rightarrow 2a=8 \ \ | \ \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow a=8 \ \ \ \ :\ \ \ 2$ $\Rightarrow a=4$ .

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții Ușoare Transformarea fracților zecimale în fracții ordinare pentru copilul tău, pe care o gasești aici: Fisa de lucru fractii periodice

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

27
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

categories: Fracții zecimale

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

21
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

categories: Fracții Ordinare

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Amplificați cu 3 următoarele fracții:

$\frac{2x}{3y}$ , $\frac{x+2}{y+1}$ , $\frac{a+b}{x+y}$

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2: Simplificați următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

$\frac{20}{30}$ , $\frac{5a}{10b}$ , $\frac{10a+10b}{25x+25y}$ , $\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$ , $\frac{6^3 }{10^4}$

Rezolvare:

$\frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}$

$\frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}$

$\frac{10a+10b }{25x+25y}$

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

$\frac{10a+10b }{25x+25y}=$ $\frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=$ $\frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}$

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=$ $\frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =$ $\frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} =$ $\frac{25 }{33}$

$\frac{6^3 }{10^4}$

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{6^3 }{10^4} =$ $\frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=$ $\frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=$ $\frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=$ $\frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}$

EXERCIŢIUL 3: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=$ $\frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=$ $\frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}=$ $\frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}=$ $\frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=$ $\frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=$ $\frac{4}{5}}$

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}$

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =$ $\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}$

Calculăm Suma Gauss cu formula $S= n\cdot(n+1) : 2$

$S=1+2+3+..........+200$

$S=200\cdot(200+1) : 2$

$S=200\cdot201 : 2$

$S=100\cdot201$

$\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=$ $\frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=$ $\frac{2}{3}$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =$ $\frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =$ $\frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =$ $\frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =$ $\frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} =$ $\frac{12}{ 9}^{(3}} =$ $\frac{4}{ 3}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
feb.
2017

Fracții ordinare.

categories: Fracții Ordinare

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare. În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică Fracțiilor.

Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu $n \neq 0$ , scrisă sub forma: $\frac{m}{n}$ .

"m" se numește numărătorul fracției
"n" se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ , se numește echiunitară dacă $a=b$ numărătorul este egal cu numitorul.

Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numește subunitară, dacă $a \lt b$ (numărătorul mai mic decât numitorul.

Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numețte supraunitară , dacă $a \gt b$ (numărătorul este mai mare decât numitorul).

Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!