capacitate 2016 - Matematica Mai Usoara

Etichetă: capacitate 2016

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Gasesti lecția in format pdf aici : Inmultirea-Nnumerelor-Reprezentate--prin -Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Observaţie:Prin "Inmulţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Împărţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferenţa exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Ridicarea la puterea întreagă a unui număr real reprezentat prin litere" se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficienţului iniţial, iar partea literală este formată din aceleaşi litere ca ale temenului iniţial, fiecare literă având exponent egal cu produsul dintre exponentul iniţial şi puterea la care s-a ridicat numărul real reprezentat prin literă.

Observaţie:

Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire, împărţire şi ridicare la putere a expresiilor algebrice îşi pastrează aceleaşi reguli şi proprietăţi ca la numere reale.

La înmulţirea unui factor cu o paranteză (proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare şi scădere) înmulţim factorul din faţa parantezei cu fiecare termen din paranteză.

La înmulţirea a două paranteze înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză, iar la final reducem termenii asemenea.

La împărţirea unei paranteze cu un factor împărţim fiecare termen din paranteză la factor, dacă operaţia de împărţire este posibilă, dacă nu scriem termenii ca fracţie.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

25
oct.
2016

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În cel de-al doilea capitol de algebră în clasa a VIII-a se studiază "Calcule cu numere reale reprezentate prin litere", iar prima lecţie din acest capitol este de "Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere". Totuşi copilul tău nu este străin de acest tip de calcul al numerelor reprezentate prin litere, ele au mai fost studiate şi în clasele anterioare doar ca în acest capitol aplicăm aceste informaţii pe "mulţimea numerelor reale"

Gasesti lecția in format pdf aici : Adunarea-Si-Scaderea-Nr-Reale-Prin-Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Definiţie:Se numeşte expresie algebrică o succesiune de numere şi sau litere legate între ele prin operaţii aritmetice (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

Observaţii:

Expresia algebrică obţinută prin înmulţirea unui număr cu o literă se numeşte "termen al expresiei algebrice".

Exemplu: $7\cdot x$ , $4x$ , $2\cdot\sqrt{3}\cdot x$ , $3\cdot\sqrt{5}\cdot x - 9z ^{3}$ .

Numărul care apare în scrierea unui termen se numeşte "coeficientul termenului".

Literele care intră în componenţa unui termen alcătuiesc "partea literală".

Observaţie: Cu numerele reale reprezentate prin litere se pot efectua operaţii de:
adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, ele având aceleşi proprietăţi ca şi la numere reale.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Definiţie:Se numesc termeni asemenea acei termeni care conţin aceeaşi parte literală la acelaşi exponent.

Adunarea şi scăderea cu termeni asemenea se numeşte "operaţia de reducere a termenilor asemenea".

"Operaţia de reducere a termenilor asemenea" este operaţia prin care se obţine un termen asemenea celor doi, iar coeficientul noului termen este obţinut prin efectuarea operaţiei indicate asupra celor doi termeni asemenea.

"Forma canonică" este expresia algebrică care nu conţine termeni asemenea

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

20
oct.
2016

Exerciții rezolvate la numere reale!

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Bine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$ şi $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: $\frac{15}{2x+1}\epsilon N$ $\Rightarrow$ $2x+1 \epsilon D_{{15}}$ .

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

$D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}$

$2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1$

$2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2$

$2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7$

Soluţie : $x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}$ .

Determinăm şi mulţimea $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim mulţimea divizorilor unui număr întreg.

$\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$

Deoarece $3\epsilon Z$ , este suficient să demonstrez că $\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ ${2x-3}\epsilon D_{27}$

Deoarece sunt pe multimea Z, $\Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}$

$2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$

$2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3$

$2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6$ $2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3$

$2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15$

$2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12$

Soluţie : $x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi $x\in Z$ pentru care $\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z$

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$ , iar $\sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}$ .

Obţinem astfel: $\frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z$

Considerăm $\sqrt{3}\simeq 1,73$ obţinem: $2+ 1,73 =3,73$ şi $7-1,73 =5,27$

Deoarece $\left \| 2+\sqrt{3} \right \|$ şi $\left \| 7-\sqrt{3} \right \|$ sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere ies de sub modul cu sumnul +, adica $2+\sqrt{3}$ şi $7-\sqrt{3}$ .

Obţinem astfel: $\frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 9 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $2x-1\in D_{9}$ .

$D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}$ .

$2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$
$2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1$

$2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5$ $2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4$

Soluţie: $x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

14
iun.
2016

Evaluare naţională 2016. Sesiunea specială iunie 2016

categories: Subiecte rezolvate Evaluare Naţionala 2016

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit.
Nu am mai scris nimic de mult timp şi pentru că se apropie cu paşi repezi examenul de capacitate pentru absolvenţii clasei a VIII-a m-am gândit în articolul de azi să rezolvăm exerciţiile date la sesiunea specială pentru olimpici care s-a desfăşurat săptămâna trecută.
Voi rezolva şi explica fiecare exerciţiu pas cu pas, menţionând şi punctajul aferent fiecarui exerciţiu conform baremului de corectare, astfel ca ţie să-ţi fie uşor să-i explici copilului tău cum să rezolve şi să trateze fiecare exerciţiu pentru a obţine un punctaj cât mai mare la examenul de capacitate care va avea loc pe data de 29 iunie 2016. (mai mult…)

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

1. Rezultatul calculului 10×5 - 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 - 10 = 50-10 = 40

2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri:
Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte)
3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti)
Metoda II. Folosind Regula de trei simplă:
6 cărţi……………………24 lei
3 cărţi……………………x lei

x = $\frac{(3\cdot24)}{6}=\frac{72}{6}=12$ lei

3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15 $cm^{2}$

Rezolvare: Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime.
A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15 $cm^{2}$

5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu ..90 ° .

Rezolvare: Ştim că A'ADD' este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu măsura (<A'AD)= 90 °.

6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu ...120.

Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte.

Nu se acordă punctaje intermediare.

SUBIECTUL al II-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

2. Știind că $\frac{a}{b}=4$ , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare:
Metoda I. Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe "a" în funcţie de "b".
$\frac{a}{b}=\frac{4}{1}\Rightarrow a=4b$

$\frac{(3a-2b)}{b}=10$ .
$\frac{(3\cdot4b-2b)}{b}=10$

$\frac{(12b-2b)}{b}=10$ .
$\frac{10b}{b}=10$

$10=10 (A)$
Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

$\frac{b(3\cdot\frac{a}{b}-2)}{b}=10$

b se simplifică şi obţinem:

$3\cdot\frac{a}{b}-2=10$ .

$(3\cdot4\cdot2)=10$

$(12 - 2)=10$ .

$10=10$ (A)
Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare:
Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul.
$360 lei - 324 lei = 36 lei.$ .

$\frac{p}{100}\cdot360 lei = 36 lei$ .

$p=\frac{36\cdot100}{360}=\frac{3600}{360}=10$

$p = 10 %$ .

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x - 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy .
b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.
Rezolvare:
Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

$\cap Ox: y = 0 \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow x -4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow M(4 ; 0)$
$\cap Oy : x = 0 \Rightarrow f(0) = 0 - 4 \Rightarrow f(0) = - 4 \Rightarrow N(0 ; - 4)$

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u şi ON = 4 u → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

5. Se consideră expresia :

$E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}$ , unde x este număr real,
x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.

Rezolvare: Pentru a rezolva expresia trebuie mai întâi să aducem la acelaşi numitor în paranteză şi să rezolvăm paranteza aplicând formulele de calcul prescurtat :

$(a+b)^{2}= a^{2}+2ab+ b^{2}$

$E(x)=(\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}) : \frac{5}{x+2}$
$E(x)=[\frac{(x+2)^2}{x-3}-\frac{(x-3)^2}{x+2}-\frac{25}{(x+2)(x-3)}] : \frac{5}{x+2}$ $E(x)=(\frac{x^2+4x+4-x^2+6x-9-25}{(x+2)(x-3)}): \frac{5}{x+2}$

$E(x)=(\frac{10x-30}{(x+2)(x-3)})\cdot \frac{x+2}{5}$

$E(x)=\frac{10(x-3)}{(x+2)(x-3)}\cdot \frac{x+2}{5}$

Simplificăm termenii asemenea şi obţinem:

$E(x)=\frac{10}{5}$

$E(x)=2$

Pentru aducerea la acelaşi numitor şi aplicarea formulelor de calcul prescurtat se obţin 3 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al expresiei lui E(x) se punctează cu 2 puncte.

SUBIECTUL al III-lea

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete. (30 puncte)

1. Figura 2 este schiţa unui teren. ABCD și BEFC sunt paralelograme cu AD=60m, AB = BE = 80m și punctele A, B și E coliniare. Se consideră punctele M și N pe laturile BE, respectiv CD, astfel încât MN $\perp$ BC și BM = CN = 60 m .

a) Arătați că perimetrul paralelogramului ABCD este egal cu 280 m.
b) Demonstrați că unghiul DAB are măsura de 60° .
c) Demonstrați că aria suprafeței CMEF este mai mică decât 2600 m2 .
Rezolvare:

a) Notăm cu $L_{{mare}}$ =AB=DC laturile mari ale paralelogramului şi cu $L_{{mica}}$ = AD=BC

laturile mici ale paralelogramului.

$P_{ABCD} = 2(L_{mica}+L_{mare}) = 2( AB + AD) = 2 (80 m + 60m) = 2\cdot140m = 280 m.$

Pentru scrierea şi aplicarea formulei perimetrului dreptunghiului se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea rezultatului corect al perimetrului se punctează cu 3 puncte.

b) Ştim din datele problemei ca $BM \equiv NC$ şi ca $BM // NC$ deoarece ABCD şi BEFC sunt paralelograme $\Rightarrow$ BMNC paralelogram şi pentru ca $BC \perp MN$ $\Rightarrow$ $BMNC romb$ $\Rightarrow$ BN≡CN=60m.

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $AD \equiv BC$ $\Rightarrow$ $BC=60 m$ .

În concluzie am demonstrat ca $BN\equiv CN\equiv BC$ $\Rightarrow$ $\Delta BMC echilateral$ $\Rightarrow$ $m(\lt BCN)= 60^{\circ}$ .

Dar ABCD paralelogram $\Rightarrow$ $m (< BCN)\equiv m (<DAB)$ $\Rightarrow$ $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ .

Pentru demonstrarea că $BMNC romb$ se obţin 2 puncte, iar pentru aflarea măsurii unghiului $m(\lt DAB)= 60^{\circ}$ se punctează cu 3 puncte.

c) Observăm ca MEFC este trapez, iar pentru a calcula Aria trapezului avem nevoie de înălţimea trapezului.

$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$

În cazul nostru $B=CF, b=ME$ iar $h= EP$ . Pentru a afla dimensiunea lui EP aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ∆ EPF.

Ştim $AD // EF \Rightarrow EF = 60 m$
$\Delta EPF (< P = 90^{\circ}). Dar < EFP = 60^{\circ} \Rightarrow m( < PEF) = 30^{\circ} \Rightarrow PF = \frac{EF}{2}= \frac{60}{2}=30 m$

$\Delta EPF (< P = 90^{\circ} )$ : $EF^{2}=EP ^{2} + PF ^{2}$
$60^{2}=EP ^{2} + 30 ^{2}$

$3600=EP ^{2} + 900$
$EP ^{2}$ = 3600 – 900
$EP ^{2} =2700$
$EP=\sqrt{2700}$
$EP=30\sqrt{3} m$

$A_{{CMEF}}=\frac{(ME+CF)\cdot EP}{2}$

$A_{{CMEF}}=\frac{(20+80)\cdot 30\sqrt{3} }{2}$

$A_{{CMEF}}=\frac{100\cdot 30\sqrt{3} }{2}$

$A_{{CMEF}}=1500\sqrt{3} m^2$

$1500\sqrt{3} \lt 2600$
$15\sqrt{3} \lt 26 | ^2$

$225 \cdot3 \lt 26^2$

$675 < 676$

Pentru demonstrarea şi calcularea distanţei de la M la CF se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea ariei şi demonstrarea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

2. În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată VABC , cu baza triunghiul ABC și AB =12m . Punctul M este mijlocul segmentului BC și VM = $6\sqrt{3} m$ , iar VO este înălțimea piramidei.

a) Arătați că aria laterală a piramidei VABC este egală cu $108\sqrt{3} m^2$ .
b) Arătați că volumul piramidei VABC este egal cu $144\sqrt{2} m^3$ .
c) Demonstrați că distanța de la mijlocul înălțimii VO la dreapta VA este mai mică decât 3m .

Rezolvare:

a) Pentru a afla aria laterală a piramidei regulate VABC aplicam formula:

$A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}$
Pentru că este piramidă regulată triunghiul de la bază ABC este triunghi echilateral deci toate laturile triunghiului sunt egale cu 12.
Obţinem astfel: $P_{{b}}=3\cdot l=3\cdot12=36 m$ , iar apotema piramidei ne-o spune problema

VM= $6\sqrt{3}m$ .

$A_{{l}}= \frac{P_{{b}}\cdot a_{{p}}}{2}= \frac{36\cdot 6\sqrt{3}}{2}=\frac{21 6\sqrt{3}}{2}=108\sqrt{3} m^2$

Pentru scrierea formulei ariei laterale a piramidei triunghiulare regulate se obţin 2 puncte, iar pentru calcularea corectă a rezultatului ariei se punctează cu 3 puncte.

b) Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC aplicam formula:

$V_{{p}}= \frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}$
Pentru că este piramidă triunghiulară regulată aflăm aria triunghiului de la bază ABC cu ajutorul formulei:

$A_{{b}}= \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{12^2\sqrt{3}}{4}=\frac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3} m^2$
Pentru a afla volumul piramidei regulate VABC avem nevoie şi de dimensiunea înălţimei piramidei VO.
Pentru a calcula înălţimea piramidei VO avem nevoie de dimensiunea laturei OM care stim ca este egală cu 1/3 din AM.
AM este înălţime în triunghiul echilateral ABC şi pentru ai afla dimensiunea aplicăm formula :

$AM=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} m$

$OM=\frac{1}{3}\cdot AM=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3} m=2\sqrt{3} m$

Calculăm înălţimea VO aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic VOM.
∆VOM(< O = $90^\circ$ ) : $VM^{{2}}=VO^2 +OM^2$
$(6\sqrt{3}) ^{{2}}=VO^2 +(2\sqrt{3}) ^{{2}}$
$VO^2 = 108-12$
$VO^2 = 96$
$VO^2 = \sqrt{96}$

$VO = 4\sqrt{6} m$

$V_{{p}}=\frac{A_{{b}}\cdot h_{{p}}}{3}=\frac{36\sqrt{3}m^2\cdot 4\sqrt{6}m}{3}=\frac{144\sqrt{18}m^3}{3}=\frac{144\cdot 3\sqrt{2}m^3}{3}=144\sqrt{2} m^3$

Pentru aflarea dimensiunii înălţimii piramidei se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea formulei volumului piramidei triunghiulare regulate şi calcularea corectă a volumului se punctează cu 3 puncte.

c) Ştim că N mijlocul lui VO şi NP este distanţa de la N la VA → NP ⊥ VA (P ɛ VA) → că ∆VPN este asemenea cu ∆VOA conform criteriului de asemămare U.U obţinem următoarele rapoarte egale:

∆VPN ~ ∆VOA → $\frac{VP}{{VO}}=\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}$
Din aceste rapoarte egale putem să scoatem dimensiunea laturii NP.
Pentru a afla NP avem nevoie de dimensiunea muchiei VA care ştim că este egală cu muchia VB.
Aflăm VB din triunghiul dreptunghic VMB cu ajutorul teoremei lui Pitagora.
∆VMB (< M = $90^{\circ}$ ) $VB ^{2}= VM ^{2} + BM ^{2}$

$VB ^{2}= (6\sqrt{3}) ^{2} + 6 ^{2}$
$VB ^{2}= 108 + 36$
$VB ^{2}= 144$

$VB ^{2}=\sqrt{144} m$

$VB =12 m\Rightarrow VA=12 m$

Pentru ca N este mijlocul lui VO → $VN=\frac{VO}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6} m$ .

$\frac{VN}{{VA}}=\frac{NP}{{AO}}\Rightarrow \frac{2\sqrt{6}}{{12}}=\frac{NP}{{4\sqrt{3}}} \Rightarrow NP=\frac{2\sqrt{6}\cdot4\sqrt{3} }{{12}} m=\frac{8\sqrt{18} }{{12}} m \Rightarrow$

$\Rightarrow NP=\frac{24\sqrt{2}}{{12}} m \Rightarrow NP =2\sqrt{2} m$

Dar noi trebuie să demonstrăm ca NP < 3m $\Rightarrow2\sqrt{2} \lt 3 | ^{{2}}$
8 < 9 (A)

Pentru identificarea corectă a rapoartelor lui Thales se obţin 2 puncte, iar calcularea corectă a dimensiunii laturii NP şi demonstraţia ca $NP\lt 3$ se punctează cu 3 puncte.

Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să treacă cu bine peste examenul de capacitate din acest an.

Etichetă: capacitate 2016

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Subiectul 1

Pe foaia de examen trebuie completat doar răspunsul corect în spaţiul punctat.

1. Rezultatul calculului 10×5 - 10 este egal cu …40 .

Rezolvare: 10×5 - 10 = 50-10 = 40

2. Șase cărți de acelaşi fel costă în total 24 de lei. Trei dintre aceste cărți costă în total ..12 lei.

Rezolvare: Această problemă poate fi rezolvată in mai multe moduri: Metoda I. 24 : 6=4 (Lei costă o carte) 3 x 4=12 (Lei costă 3 cărti) Metoda II. Folosind Regula de trei simplă: 6 cărţi……………………24 lei 3 cărţi……………………x lei

x = lei

3. Cel mai mic număr natural care aparţine intervalului [1, 4] este egal cu …1 .

Rezolvare: Pentru că avem un interval închis (paranteza este pătrată) putem lua şi valoarea 1.

4. Dreptunghiul ABCD are AB = 5 cm și BC = 3 cm. Aria acestui dreptunghi este egală cu …15

Rezolvare: Ştim că aria dreptunghiului este produsul dintre lungime şi lăţime. A=L x l = 5 cm x 3 cm= 15

5. În Figura 1 este reprezentat un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu ..90 ° .

Rezolvare: Ştim că A'ADD' este dreptunghi deci măsura unghiului determinat de dreptele AD şi AA' este egală cu măsura (<A'AD)= 90 °.

6. În diagrama de mai jos este prezentată repartiţia după vârstă a elevilor unui club sportiv.Numărul elevilor acestui club sportiv care au vârsta de 7 ani este egal cu ...120.

Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete.

Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.

Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Dragul meu părinte, acest subiect are in total 30 puncte. Spre deosebire de subiectul anterior, la acest subiect nu sunt punctate doar raspunsurile ci şi rezolvările şi formulele.

1. Desenaţi, pe foaia de examen, un cub ABCDEFGH .

Pentru desenarea corectă a cubului se obţin 4 puncte, iar notarea corectă a cubului se punctează cu 1 punct.

2. Știind că , unde a și b sunt numere reale nenule, arătați că

.

Rezolvare: Şi această problemă are 2 metode de rezolvare: Metoda I. Scriem 4 ca fracţie cu numitorul 1 şi îl scoatem pe "a" în funcţie de "b".

.

.

Metoda II. Scoatem factor comun forţat pe b din a doua ecuaţie.

b se simplifică şi obţinem:

.

.

(A) Pentru efectuarea substituţiei sau a scoaterii factorului comun se obţin 3 puncte, iar obţinerea rezultatului corect al exercitiului se punctează cu 2 puncte.

3. Preţul unui obiect este de 360 lei. După o reducere cu p% din preţul obiectului, noul preț va fi de 324 lei. Determinați numărul p .

Rezolvare: Aflam întâi suma cu care s-a ieftinit produsul. .

.

.

Pentru aflarea sumei cu care s-a ieftinit produsul se obţin 2 puncte, iar pentru scrierea corecta a ecuaţiei lui p si obţinerea rezultatului corect se punctează cu 3 puncte.

4. Se consideră funcţia f :ℝ →ℝ, f (x) = x - 4 .

a) Reprezentați grafic funcția f într-un sistem de coordonate xOy . b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel. Rezolvare: Calculăm intersecţia funcţiei cu cele 2 axe Ox şi Oy după care trasăm graficul funcţiei.

Pentru reprezentarea fiecarui punct M şi N care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru trasarea graficului funcţiei f(x) se punctează cu 1 punct.

b) Arătaţi că triunghiul determinat de graficul funcției f și axele sistemului de coordonate xOy este isoscel.

Rezolvare: Segmentele OM = 4 u şi ON = 4 u → OM ≡ ON → triunghiul MON isoscel.

Pentru determinarea dimensiunilor fiecarui segment OM şi ON care aparţine graficului funcţiei f(x) se obţin câte 2 puncte, iar pentru demonstrarea triunghiului isoscel se punctează cu 1 punct.

5. Se consideră expresia :

, unde x este număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3. Arătați că E(x) = 2 , pentru orice x număr real, x ≠ -2 şi x ≠ 3.