Exerciții rezolvate la Numere Prime

" Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate ajuta pe omul cu mentalitate greșită".

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Numere Prime între ele.

Exercițiul 1: Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

$24=2^3 \cdot 3$

$77=7\cdot 11$

$(24, 77)=1$

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 $\Rightarrow$ cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001

Descompunem în factori primi cele două numere.

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$1001=7\cdot 11 \cdot 13$

$(360, 1001)=1$ $\Rightarrow$ 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$125=5^ 3$

$(84,125)=1$ $\Rightarrow$ 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2: Arată că numerele naturale $(4n+3,\ \ \ 6n+5)$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale $4n+3$ și $6n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $4n+3$ și $6n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(4n+3, 6n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Arată că numerele naturale $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural $5n+6$ și $4n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $5n+6$ și $4n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(5n+6, 4n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Află numărul natural x astfel încât:

a) $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$

b) $(\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1$

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere $\overline{5x}$ și 10 nu au nici un divizor comun scriem mulțimea divizorilor lui 10.

$D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}$

Dacă $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$ $\Rightarrow$ numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă $\overline{5x}$ $\Rightarrow$

Dacă 2 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x este un număr impar $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; dacă 5 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0

$\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Share on Facebook