august, 2017 - Matematica Mai Usoara

Lună: august 2017

18
aug.
2017

Criteriile de divizibilitate

"Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide."

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția "Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural". Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol "Criteriile de divizibilitate" .

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).

Criteriul de divizibilitate cu 4.

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

Un număr natural este divizibil cu 25 dacă și numai dacă ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

08
aug.
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$ Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$ Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$ Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$ Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$ Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ . Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ . Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$ Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$ Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$ Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$ Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ? Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$ Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$ Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

04
aug.
2017

Mulțimea Numerelor Raționale.

categories: Numere Raţionale

" Nu îți coborî așteptările pentru a se potrivi cu performanța ta. Ridică-ți nivelul de performananță pentru a se potrivi cu așteptările tale."

Ralph Marston

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi revin cu o lecție pentru clasa a VII-a.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

02
aug.
2017

Ultima cifră a unui număr natural

categories: Numere Naturale

"Cu cât un copil a văzut și a înțeles mai mult, cu atât vrea el să vadă și să înțeleagă mai mult."
Jean Piaget

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am vorbit despre "Pătratul unui număr natural". Astăzi îți propun o nouă lecție care mă ajută să demonstrez dacă un număr natural este pătrat perfect sau nu: "Ultima cifră a unui număr natural".

Șirul de numere: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ............... este șirul $0 ^{2}, 1 ^{2}, 2 ^{2}, 3 ^{2}, 4 ^{2}, 5 ^{2}, 6 ^{2}, .............., n ^{2}, ..........$ și se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte. Fie $x$ un număr natural. Notăm cu $U(x)$ ultima cifră a numărului $x$ . Să privim cu atenție următorul tabel:

Observăm ca ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ . Observație:

Dacă ultima cifră a unui număr natural este $2, 3, 7\ \ sau \ \ \ 8$ atunci acel număr natural nu poate fi pătrat perfect.
Dacă ultima cifră a unui număr natural este $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ acel număr natural este pătrat perfect.

Pentru a afla ultima cifră a unui număr vor avea în vedere următoarele reguli de calcul:

$U(x+y)=U(U(x)+U(y))$

$U(x\cdot y)=U(U(x)\cdot U(y))$

$U(x^n)=U[(U(x))^n]$

Exemple:

$U(79 +24)=U(U(79) +U(24))=U(9+4)=U(13)=3$

$U(98 \cdot 82)=U(U(98) \cdot U(82))=U(8 \cdot 2)=U(16)=6$

$U(36 ^{89})=U(U(36) ^{89})=U(6^ ^{89})=6$

Să analizăm atent următorul tabel:

Observație:

Numerele $1,5 \ \ \ si \ \ \ 6$ ridicate la orice putere îmi dă ultima cifră $1,5 \ \ \ si \ \ \ respectiv \ \ \ 6$ .

La numerele $2,3, 7 \ \ \ si \ \ \ 8$ se repetă ultima cifră din patru în patru puteri. La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 4, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 2,3,7 sau respectiv 8 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Iar la numerele $4 \ \ \ si \ \ \ 9$ se repetă ultima cifră din două în două puteri.La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 2, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 4 sau respectiv 9 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Exemple: Determinați ultima cifră a numerelor:

$2^{{2017}}\ \ \ si \ \ 4^{{2017}}$

Rezolvare:

Calculăm pentru $2^{{2017}}$ . Scriem puterile lui 2.

Observăm ca ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2017 la 4

Obținem astfel $2017\ \ \ : \ \ \ 4 =504 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Rezultă că $U(2^{2017})= U[(2^4)^{2017} \cdot 2^1]=U(2^4)^{2017}\cdot U(2^1)$ Privind puterile lui 2 observăm că ultima cifră a lui $2^4$ este 6, iar ultima cifră a lui $2^1$ este 2. Astfel obținem că $U(6^{2017})\cdot 2= U(6 \cdot 2) = U(12) = 2$

Observație: Am precizat mai sus ca 6 la orice putere are ultima cifră egala tot cu 6.

Calculăm ultima cifră pentru numărul $U(4^{2017})$ =

Scriem puterile lui 4.

Observăm că la numărul 4 ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 2017 la 2 :

Obținem astfel: $2017 \ \ \ :\ \ \ 2 = 1008 \ \ \ rest\ \ \ 1$ Rezultă că: $U(4^{2017})=U[(4^2)^{1008} \cdot 4^1]=U[(4^2)^{1008}] \cdot U(4^1)=$ Ultima cifră a lui $4^2$ este 6 iar ultima cifră a lui $4^1$ este 4. Înlocuiesc și obțin: $U(6^{1008})\cdot U(4^1)= U(6 \cdot 4)= U(24)= 4$ . Te invit să exersezi și tu 3 exerciții identice pe care ți le propun în rubrica:

Învăț pentru viitorul meu: Determină ultima cifră a numerelor: $9^{2017}; \ \ \ 3^{2019} ;\ \ \ 8^{2021}.$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor