februarie, 2017 - Matematica Mai Usoara

Lună: februarie 2017

27
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea la Fracții Zecimale.

"Ambiția este o pasiune atât de puternică a omului, încât oricât de sus am ajunge niciodată nu vom fi multumiți".

Nicollo Machiavelli

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea și scăderea fracțiilor zecimale.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Calculați:

$0,235 + 10,81$

$0,05+0,5+0,005$

$2+3,12+14,203$

$23,34-14,8$

$4,3-2,93$

Rezolvare:

Petru a aduna două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm fracțiile zecimale una sub alta, astfel încât partea întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi ș.a.m.d, iar apoi efectuăm adunarea ca la numere naturale.

$0,235 + 10,81=11,045$

$0,05+0,5+0,005=0,555$

adunarea fractiilor zecimale — fractii zecimale

$2+3,12+14,203=19,323$

Pentru a scădea două fracții zecimale procedăm astfel: așezăm scăzătorul sub descăzut, astfel încât virgula să fie sub virgulă, scădem numerele ca și când ar fi numere naturale.

Dacă descăzutul are mai puține zecimale decât scăzătorul, atunci se adaugă la partea zecimală zerouri pentru a avea același număr de zecimale.

$23,34-14,8=8,54$

$4,3-2,93=1,37$

Exercițiul 2:

Rezolvare:

Asezăm termenii adunării unii sub alții astfel:

Exercițiul 3:

0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=

Observăm că sunt foarte multe numere și ca să le adunăm ne-ar lua timp foarte mult. Mai observăm ca este o Suma Gauss de fracții zecimale.

Așa că vom face un mic artificiu matematic și vom scrie fiecare fracție zecimală asa: spre exemplu $0,9=1 - 0,1$ iar pe $1,9=2 - 0,1$ , s.a.m.d.

Rezolvare:

$0,9+1,9+2,9+3,9+........................................+99,9=$

$(1-0,1)+(2-0,1)+(3-0,1)+.............................+(100-0,1)=$

$1-0,1+2-0,1+3-0,1+.............................+100-0,1=$ $(1+2+2+.............+100) - (0,1+0,1+0,1+......................+0,1)=$

Observăm că prima paranteză este Suma Gauss a primelor 100 numere naturale consecutive, iar în a doua paranteză 0,1 se repetă de 100 de ori.

Aplicăm formula lui Gauss

$100\cdot (100+1) : 2 - 100\cdot 0,1=$

$100\cdot 101 : 2 - 10=$

$5050 - 10= 5040$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

22
feb.
2017

Teorema Catetei

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu bine te-am regăsit.

Astăzi te invit să studiem împreună Teorema Catetei.

(mai mult…)

În articolul trecut am vorbit despre Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii. Am vorbit despre proiectia unui punct pe o dreaptă, despre proiectia unui segment pe o dreaptă și despre Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic. Azi vreau să discutăm despre Teorema Catetei în triunghiul dreptunghic.

Teorema Catetei:

Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este media geometrică a lungimii proiecției ei pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.

Reciproca 1 a Teoremei Catetei:

Într-un triunghi ABC, dacă $AD \perp BC$ , $D \in (BC)$ și are loc una din egalitățile: $AB^{2}=BC \cdot BD$ sau $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$

Reciproca 2 a Teoremei Catetei:

În triunghiul ABC, dacă $D \in (BC)$ este un punct astfel încât $AB^{2}=BC \cdot BD$ și $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

21
feb.
2017

Exerciții rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.

categories: Fracții Ordinare

„Fii încăpățânat! Uneori, perseverența face minuni.” — Donald Trump.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție la capitolul Fracții care ridică ceva dificultăți elevilor de clasa a V-a: Exerciții Rezolvate la Amplificarea și Simplificarea Fracțiilor.Am să explic pas cu pas rezolvarea unor exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat la care elevii întâmpină dificultăți.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1: Amplificați cu 3 următoarele fracții:

$\frac{2x}{3y}$ , $\frac{x+2}{y+1}$ , $\frac{a+b}{x+y}$

Rezolvare:

EXERCIŢIUL 2: Simplificați următoarele fracții, obținând fracții ireductibile:

$\frac{20}{30}$ , $\frac{5a}{10b}$ , $\frac{10a+10b}{25x+25y}$ , $\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$ , $\frac{6^3 }{10^4}$

Rezolvare:

$\frac{20 }{30}^{(10}=\frac{2 }{3}$

$\frac{5a }{10b}^{(5}=\frac{a }{2b}$

$\frac{10a+10b }{25x+25y}$

Observație: Nu avem voie să simplificăm decât dacă dăm factor comun și la numărător și la numitor. Observăm că la numărător putem da factor comun pe 10, iar la numitor îl putem da factor comun pe 25.

$\frac{10a+10b }{25x+25y}=$ $\frac{10\cdot (a+b) }{25\cdot (x+y)}^{{(5}}=$ $\frac{2\cdot (a+b) }{5\cdot (x+y)}$

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11}$

Această fracție o simplificăm prin bazele care se repetă și la numărător și la numitor la puterea cea mai mică. Pentru că prin simplificare trebuie să fac operația de împărțire, scriu baza și scad exponentii.

$\frac{2^7\cdot3^2\cdot5^4 }{2^7\cdot3^3\cdot5^2\cdot11} ^{(2^7\cdot3^2\cdot5^2}=$ $\frac{2^0\cdot3^0\cdot5^2 }{2^0\cdot3^1\cdot5^0\cdot11} =$ $\frac{1 \cdot1\cdot25 }{1\cdot3\cdot1\cdot11} =$ $\frac{25 }{33}$

$\frac{6^3 }{10^4}$

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{6^3 }{10^4} =$ $\frac{(2\cdot 3)^3 }{(2\cdot 5)^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^4\cdot 5^4} =$ $\frac{2^3\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^3\cdot5^4}^{{( 2^3}}=$ $\frac{2^0\cdot 3^3 }{2^1\cdot 2^0\cdot5^4}=$ $\frac{1\cdot 3^3 }{2\cdot 1\cdot5^4}=$ $\frac{ 3^3 }{2\cdot5^4}$

EXERCIŢIUL 3: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

Dacă nu-ți mai aduci aminte regulile de calcul cu puteri le găsești aici: http://mathmoreeasy.ro/reguli-de-calcul-cu-puteri/

$\frac{4^{{25}}+8^{{17}}}{2^{{52}}-16^{{12}}}}=$ $\frac{(2^2)^{{25}}+{(2^3)^{{17}}}}{2^{{52}}-(2^4)^{{12}}}}=$ $\frac{2^{{2\cdot 25}}+{2^{{3\cdot 17}}}}{2^{{52}}-2^{{4\cdot12}}}}=$ $\frac{2^{{50}}+{2^{{51}}}}{2^{{52}}-2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50}}(1+{2^{{51-50}})}}{2^{{52}}(2^{{52-48}}-1) }}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot(1+{2)}}{2^{{48}}\cdot(2^{{4}} -1)}}=$ $\frac{2^{{50}}\cdot3}{2^{{48}}\cdot 15}}^{{(2^{{48}}}}=$ $\frac{2^{{50-48}}\cdot3}{2^{{48-48}}\cdot 15}}=$ $\frac{2^{{2}}\cdot3}{2^{{0}}\cdot 15}}^{{(3}}=$ $\frac{2^{{2}}}{1 \cdot 5}}=$ $\frac{4}{5}}$

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}}$

Rezolvare:

Observăm că la numărător și la numitor avem câte o sumă Gauss. La numărător putem da factor comun pe 2, iar la numitor putem da factor comun pe 3.

$\frac{2+4+6+.............+400}{3+6+9+.............+600}} =$ $\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}$

Calculăm Suma Gauss cu formula $S= n\cdot(n+1) : 2$

$S=1+2+3+..........+200$

$S=200\cdot(200+1) : 2$

$S=200\cdot201 : 2$

$S=100\cdot201$

$\frac{2\cdot(1+2+3+.............+200)}{3\cdot(1+2+3+.............+200)}}=$ $\frac{2\cdot 100\cdot 201 }{3\cdot 100 \cdot 201}} ^{{(100\cdot 201}}=$ $\frac{2}{3}$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 4: Simplificați următoarea fracție, obținând fracție ireductibilă:

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}}$

Rezolvare:

Pentru a simplifica această fracție mai întâi trebuie să aplicăm regulile de calcul cu puteri.

$\frac{2^{n}\cdot3^{n}+2^{n}\cdot3^{n}\cdot5+6^{n+1}}{6^{n}\cdot3+6^{n}\cdot7-6^{n}} =$ $\frac{(2\cdot3)^{n}+(2\cdot3)^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (3+7-1)} =$ $\frac{6^{n}+6^{n}\cdot5+6^{n}\cdot 6}{6^{n}\cdot (10-1)} =$ $\frac{6^{n}(1+5+ 6)}{6^{n}\cdot 9} =$ $\frac{6^{n}\cdot12}{6^{n}\cdot 9}^{(6^{n}} =$ $\frac{12}{ 9}^{(3}} =$ $\frac{4}{ 3}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

16
feb.
2017

Fracții ordinare.

categories: Fracții Ordinare

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Astăzi deschid un nou capitol din programa la matematica pentru clasa a V-a: Numere Raționale Pozitive, iar prima lecție din acest capitol este lecția Fracții Ordinare. În acestă lecție vom afla ce este o Fracție și cum se clasifică Fracțiilor.

Definiție:

O parte dintr-un întreg, împărțit în părți egale, se numește unitate fracționară.

Exemple:

Definiție: O fracție ordinară este o pereche de două numere naturale m și n, cu $n \neq 0$ , scrisă sub forma: $\frac{m}{n}$ .

"m" se numește numărătorul fracției
"n" se numește numitorul fracției.

Numitorul unei fracții arată în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul arată câte părți egale sunt luate.

Clasificarea fracțiilor:

Fracții echiunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ , se numește echiunitară dacă $a=b$ numărătorul este egal cu numitorul.

Exemple:

Fracții subunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numește subunitară, dacă $a \lt b$ (numărătorul mai mic decât numitorul.

Exemple:

Fracții supraunitare:

Fracția $\frac{a}{b}, a \in N, b \in N^{{*}}$ se numețte supraunitară , dacă $a \gt b$ (numărătorul este mai mare decât numitorul).

Exemple:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
feb.
2017

Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

categories: Asemănarea Triunghiurilor

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

(mai mult…)

Problema 1:

În $\Delta ABC$ se dau AB=52 cm, AC=72 cm și $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ . Dacă $M \in (AB)$ , $N \in (AC)$ astfel încât $MN \parallel BC$ , și $P_{{\Delta MNP}}=50 cm$ calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că $P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

$P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38$ .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)$

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

$n=(19-1) : 2 +1$

$n=18 : 2 +1$

$n=9 +1$

$n=10 (termeni)$

Calculăm Suma Gauss cu formula

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]$

$P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100$

$P_{{ \Delta ABC}}=200 cm$ .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

$P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC$

$200 cm = 52 cm + 72 cm +BC$

$BC= 200 cm - 124 cm$

$BC= 76 cm$

Știm din datele problemei că $MN \parallel BC$ deci putem aplica teorema lui Thales

$MN \parallel BC$ $\Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k$

$\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k$ $\Rightarrow AM=52cm \cdot k$

$\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k$ $\Rightarrow AN= 72cm\cdot k$

$\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k$ $\Rightarrow MN= 76cm\cdot k$

$P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP$

$50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k$

$50 cm = 200cm \cdot k$

$k = 200cm : 50 cm$

$k=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AM=13cm$

$\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow AN=18cm$

$\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}$ $\Rightarrow MN=19cm$

Problema 2:

Un trapez ABCD, $AB \parallel CD$ , $AB \gt CD$ are $AB = 26 cm$ și linia mijlocie $MN = 18 cm$ , $M \in (AD)$ , $N \in (BC)$ .

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, $P \in (AB)$ , $Q \in (DC)$ și $PQ \cap MN= \left \{ R \right \}$ , arătați că R este mijlocul lui $\left [ PQ \right ]$ .

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

$MN=\frac{AB+CD}{{2}}$ $\Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD$ $\Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD$ $\Rightarrow 36cm -26 cm=CD$ $\Rightarrow CD = 10 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!