Archive of ‘Asemănarea Triunghiurilor’ category

Probleme rezolvate cu Teorema lui Thales

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. In articolul de ieri am discutat despre Teorema lui Thales, despre Reciproca Teoremei lui Thales, despre Teorema Bisectoarei și ți-am povestit și legenda Teoremei lui Thales. Astăzi vreau să rezolvăm împreuna câteva probleme de geometrie în care se aplică teoremele menționate mai sus.

(mai mult…)

Problema 1:

În  \Delta ABC se dau AB=52 cm, AC=72 cm și  P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38 . Dacă  M \in (AB),  N \in (AC) astfel încât MN \parallel BC , și   P_{{\Delta MNP}}=50 cm  calculați lungimile segmentelor [AM], [AN] și [MN].

Rezolvare:

Această problemă se rezolvă cu teorema lui Thales.

Observăm că  P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38   este o sumă Gauss. Rezolvăm Suma Gauss pentru a afla perimetrul.

 P_{{ \Delta ABC}}=2+6+10+14+......+38 .

Observăm că putem da factor comun pe 2.

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot(1+3+5+7+......+19)

Calculăm numărul de termeni cu formula lui Gauss.

n=(19-1) : 2 +1

n=18 : 2 +1

n=9 +1

n=10 (termeni)

Calculăm Suma Gauss cu formula

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot (19+1) :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[10\cdot 20 :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot[200 :2]

 P_{{ \Delta ABC}}=2\cdot 100

 P_{{ \Delta ABC}}=200 cm .

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Din perimetru putem afla dimensiunea laturii BC.

 P_{{ \Delta ABC}}=AB +AC +BC

 200 cm = 52 cm + 72 cm +BC

 BC= 200 cm - 124 cm

 BC= 76 cm

Știm din datele problemei că  MN \parallel BC  deci putem aplica teorema lui Thales

 MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{{AB}}=\frac{AN}{{AC}}=\frac{MN}{{BC}}=k

\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=\frac{AN}{{72cm}}=\frac{MN}{{76cm}}=k

\Rightarrow \frac{AM}{{52 cm}}=k    \Rightarrow AM=52cm \cdot k

\Rightarrow \frac{AN}{{72cm}}=k    \Rightarrow AN= 72cm\cdot k

\Rightarrow \frac{MN}{{76cm}}=k \Rightarrow MN= 76cm\cdot k

 P_{{ \Delta MNP}}= MN +MP +NP

50 cm = 52cm \cdot k+ 72 cm \cdot k+76 cm \cdot k

50 cm = 200cm \cdot k

k = 200cm : 50 cm

k=\frac{1}{4}

\Rightarrow AM=52cm \cdot k=52cm \cdot \frac{1}{{4}}   \Rightarrow AM=13cm

\Rightarrow AN=72cm \cdot k=72cm \cdot \frac{1}{{4}}  \Rightarrow AN=18cm

\Rightarrow MN=76cm \cdot k=76cm \cdot \frac{1}{{4}}  \Rightarrow MN=19cm

Problema 2:

Un trapez ABCD, AB \parallel CD, AB \gt CD are AB = 26 cm și linia mijlocie MN = 18 cm, M \in (AD), N \in (BC).

a) Calculați lungimea bazei mici a trapezului.

b) Dacă P și Q sunt două puncte, P \in (AB), Q \in (DC) și PQ \cap MN= \left \{ R \right \}, arătați că R este mijlocul lui \left [ PQ \right ].

Rezolvare:

a) Știm că MN este linie mijlocie.

MN=\frac{AB+CD}{{2}}     \Rightarrow 2\cdot MN=AB+CD    \Rightarrow 2\cdot 18 cm=26 cm+CD  \Rightarrow 36cm -26 cm=CD   \Rightarrow CD = 10 cm

b)

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului pentru a afla la timp tot ce postez pe blog:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Teorema lui Thales

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Continuăm  să ne pregătim la Geometrie cu o nouă lecție la capitolul “Asemănarea triunghiurilor”. Azi discutăm despre Teorema lui Thales.

Legenda spune că Thales care a învățat matematică de la Egipteni și Babylonieni a măsurat înălţimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra lor în momentul în care umbra unui băţ vertical era egală cu lungimea lui vezi figura de mai jos. Procedeul este, fără îndoială, ingenios, dar nu e foarte sigură utilizarea lui de către Thales. Aici este evident implicat un caz particular al „teoremei lui Thales”; dar procedeul s-ar fi putut baza pe observaţia că dacă pentru un băţ (vertical) umbra lui este egală cu lungimea sa, această relaţie are loc pentru orice obiect (de exemplu o piramidă, un obelisc etc.).

Thales ar fi folosit cazul general al teoremei de asemănare „După ce ai aşezat toiagul perpendicular pe pământ, la capătul umbrei aruncate de piramidă, a arătat că prin căderea razei de lumină s-au format două triunghiuri; raportul existent între o umbră şi cealaltă era identic cu cel dintre înălţimea piramidei şi lungimea toiagului.

Theorema lui Thales:

O paralelă dusă la una dintre laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi sau prelungirile lor, segmente proporționale.

 

Reciproca Teoremei lui Thales:

Fie triunghiul ABC și punctele E \in AB, F \in AC , aflate în același semiplan determinat de paralela prin A la BC.

Dacă:\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}  \Rightarrow EF \parallel BC

  • OBSERVAȚIE:  Dacă \frac{AE}{AB}\neq \frac{AF}{AC}   \Rightarrow EF \not \parallel BC

Aplicații ale Teoremei lui Thales:

  • Teorema Paralelelor Neechidistante:

Mai multe drepte paralele determină pe două secante oarecare segmente proporționale.

 

 

Dacă:  d_{1}\parallel d_{2}\parallel d_{3}\parallel d_{4}\parallel.............  \Rightarrow \frac{A_{{1}}A_{{2}}}{{B_{{1}}B_{{1}}}}=\frac{A_{{2}}A_{{3}}}{{B_{{2}}B_{{3}}}}=\frac{A_{{3}}A_{{4}}}{{B_{{3}}B_{{4}}}}=..................

  • Teorema Bisectoarei:

Într-un triunghi bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă două segmente proporționale cu celelalte două laturi.

  •  Pentru unghiul exterior:

  • Împărțirea unui segment în părți proporționale cu numerele (segmentele) date:

Pentru a împărți un segment [AB] în părți proporționale cu numerele 2,3 și 5 procedăm astfel. Considerăm semidreapta [AX și pe ea, cu ajutorul compasului construim 10 segmente congruente (2+3+5=10)  astfel A_{{1}}A_{{2}}=2u, A_{{2}}A_{{5}}=3u, A_{{5}}A_{{10}}=5u. Unim A_{{10}} cu B și apoi ducem A_{{5}}N \parallel A_{{10}}B  și A_{{2}}M \parallel A_{{10}}B.  Cu ajutortul paralelelor echidistante obținem:

\frac{AM}{2}=\frac{MN}{3}=\frac{NB}{5}

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te invit alături de mine in Clubul de Matematică “Math More Easy” sau accesează link-ul de mai jos:http://mathmoreeasy.ro/probleme-rezolvate-cu-teorema-lui-thales/

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Raportul a două segmente

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei:  “Asemănarea triunghiurilor”. Este unul dintre cele mei importante capitole din geometria în plan și se bazează pe Teorema lui Thales.

Thales din Milet (624 – 546 î.Hr.), ar fi cunoscut teoremele privitoare la triunghiurile asemenea, cu ajutorul cărora a măsurat depărtarea unui vas de la țărmul mării. De asemenea, tot cu ajutorul lor  el ar fi măsurat înălțimea Marii Piramide a lui Keops.

(mai mult…)

Segmente proporționale:

Def: Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate cu aceeași unitate de măsură.

Definiție:  Patru segmente se numesc proporționale dacă se poate forma o proporție cu lungimile acestora.

Teorema paralelelor echidistante:

Dacă mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă decantă segmente congruente.

 

 

 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!