Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Categorie: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

01
mart.
2017

Probleme rezolvate Teorema lui Pitagora

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

„Cu putin talent şi o perseverenţă extraordinară toate lucrurile pot fi atinse.”

Thomas Foxwell Buxton

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. Astăzi te invit să exersăm câteva probleme de geometrie la Teorema lui Pitagora. Această teoremă este foarte importantă iar copilul tău trebuie să o înțeleagă foarte bine deoarece o vom utiliza foarte des în clasa a VIII-a la Geometria în spațiu.

(mai mult…)

Problema 1: În triunghiul MNP, unghiul M este de $90 ^{\circ}$ și înălțimea

$MQ \perp NP$ cu MQ = 12 cm, iar $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ . Calculați laturile: MN, NP, MP, NQ și QP.

Rezolvare:

Scriem datele problemei:

Facem desenul respectând datele problemei.

Demonstrație:

Pentru că avem $m(\widehat{MNP})=30^{\circ}$ aplicăm în $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ teorema unghiului de $30^{\circ}$ care îmi spune că lungimea catetei care se opune unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})=90^{\circ})$ : $m(\widehat{MNQ})=30^{\circ}$ $\Rightarrow$ $MQ=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{MQ}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{12 cm}{{1}}=\frac{MN}{{2}}$ $\Rightarrow$ $MN=12 cm \cdot 2$ $\Rightarrow$ $MN= 24 cm$

Observăm că putem aplica Teorema lui Pitagora în triunghiul $\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ pentru a afla latura NQ.

$\bigtriangleup MQN(m(\widehat{MQN})= 90^{\circ})$ $\Rightarrow$ (T.P) : $MN^{2}= NQ^{2}+MQ^{2}$ $\Rightarrow$

$24^{2}= NQ^{2}+12^{2}$ $\Rightarrow$ $576= NQ^{2}+144$ $\Rightarrow$

$NQ^{2}= 576 - 144$ $\Rightarrow$ $NQ^{2}= 432 cm^{2}$ $\Rightarrow$

$NQ= \sqrt{ 432 cm^{2}}$ $\Rightarrow$ $NQ=12 \sqrt{ 3} cm$

Am aflat MN și NQ atunci putem aplica în $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ Teorema Catetei pentru cateta MN și aflăm lungimea ipotenuzei BC.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.C.) $MN^{2} = NQ \cdot NP$ $\Rightarrow$ $(24cm)^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $576cm^{2} = 12 \sqrt{3}cm \cdot NP$ $\Rightarrow$ $NP = \frac{576cm^{2} }{{12 \sqrt{3}cm }}$ $\Rightarrow$ $QP = 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

Dacă am aflat NP putem afla și latura QP prin scădere.

$QP = NP-NQ$

$QP= 16 \sqrt{3}cm -12 \sqrt{3}cm$

$QP = 4 \sqrt{3}cm$

Dacă știm MN și NP putem aplica teorema lui Pitagora în triunghiul MNP $\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ pentru a afla latura MP.

$\bigtriangleup MNP( m(\widehat{NMP}))= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ (T.P) $NP^{{2}}= MP^{{2}}+MN^{{2}}$ $\Rightarrow$ $(16 \sqrt{3}cm )^{{2}}= MP^{{2}}+(24cm)^{{2}}$ $\Rightarrow$

$768 cm = MP ^{2} + 576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 768 cm-576 cm$ $\Rightarrow$

$MP ^{2} = 192 cm ^{2}$ $\Rightarrow$

$MP= \sqrt{192 cm^{2} }$ $\Rightarrow$ $MP =8\sqrt{3} cm$

Problema 2:

În triunghiul dreptunghic MNP cu unghiul $\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ , are înălțimea $MQ \perp NP$ , $Q \in (NP)$ , $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ , iar perimetrul triunghiului $P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$ . Aflați:

a) Dimensiunea laturilor: MN, MP și NP;

b) Lungimea înălțimii MQ;

Rezolvare:

Pornim de la raportul: $\frac{NQ}{QP} = \frac{9}{16}$ și scoatem dimensiunea laturii NQ în funcție de QP.

$16 \cdot NQ = 9\cdot QP \Rightarrow$ $NQ = \frac{9 \cdot QP}{{16}}$

Aflăm dimensiunea laturii NP în funcție de QP.

$NP = NQ + QP \Rightarrow$ $NP = \frac{9 \cdot QP}{{16}}+ _{}}^{16)}QP{} \Rightarrow$

$NP = \frac{9 \cdot QP+16 QP}{{16}}\Rightarrow$

$NP= \frac{25 \cdot QP}{{16}}$

Aplicăm în triunghiul dreptunghic MNP Teorema Catetei pentru catetele: MN și MP și determinăm lungimile acestora în functie de latura QP.

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MN^{{2}}= NQ \cdot NP \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{9 \cdot QP}{{16}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$

$MN^{{2}}= \frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} \Rightarrow$ $MN = \sqrt{\frac{225 \cdot QP^{{2}}}{{256}} }\Rightarrow$

$MN = \frac{15 \cdot QP}{{16}} }$

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.C)\Rightarrow$ $MP^{{2}}= QP \cdot NP \Rightarrow$

$MP^{{2}}= \frac{QP}{{1}} \cdot \frac{25 \cdot QP}{{16}} \Rightarrow$ $MP^{{2}}= \frac{25 QP^{{2}}} {{16}}\Rightarrow$

$MP^{{2}}= \sqrt{\frac{25\cdot QP^{{2}}} {{16}}} \Rightarrow$

$MP= \frac{5\cdot QP} {{4}}}$

După ce am obținut toate dimensiunile laturilor $\Delta MNP$ în funcție de latura QP le înlocuim în Perimetrul $\Delta MNP$ și îl aflăm de aici pe QP.

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = 120 cm$

$P_{{\bigtriangleup MNP}} = MN + MP + NP$ $\Rightarrow$

${}}^{16)}120 cm = \frac{15 \cdot QP}{{16}} } + {}}^{4)}\frac{{5\cdot QP}} {{ 4}}} + \frac{25 \cdot QP}{{16}}$ $\Rightarrow$

$1920 cm =15 QP + 20 QP +25 QP$ $\Rightarrow$

$60 QP = 1920 cm \Rightarrow$

$QP = 32 cm$

$NQ = \frac{9}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NQ = 18 cm$

$MN = \frac{15}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow MN = 30 cm$

$MP = \frac{5}{{4}} \cdot 32 cm \Rightarrow MP = 40 cm$

$NP = \frac{25}{{16}} \cdot 32 cm \Rightarrow NP = 50 cm$

b) Pentru rezolvarea punctului b) aplicăm Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic $\Delta MNP$ .

$\Delta MNP (m(\widehat{NMP})= 90^{\circ}) :$ $\Rightarrow(T.I)\Rightarrow$ $MQ^{{2}}= NQ \cdot QP \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= 18 cm \cdot 32 cm \Rightarrow$ $MQ^{{2}}= 576 cm^{{2}} \Rightarrow$

$MQ^{{2}}= \sqrt{576 cm^{{2}} } \Rightarrow$ $MQ= 24 cm$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

22
feb.
2017

Teorema Catetei

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu bine te-am regăsit.

Astăzi te invit să studiem împreună Teorema Catetei.

(mai mult…)

În articolul trecut am vorbit despre Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii. Am vorbit despre proiectia unui punct pe o dreaptă, despre proiectia unui segment pe o dreaptă și despre Teorema Înălțimii în triunghiul dreptunghic. Azi vreau să discutăm despre Teorema Catetei în triunghiul dreptunghic.

Teorema Catetei:

Într-un triunghi dreptunghic lungimea fiecărei catete este media geometrică a lungimii proiecției ei pe ipotenuză și a lungimii ipotenuzei.

Reciproca 1 a Teoremei Catetei:

Într-un triunghi ABC, dacă $AD \perp BC$ , $D \in (BC)$ și are loc una din egalitățile: $AB^{2}=BC \cdot BD$ sau $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$

Reciproca 2 a Teoremei Catetei:

În triunghiul ABC, dacă $D \in (BC)$ este un punct astfel încât $AB^{2}=BC \cdot BD$ și $AC^{2}=BC \cdot CD$ , atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

06
ian.
2017

Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii

categories: Relatii Metrice In Triunghiul Dreptunghic.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi deschid un capitol nou și foarte important al Geometriei în plan : " Relații Metrice în Triunghiul Dreptunghic". Acest capitol este foarte important în studiul Geometriei în Plan (geometria de clasa a VII-a), dar și în Geometria în Spațiu (geometria de clasa a VIII-a). Prima lecție din acest capitol "Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema Înălțimii."

(mai mult…)

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

Observație: Vom nota : $pr_{d}M=M^{{'}}$

Teoremă: Proiecția unui segment pe o dreaptă este un segment sau un punct.

Observație: Dacă proiecția segmentului [AB] pe dreapta d este segmentul $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ , atunci proiecția mijlocului segmentului [AB] pe dreapta d este mijlocul segmentului $\left [ A ^{'}B^{'} \right ]$ .

Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Observație: Lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este raportul dintre produsul lungimilor catetelor și lungimea ipotenuzei.

Reciproca Teoremei Înălțimii : Fie triunghiul ABC și $D \epsilon (BC)$ astfel încât $AD \perp BC$ și $AD^{{2}}=DC \cdot DB$ . Atunci $m(\widehat{BAC})=90 ^{\circ}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!