a VIII-a - Matematica Mai Usoara

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ este:……………………………

Rezolvare:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{6}-3\sqrt{6}$ $=-2\sqrt{6}$

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu $x^2+1$ raportul : $\frac{x^4-1}{{x^2+1}}$ se obține:.....................................

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: $x^4-1$ și se obține:

$\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=$ $\frac{x^2-1}{1}$ $=x^2-1$ .

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: $x-\sqrt{3}=0$ este: ........................................

Rezolvare:

$x-\sqrt{3}=0$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3}$ $\Rightarrow x=-\sqrt{3}$

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția $f : R \to R$ , $f (x)=x-3$ . Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: .........................

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm $f (3)$ (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

$f (3)=3-3=0$

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de $\sqrt{12}cm$ este: ........................

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

$d=l\sqrt{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow$ $l=2 cm$

Știm că volumul cubului are formula: $V= l^3$ ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

$V= l^3 \Rightarrow$ $V= (2cm)^3 \Rightarrow$ $V= 8cm^3$ .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: $E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ .

a) Determina'i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1, $(\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}$ .

Rezolvare:

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ $\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1$ $\Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}$

$\Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}$

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2$

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

$\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

Aducem la același numitor în paranteză.

$\Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$ $\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=1$

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția $f : R \to R ,$ $f(x)= -x+2$ .

a) Calculați media aritmetică a numerelor $a=f(0)$ și $b=f(2)$ .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

a) $f(0)=0+2=2$

$f(2)=-2+2=0$

$M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}= 1$

b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
$\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ $\Rightarrow -x+2=0$ $\Rightarrow -x=-2$ $\Rightarrow x=2$ $\Rightarrow A(2;0)$
$\cap OY:$ $x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2$ $\Rightarrow B(0;2)$

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura $AB=4\sqrt{6} cm$ și $VO=2\sqrt{6} cm$ , unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

a) Știm formula arie laterale: $A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ .

Pentru a calcula $A_{{l}}$ trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei $a_{{p}}=VM$ .

VABC este piramidă triunghiulară regulată $\Rightarrow \bigtriangleup ABC$ echilateral $\Rightarrow$ AM înălțimea $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm$

Știm că $OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM$ $\Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm$ $\Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm$ $\Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm$ .

Aplicăm Teorema lui Pitagora în $\bigtriangleup VOM$ pentru a afla apotema VM.

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ $\Rightarrow$ T.P $\Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2$ $\Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2$

$\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 32 cm^2$ $\Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}$ $\Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm$

$\Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm$

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca $\bigtriangleup ABC$ este echilateral $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l$ $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB$

$\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm$ $\Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm$ .

Înlocuim în aria laterală și obținem:

$A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2$

b) $d(O; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$ și $\left \{ O \right \} \in AM$ $\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

$OM=2\sqrt{2}cm$

c) $d(A; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

d) $m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )$ =?

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ : $sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}}$ $=\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)$ $\Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Matematica Mai Usoara

Categorie: a VIII-a

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II