În lecția „Mulțimi definite printr-o proprietate” pentru clasa a VIII-a vei învăța cum descriem o mulțime folosind proprietatea caracteristică a elementelor sale și cum determinăm elementele care verifică o condiție dată.

Vei înțelege notația mulțimilor, rolul mulțimii de referință și diferența dintre apartenență și incluziune. Exemplele explicate pas cu pas te vor ajuta să aplici corect aceste noțiuni în exerciții.

Mulțimi definite printr-o proprietate

Învață să descrii o mulțime prin proprietatea comună a elementelor sale și să determini corect elementele care verifică o condiție dată.

CLASA A VIII-A

În această lecție vei învăța:

ce înseamnă o mulțime definită printr-o proprietate;
cum citești și interpretezi scrierea A = {x ∈ M | P(x)};
cum determini elementele unei mulțimi pornind de la proprietatea dată;
cum verifici dacă un anumit număr aparține unei astfel de mulțimi;
de ce trebuie să ții cont întotdeauna de mulțimea din care este ales x.

1. Cum poate fi definită o mulțime?

O mulțime poate fi descrisă prin enumerarea elementelor sale, dar și prin precizarea unei proprietăți comune pe care o au toate elementele mulțimii.

Prin enumerare

A = {0, 1, 2, 3, 4}

Sunt scrise explicit toate elementele mulțimii.

Printr-o proprietate

A = {x ∈ ℕ | x < 5}

Sunt precizate numerele naturale care au proprietatea x < 5.

Observă: cele două scrieri definesc aceeași mulțime:

{0, 1, 2, 3, 4} = {x ∈ ℕ | x < 5}.

2. Mulțimi definite printr-o proprietate

Putem defini o mulțime precizând proprietatea caracteristică a elementelor sale: proprietatea este îndeplinită de toate elementele mulțimii și nu este îndeplinită de elementele care nu aparțin acesteia.

Forma generală este:

A = {x ∈ M | P(x)}

x ∈ M

arată din ce mulțime poate fi ales x.

P(x)

reprezintă proprietatea pe care trebuie să o verifice x.

Cum citim?
A = {x ∈ M | P(x)} se citește: „A este mulțimea elementelor x din M astfel încât x verifică proprietatea P.”

3. Cum determinăm elementele mulțimii?

Să determinăm elementele mulțimii:

A = {x ∈ ℕ | 2x + 1 < 10}.

Rezolvăm condiția:

2x + 1 < 10 ⇔ 2x < 9 ⇔ x < 9 2 .

Dar știm și că x ∈ ℕ.

Numerele naturale care verifică x < 4,5 sunt:

A = {0, 1, 2, 3, 4}.

Important: nu este suficient să rezolvăm condiția. Trebuie să ținem cont și de mulțimea din care poate fi ales x.

4. Metodă de rezolvare

Când întâlnești o mulțime definită printr-o proprietate, poți lucra în patru pași.

Identifică mulțimea de referință.
Verifică dacă x ∈ ℕ, x ∈ ℤ, x ∈ ℚ sau x ∈ ℝ.

Identifică proprietatea.
Observă condiția pe care trebuie să o verifice x.

Rezolvă condiția.
Determină valorile lui x care satisfac proprietatea.

Selectează valorile admise.
Păstrează numai valorile care aparțin mulțimii de referință.

5. Mulțimea de referință este importantă

Atunci când determinăm elementele unei mulțimi, condiția asupra lui x trebuie analizată împreună cu mulțimea din care este ales x.

Numere naturale

A = {x ∈ ℕ | x ≤ 4}

A = {0, 1, 2, 3, 4}

Numere întregi

B = {x ∈ ℤ | −2 ≤ x ≤ 4}

B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}

Atenție: după rezolvarea unei ecuații sau inegalități nu păstrăm automat toate soluțiile. Păstrăm numai valorile care aparțin mulțimii precizate în definiție.

6. Proprietatea poate conține o inegalitate

Să determinăm:

B = {x ∈ ℤ | −3 < x ≤ 2}.

Căutăm numerele întregi mai mari decât −3 și mai mici sau egale cu 2.

B = {−2, −1, 0, 1, 2}.

Atenție la semne:
dacă x < 2, numărul 2 nu este admis;
dacă x ≤ 2, numărul 2 este admis.

7. Proprietatea poate conține valoarea absolută

Considerăm mulțimea:

C = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 3}.

Condiția |x| ≤ 3 înseamnă că distanța de la x la zero este cel mult 3.

−3 ≤ x ≤ 3.

Deoarece x ∈ ℤ, rezultă:

C = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}.

Legătura cu lecția anterioară: valoarea absolută reprezintă distanța față de zero. De aceea, condițiile care conțin modul pot fi interpretate și geometric pe axa numerelor.

8. Cum verificăm dacă un număr aparține mulțimii?

Fie:

D = {x ∈ ℤ | |x| < 5}.

Verificăm dacă −4 ∈ D.

Mai întâi:

−4 ∈ ℤ.

Apoi verificăm proprietatea:

|−4| = 4 < 5.

Ambele condiții sunt îndeplinite, deci:

−4 ∈ D.

Regulă: pentru ca un număr să aparțină unei mulțimi definite printr-o proprietate, el trebuie să aparțină mulțimii de referință și să verifice proprietatea dată.

9. Proprietăți care cer ca o expresie să fie număr întreg

Putem întâlni și mulțimi de forma:

E = { x ∈ ℤ | 6 x + 1 ∈ ℤ }.

Pentru ca fracția să fie număr întreg, numitorul x + 1 trebuie să fie un divizor nenul al lui 6.

x + 1 ∈ {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6}.

Scădem 1 din fiecare valoare:

E = {−7, −4, −3, −2, 0, 1, 2, 5}.

Atenție: numitorul unei fracții nu poate fi zero. De aceea, x = −1 nu este admis.

10. Nu confundăm ∈ cu ⊆

Apartenența

2 ∈ {1, 2, 3}

Numărul 2 este element al mulțimii.

Incluziunea

{1, 2} ⊆ {1, 2, 3}

Mulțimea {1, 2} este submulțime.

Reține:
∈ se folosește între un element și o mulțime.
⊆ se folosește între două mulțimi.

De reținut

O mulțime poate fi descrisă prin enumerarea elementelor sau prin proprietatea caracteristică a acestora.
A = {x ∈ M | P(x)} reprezintă mulțimea elementelor x din M care verifică proprietatea P(x).
Simbolul | din această scriere se citește „astfel încât”.
La determinarea elementelor trebuie să ținem cont atât de proprietate, cât și de mulțimea de referință.
Pentru a verifica a ∈ A, verificăm toate condițiile din definiția mulțimii.
∈ exprimă apartenența unui element la o mulțime, iar ⊆ exprimă incluziunea dintre două mulțimi.

Verifică dacă ai înțeles

1. Scrie prin enumerarea elementelor: A = {x ∈ ℕ | x ≤ 5}.

2. Determină elementele mulțimii: B = {x ∈ ℤ | −4 < x < 3}.

3. Determină: C = {x ∈ ℤ | |x| ≤ 2}.

4. Stabilește dacă −3 ∈ D, unde D = {x ∈ ℤ | |x| < 4}.

5. Scrie printr-o proprietate mulțimea: E = {1, 2, 3, 4, 5}.

6. Explică diferența dintre simbolurile ∈ și ⊆.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VIII-a Exerciții – Mulțimi definite printr-o proprietate