În lecția „Valoarea absolută. Aproximarea numerelor reale” pentru clasa a VIII-a vei învăța ce reprezintă valoarea absolută a unui număr real și cum se interpretează aceasta ca distanță față de zero pe axa numerelor.

Vei descoperi proprietățile modulului și metodele de aproximare prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire. Explicațiile clare și exemplele rezolvate pas cu pas te vor ajuta să aproximezi corect numere raționale și iraționale și să aplici noțiunile în exerciții.

Valoarea absolută și aproximarea numerelor reale, lecție pentru clasa a VIII-a

Valoarea absolută. Aproximarea numerelor reale

Învață să calculezi modulul unui număr real și să aproximezi numere prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire.

CLASA A VIII-A

În această lecție vei învăța:

ce înseamnă valoarea absolută ca distanță față de zero;
cum elimini barele modulului după ce stabilești semnul expresiei;
cum aproximezi un număr real prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire;
cum alegi corect aproximarea pentru un număr negativ.

1. Ce este valoarea absolută?

Valoarea absolută sau modulul numărului real x este distanța de la punctul care reprezintă x până la originea O a axei numerelor reale. Se notează |x|.

|5| = 5 · |−5| = 5 · |0| = 0

Legătura cu lecția despre axă: cele două puncte, −5 și 5, sunt simetrice față de origine și au aceeași valoare absolută. Aici folosim această idee pentru a calcula modulul unor numere și expresii.

2. Regula de calcul

Modulul unui număr pozitiv este numărul însuși, modulul lui zero este zero, iar modulul unui număr negativ este opusul său.

Dacă x ≥ 0:
|x| = x.
Exemplu: |7| = 7 și |0| = 0.

Dacă x < 0:
|x| = −x.
Exemplu: |−7| = −(−7) = 7.

|x| = x, dacă x ≥ 0; |x| = −x, dacă x < 0.

De reținut: valoarea absolută este întotdeauna un număr mai mare sau egal cu zero: |x| ≥ 0.

3. Cum calculezi modulul unei expresii?

Mai întâi calculezi sau stabilești semnul expresiei dintre bare. Apoi aplici regula de la secțiunea precedentă.

Expresie negativă
|3 − 8| = |−5| = 5.

Expresie pozitivă
|8 − 3| = |5| = 5.

Exemplu cu radical: deoarece 1 < < 2, avem 1 − < 0. Așadar:

|1 − | = −(1 − ) = − 1.

Încă un exemplu: deoarece < 3, avem 3 − > 0, deci |3 − | = 3 − .

Metodă în trei pași: 1. Identifică expresia dintre bare. 2. Stabilește dacă este pozitivă, zero sau negativă. 3. Păstreaz-o sau schimbă semnul întregii expresii.

4. Proprietăți utile

Numere opuse:
|x| = |−x|.
De exemplu, |−4| = |4| = 4.

Produs:
|x · y| = |x| · |y|.
De exemplu, |−2 · 3| = 2 · 3 = 6.

Pentru orice numere reale x și y, avem și |x + y| ≤ |x| + |y|. Aceasta se numește inegalitatea triunghiulară.

|−4 + 7| = 3 ≤ |−4| + |7| = 11

Atenție: în general, |x + y| nu este egal cu |x| + |y|. Exemplul de mai sus arată că 3 ≠ 11.

5. Distanța dintre două numere pe axă

Dacă punctele A și B au abscisele a și b, distanța dintre ele este AB = |b − a|. Ordinea scăderii nu schimbă rezultatul, fiindcă |b − a| = |a − b|.

A(−3), B(2) ⇒ AB = |2 − (−3)| = |5| = 5.

Formula explică și de ce |x| este distanța dintre x și 0: |x − 0| = |x|.

6. Ce înseamnă aproximarea unui număr real?

O aproximare este o valoare apropiată de numărul inițial, exprimată cu precizia cerută: la unități, zecimi, sutimi, miimi și așa mai departe.

De exemplu, pentru 6,641234, aproximările la sutimi sunt 6,64 prin lipsă și 6,65 prin adaos:

6,64 < 6,641234 < 6,65

Atenție: scriem „≈” când prezentăm o valoare aproximativă. Semnul „=” ar însemna că cele două valori sunt exact egale.

7. Aproximarea prin lipsă și prin adaos

Prin lipsă alegem cea mai mare valoare la precizia cerută care nu depășește numărul. Prin adaos alegem cea mai mică valoare la acea precizie care nu este mai mică decât numărul.

Pentru x = 6,641234, obținem:

Precizia	Prin lipsă	Prin adaos
La unități	6	7
La zecimi	6,6	6,7
La sutimi	6,64	6,65
La miimi	6,641	6,642

Pentru un număr negativ, ordinea de pe axă este esențială. La sutimi, −2,37 < −2,364 < −2,36. Prin urmare, aproximarea lui −2,364 prin lipsă este −2,37, iar prin adaos este −2,36.

Nu confunda: prin lipsă înseamnă mai mic pe axă, nu „mai puține cifre” și nici „modul mai mic”. Dacă numărul are deja exact precizia cerută, de exemplu 6,64 la sutimi, aproximările prin lipsă și prin adaos sunt ambele 6,64.

8. Aproximarea prin rotunjire

La rotunjire alegem valoarea apropiată la precizia cerută. Privim prima cifră care urmează după poziția la care rotunjim: dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4, cifra păstrată rămâne neschimbată; dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, o mărim cu o unitate. Dacă este necesar, efectuăm trecerea la ordinul următor.

Pentru y = 13,614972, obținem:

Precizia	Cifra următoare	Rotunjire
La unități	6	14
La zecimi	1	13,6
La sutimi	4	13,61
La miimi	9	13,615

13,614972 ≈ 13,615, la miimi.

Exemplu cu trecere: 7,998 rotunjit la sutimi este 8,00, deoarece cifra miimilor este 8, iar 7,99 crește cu o sutime.

Exemplu negativ fără egalitate la jumătate: −2,364 este mai aproape de −2,36 decât de −2,37, deci la sutimi se rotunjește la −2,36.

Deosebirea: prin lipsă și prin adaos comparăm cu vecinii la precizia cerută; prin rotunjire alegem valoarea mai apropiată. Pentru cazurile exact la mijloc, folosim regula școlară prezentată mai sus, cu cifra 5 rotunjită în sus pentru numere pozitive.

9. Greșeli frecvente

Greșeala 1: |−6| = −6. Corect: |−6| = 6, deoarece distanța nu poate fi negativă.

Greșeala 2: se schimbă doar semnul primului termen. Corect: |2 − 7| = −(2 − 7) = −2 + 7 = 5.

Greșeala 3: |a + b| = |a| + |b| pentru orice a și b. Contraexemplu: |−2 + 2| = 0, dar |−2| + |2| = 4.

Greșeala 4: aproximăm −2,364 prin lipsă la sutimi cu −2,36. Corect: −2,37, pentru că −2,37 este mai mic decât −2,364.

Greșeala 5: confundăm aproximarea cu rotunjirea. Exemplu: 6,641234 prin lipsă la zecimi este 6,6, dar 6,68 rotunjit la zecimi este 6,7.

De reținut

|x| este distanța dintre x și 0 pe axa numerelor reale.
Dacă x ≥ 0, atunci |x| = x; dacă x < 0, atunci |x| = −x.
|x| ≥ 0 și |x| = |−x|.
Distanța dintre două numere a și b este |b − a|.
Înainte să elimini barele, stabilește semnul expresiei din interior.
Aproximarea prin lipsă este mai mică sau egală cu numărul; aproximarea prin adaos este mai mare sau egală cu el.
La rotunjire verificăm cifra imediat următoare poziției cerute.

Verifică dacă ai înțeles

Calculează |−9|, |4 − 11|, | − 2| și distanța dintre −2 și 6. Apoi aproximează 8,476 prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire la sutimi.

Răspunsuri: 9; 7; 2 − , deoarece < 2; respectiv |6 − (−2)| = 8. Pentru 8,476: prin lipsă 8,47; prin adaos 8,48; prin rotunjire 8,48.

Continuă să înveți cu Math More Easy

Salvează teoria și exersează valoarea absolută și aproximările.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VIII-a Exerciții – Valoarea absolută și aproximarea numerelor reale