În lecția „Reprezentarea pe axă. Ordonarea numerelor reale”, pentru clasa a VIII-a, vei învăța pas cu pas reprezentarea pe axă și ordonarea numerelor reale. Vei descoperi cum se poziționează, se compară și se ordonează corect numerele întregi, fracțiile, numerele zecimale și numerele iraționale scrise cu radicali.

Vei descoperi cum poți aproxima valoarea unui radical pentru a-i identifica poziția pe axa numerelor reale și cum stabilești care dintre două numere este mai mic sau mai mare. De asemenea, vei învăța să ordonezi numerele reale crescător sau descrescător, folosind reprezentarea lor pe axă și regulile de comparare.

Reprezentarea pe axă și ordonarea numerelor reale, clasa a VIII-a

Reprezentarea pe axă. Ordonarea numerelor reale. Valoarea absolută. Aproximarea numerelor reale

Învață să reprezinți, să compari, să ordonezi și să aproximezi corect numerele reale

CLASA A VIII-A

În această lecție vei învăța:

care sunt elementele axei numerelor reale;
cum se reprezintă numere naturale, întregi, raționale și iraționale pe axă;
cum se compară două numere reale;
cum se ordonează numerele reale crescător sau descrescător;
ce reprezintă modulul sau valoarea absolută a unui număr real;
cum se determină partea întreagă și partea fracționară;
cum se aproximează un număr real prin lipsă, prin adaos și prin rotunjire;
cum se determină minimul și maximul dintre două numere reale.

Teorie explicată pas cu pas

Urmărește explicația lecției și exemplele prezentate pas cu pas.

1. Axa numerelor reale

Definiție: Axa numerelor reale este o dreaptă pe care alegem un punct numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură.

Originea se notează cu O și corespunde numărului 0. De obicei, sensul pozitiv este orientat spre dreapta.

−4

−3

−2

−1

Originea O, unitatea de măsură și sensul pozitiv spre dreapta.

Fiecărui punct de pe axă îi corespunde un unic număr real, numit abscisa punctului. Reciproc, fiecărui număr real îi corespunde un unic punct pe axă, numit imaginea numărului.

Dacă punctului A îi corespunde numărul real x, scriem A(x) și spunem că punctul A are abscisa x.

2. Reprezentarea numerelor reale pe axă

Pentru a reprezenta un număr real, identificăm punctul situat la distanța corespunzătoare față de origine, în direcția indicată de semnul numărului.

Numere pozitive

Se reprezintă în dreapta originii.

2,5 > 0

Numere negative

Se reprezintă în stânga originii.

−3 < 0

Exemplul 1. Reprezentăm numerele −3; 1; 2,5.

−4

−3

−2

−1

A(−3)

B(1)

C(2,5)

Punctul pentru 2,5 se află la mijlocul segmentului dintre 2 și 3.

Exemplul 2. Reprezentăm fracția 32.

Calculăm: 32 = 1,5.
Numărul 1,5 este situat între 1 și 2.
Împărțim unitatea dintre 1 și 2 în două părți egale și marcăm mijlocul.

0,5

1,5

2,5

A(1,5)

Exemplul 3. Localizăm numărul √5.

Încadrăm 5 între două pătrate perfecte consecutive: 4 < 5 < 9.
Rezultă 2 < √5 < 3.
Deoarece √5 ≈ 2,236, imaginea sa se află între 2 și 3, mai aproape de 2.

A(√5)

3. Compararea numerelor reale

Dintre două numere reale diferite, este mai mare numărul reprezentat mai la dreapta pe axă și mai mic numărul reprezentat mai la stânga.

−3<−1<0<1,5<2

Important: dintre două numere negative, este mai mare numărul aflat mai aproape de zero. De exemplu, −2 > −7.

Situație	Regulă	Exemplu
Semne diferite	Numărul pozitiv este mai mare.	4 > −9
Două numere negative	Este mai mare cel mai apropiat de zero.	−1,8 > −2,1
Fracții pozitive	Le aducem la același numitor sau folosim produsele în cruce.	34 > 23
Radicali pozitivi	Comparăm radicanzii.	√7 < √10
Forme diferite	Le transformăm într-o formă comparabilă sau le încadrăm.	√5 > 2

4. Exemple de comparare

Exemplul 1. Compară −5 și −2.

Pe axă, −2 este situat la dreapta lui −5. Prin urmare, −5 < −2.

Exemplul 2. Compară 34 și 23.

Aducem fracțiile la numitorul comun 12:

34 = 912 și 23 = 812

Deoarece 9 > 8, rezultă 34 > 23.

Exemplul 3. Compară √11 și 3.

Ambele numere sunt nenegative. Comparăm pătratele lor: 11 > 9 = 3². Așadar, √11 > 3.

Exemplul 4. Compară −√10 și −3.

Deoarece √10 > 3, prin schimbarea semnelor se inversează sensul inegalității:

−√10 < −3

5. Ordonarea numerelor reale

Ordine crescătoare

Scriem numerele de la cel mai mic la cel mai mare.

a < b < c

Ordine descrescătoare

Scriem numerele de la cel mai mare la cel mai mic.

c > b > a

Exemplu. Ordonează crescător numerele −2, √5, 0, 32 și 3.

32 = 1,5.
√5 ≈ 2,236, deci 2 < √5 < 3.
Ordinea crescătoare:

−2<0<32<√5<3

6. Modulul sau valoarea absolută

Definiție: Modulul sau valoarea absolută a numărului real x, notat |x|, reprezintă distanța de la punctul cu abscisa x la originea axei.

|x| = xdacă x > 0 0dacă x = 0 −xdacă x < 0

Exemple

|7| = 7

|−7| = 7

|0| = 0

Interpretare

Punctele cu abscisele 7 și −7 se află la aceeași distanță, 7 unități, față de origine.

Proprietăți importante:

|x| ≥ 0, pentru orice x ∈ ℝ;
|x| = |−x|;
|x| = 0 dacă și numai dacă x = 0;
|x + y| ≤ |x| + |y|, pentru orice x, y ∈ ℝ.

Exemplu. Calculează |−5| + |3 − 10|.

|−5| = 5.
|3 − 10| = |−7| = 7.
|−5| + |3 − 10| = 5 + 7 = 12.

7. Partea întreagă și partea fracționară

Partea întreagă a numărului real x, notată [x], este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x.

[x] ≤ x < [x] + 1

Număr pozitiv

[4,7] = 4

Cel mai mare întreg mai mic sau egal cu 4,7 este 4.

Număr negativ

[−4,1] = −5

Atenție: −5 este cel mai mare întreg mai mic sau egal cu −4,1.

Partea fracționară a numărului real x, notată {x}, este numărul {x} = x − [x].

0 ≤ {x} < 1

Exemplul 1

{4,7} = 4,7 − 4 = 0,7

Exemplul 2

{−4,1} = −4,1 − (−5) = 0,9

Observație: partea fracționară este întotdeauna un număr din intervalul [0, 1), inclusiv pentru numerele negative.

8. Aproximarea numerelor reale

Un număr real poate fi înlocuit, cu o precizie stabilită, printr-un număr apropiat de el. Cele mai folosite procedee sunt aproximarea prin lipsă, aproximarea prin adaos și rotunjirea.

Aproximarea prin lipsă și prin adaos

Prin lipsă

Păstrăm cifrele până la ordinul cerut și eliminăm cifrele următoare.

Prin adaos

Mărim cu o unitate ultima cifră păstrată după aproximarea prin lipsă.

Pentru x = 6,641234 obținem:

Ordinul aproximării	Prin lipsă	Prin adaos
la unități	6	7
la zecimi	6,6	6,7
la sutimi	6,64	6,65
la miimi	6,641	6,642

Rotunjirea

La rotunjire privim cifra situată imediat după ordinul la care rotunjim:

dacă este 0, 1, 2, 3 sau 4, ultima cifră păstrată rămâne neschimbată;
dacă este 5, 6, 7, 8 sau 9, ultima cifră păstrată se mărește cu o unitate.

Pentru x = 13,614972 obținem:

Rotunjire	Cifra analizată	Rezultat
la unități	6	14
la zecimi	1	13,6
la sutimi	4	13,61
la miimi	9	13,615

Notație: folosim semnul ≈ pentru o egalitate aproximativă. De exemplu, 13,614972 ≈ 13,615, prin rotunjire la miimi.

9. Minimul și maximul dintre două numere reale

Pentru două numere reale x și y:

Minimul

min(x, y) este numărul mai mic dintre x și y.

min(−4, 3) = −4

Maximul

max(x, y) este numărul mai mare dintre x și y.

max(−4, 3) = 3

Dacă x ≤ y, atunci min(x, y) = x și max(x, y) = y.

10. Greșeli frecvente

Greșeala 1: considerăm că numărul cu valoare numerică mai mare este întotdeauna mai mare.
De exemplu, −8 < −3, deoarece −8 se află mai la stânga pe axă.

Greșeala 2: așezăm numerele negative în partea dreaptă a originii.
Numerele negative sunt reprezentate în stânga lui 0, iar cele pozitive în dreapta lui 0.

Greșeala 3: comparăm direct un radical cu un număr fără a verifica semnele.
Ridicarea la pătrat păstrează ordinea numai pentru numere nenegative. Mai întâi verificăm semnele numerelor comparate.

Greșeala 4: folosim o aproximare prea grosieră.
Pentru a ordona numere apropiate, avem nevoie de suficiente zecimale sau de o comparație exactă.

Greșeala 5: considerăm că modulul unui număr negativ este negativ.
Valoarea absolută este o distanță, deci nu poate fi negativă: |−6| = 6.

Greșeala 6: confundăm partea întreagă a unui număr negativ cu eliminarea zecimalelor.
Este greșit să scriem [−4,1] = −4. Corect este [−4,1] = −5.

Greșeala 7: aproximăm prin adaos la fel ca prin rotunjire.
Prin adaos mărim întotdeauna ultima cifră păstrată cu o unitate. La rotunjire, decizia depinde de cifra următoare.

De reținut

Pe axa numerelor reale stabilim originea, sensul pozitiv și unitatea de măsură.
Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axă și fiecărui punct îi corespunde un singur număr real.
Numărul aflat mai la dreapta este mai mare.
Dintre două numere negative, este mai mare cel aflat mai aproape de zero.
Pentru radicali nenegativi, dacă a < b, atunci √a < √b.
Ordinea crescătoare este de la cel mai mic la cel mai mare, iar ordinea descrescătoare este invers.
|x| reprezintă distanța de la imaginea lui x la origine și este întotdeauna nenegativ.
Partea întreagă verifică relația [x] ≤ x < [x] + 1, iar partea fracționară este {x} = x − [x].
La aproximarea prin lipsă eliminăm cifrele următoare, iar la aproximarea prin adaos mărim ultima cifră păstrată cu o unitate.
La rotunjire, cifrele 0–4 păstrează ultima cifră, iar cifrele 5–9 o măresc cu o unitate.

Matematica devine mai ușoară când înțelegi logica

Descarcă lecția sau continuă să înveți cu Math More Easy.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VIII-a Exerciții - Reprezentarea pe axă și ordonarea numerelor reale