Piramida regulată este unul dintre corpurile geometrice studiate în clasa a VIII-a și o noțiune importantă pentru Evaluarea Națională. În această lecție vei învăța ce este piramida, care sunt elementele și proprietățile sale și cum recunoști o piramidă regulată.
Vei descoperi tetraedrul, înălțimea și apotema piramidei, aria laterală, aria totală și volumul. Prin desene, formule, exemple rezolvate și exerciții vei învăța să identifici corect elementele unei piramide și să aplici formulele în probleme de geometrie.
Piramida. Piramida regulată. Tetraedrul
Elemente, înălțime, apotemă și proprietăți
CLASA A VIII-A
În această lecție vei învăța:
ce este piramida, care sunt elementele sale,
cum recunoști o piramidă regulată și care este
diferența dintre înălțimea piramidei și apotema ei.
Vei descoperi și proprietățile tetraedrului regulat, numărul de fețe, muchii și vârfuri ale unei piramide și modul în care aceasta poate fi desfășurată într-un plan.
1. Piramida. Elemente
Considerăm piramida VABCD, având baza patrulaterul ABCD.
- V este vârful piramidei;
- ABCD este baza piramidei;
- VA, VB, VC, VD sunt muchiile laterale;
- AB, BC, CD, DA sunt muchiile bazei;
- VAB, VBC, VCD, VDA sunt fețele laterale.
2. Denumirea piramidelor
Piramidele se denumesc în funcție de numărul laturilor poligonului care formează baza.
Piramidă triunghiulară
Baza este un triunghi.
Piramidă patrulateră
Baza este un patrulater.
Piramidă pentagonală
Baza este un pentagon.
3. Înălțimea piramidei
În figura alăturată, punctul O este proiecția vârfului V pe planul bazei.
4. Piramida regulată
Proprietățile piramidei regulate
- baza este un poligon regulat;
- piciorul înălțimii este centrul bazei;
- muchiile laterale sunt congruente;
- fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
5. Apotema piramidei regulate
Considerăm fața laterală VBC. Dacă M este mijlocul laturii BC, atunci VM este apotema piramidei.
Deoarece triunghiul VBC este isoscel, segmentul VM este și mediană în triunghiul VBC.
6. Tetraedrul regulat
Tetraedrul regulat are:
- 4 vârfuri;
- 6 muchii;
- 4 fețe;
- toate fețele sunt triunghiuri echilaterale congruente.
7. Numărul elementelor unei piramide
Considerăm o piramidă a cărei bază este un poligon cu n laturi.
Vârfuri
n vârfuri ale bazei și vârful piramidei.
Muchii
n muchii ale bazei și n muchii laterale.
Fețe
n fețe laterale și baza.
Relația lui Euler
Pentru orice poliedru convex este valabilă relația:
unde V reprezintă numărul vârfurilor, M numărul muchiilor, iar F numărul fețelor.
O piramidă pentagonală are baza cu n = 5 laturi.
Numărul vârfurilor: 5 + 1 = 6.
Numărul muchiilor: 2 · 5 = 10.
Numărul fețelor: 5 + 1 = 6.
Verificăm relația lui Euler:
8. Desfășurarea unei piramide
Prin așezarea în același plan a bazei și a fețelor laterale obținem o desfășurare a piramidei.
În cazul unei piramide patrulatere regulate, desfășurarea este formată dintr-un pătrat și patru triunghiuri isoscele congruente.
9. Exemple rezolvate
Piramida VABCDE are baza pentagonul ABCDE. Câte fețe laterale și câte muchii laterale are?
Pentagonul are 5 laturi.
Prin urmare, piramida are 5 fețe laterale și 5 muchii laterale.
O piramidă are 7 fețe laterale. Determină numărul total de fețe și numărul total de muchii.
Baza are 7 laturi.
Număr de muchii: 2 · 7 = 14
Un tetraedru regulat are muchia de 7 cm. Calculează suma lungimilor tuturor muchiilor sale.
Tetraedrul regulat are 6 muchii egale.
Răspuns: 42 cm.
10. Greșeli frecvente
Înălțimea piramidei nu este muchia laterală
Înălțimea este perpendiculară pe planul bazei. Muchia laterală unește vârful piramidei cu un vârf al bazei.
Apotema nu este înălțimea piramidei
Apotema este situată pe o față laterală, iar înălțimea piramidei este perpendiculară pe planul bazei.
O bază regulată nu este suficientă
Pentru ca piramida să fie regulată, proiecția vârfului pe planul bazei trebuie să fie centrul poligonului regulat.
Un tetraedru nu este automat regulat
Un tetraedru este regulat numai atunci când toate cele șase muchii sunt egale.
De reținut
n + 1 vârfuri • 2n muchii • n + 1 fețe