Mulțimi de numere reale este lecția în care vei învăța cum sunt organizate numerele în mulțimile ℕ, ℤ, ℚ și ℝ, ce sunt numerele raționale și iraționale, cum recunoști diferitele reprezentări zecimale și care este diferența dintre apartenența la o mulțime și incluziunea mulțimilor.

Vei învăța să lucrezi cu numere întregi, raționale, iraționale și reale, să recunoști fracțiile zecimale finite și periodiceși să înțelegi relația dintre mulțimile: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

La final, vei putea face corect diferența dintre apartenență (∈) și incluziune (⊂) și vei putea clasifica diferite numere în mulțimea potrivită.

Mulțimi de numere reale

Numere naturale, întregi, raționale și iraționale

CLASA a VIII-a

În această lecție vei învăța:
cum sunt organizate numerele în mulțimile ℕ, ℤ, ℚ și ℝ, ce sunt numerele raționale și iraționale, cum recunoști diferitele reprezentări zecimale și care este diferența dintre apartenența la o mulțime și incluziunea mulțimilor.

Teorie explicată pas cu pas

Urmărește explicația lecției și exemplele prezentate pas cu pas.

1. Mulțimea numerelor naturale ℕ

Numerele pe care le folosim pentru a număra obiecte formează mulțimea numerelor naturale, notată cu ℕ.

ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Numărul 0 și toate numerele naturale pozitive aparțin mulțimii ℕ.

Exemple:

0 ∈ ℕ
7 ∈ ℕ
125 ∈ ℕ

Nu sunt numere naturale:

−4 ∉ ℕ
2,5 ∉ ℕ
−17 ∉ ℕ

Mulțimea numerelor naturale nenule se notează cu ℕ* și se obține eliminând numărul 0 din ℕ.

ℕ* = ℕ \ {0} = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Observație: suma și produsul a două numere naturale sunt întotdeauna numere naturale.

Atenție! Diferența a două numere naturale nu este întotdeauna număr natural. De exemplu, 3 − 7 = −4, iar −4 ∉ ℕ.

2. Mulțimea numerelor întregi ℤ

Numerele întregi cuprind numerele naturale, numerele întregi negative și numărul 0.

ℤ = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... }

Mulțimea numerelor întregi nenule se notează ℤ*.

ℤ* = ℤ \ {0}

Orice număr natural este și număr întreg. De aceea:

ℕ ⊂ ℤ

5 ∈ ℕ
5 ∈ ℤ

−7 ∈ ℤ
−7 ∉ ℕ

Observație: suma, diferența și produsul a două numere întregi sunt tot numere întregi.

3. Mulțimea numerelor raționale ℚ

Definiție:Un număr este rațional dacă poate fi scris sub forma unei fracții al cărei numărător și numitor sunt numere întregi, iar numitorul este diferit de 0.

x = a b unde a ∈ ℤ, b ∈ ℤ, b ≠ 0

Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu ℚ.

Orice număr întreg poate fi scris sub forma unei fracții. De exemplu:

−4 = −4 1

Prin urmare:

ℤ ⊂ ℚ

Mulțimea numerelor raționale nenule se notează:

ℚ* = ℚ \ {0}

4. Fracții echivalente și fracții ireductibile

Același număr rațional poate avea mai multe reprezentări sub formă de fracție.

1 2 = 2 4 = 3 6

Aceste fracții sunt echivalente, deoarece reprezintă același număr rațional.

Amplificarea unei fracții

Înmulțim numărătorul și numitorul cu același număr întreg nenul.

2 3 = 2 · 4 3 · 4 = 8 12

Simplificarea unei fracții

Împărțim numărătorul și numitorul la același divizor comun diferit de 1.

18 24 = 3 4

O fracție este ireductibilă dacă numărătorul și numitorul său sunt prime între ele.

5. Scrierea zecimală a numerelor raționale

Un număr rațional poate fi reprezentat și sub formă zecimală. În funcție de fracția ireductibilă din care provine, putem obține trei situații.

a) Fracție zecimală finită

Dacă numitorul fracției ireductibile conține numai factorii primi 2 și/sau 5, scrierea zecimală este finită.

3 8 = 0,375

b) Fracție zecimală periodică simplă

Dacă numitorul fracției ireductibile nu este divizibil nici cu 2, nici cu 5, obținem o fracție zecimală periodică simplă.

1 3 = 0,(3)

Cifra 3 se repetă la nesfârșit și formează perioada.

c) Fracție zecimală periodică mixtă

Dacă numitorul fracției ireductibile conține factorul 2 și/sau 5, dar și alți factori primi, scrierea este periodică mixtă.

7 30 = 0,2(3)

În scrierea 0,2(3), cifra 2 se află înaintea perioadei, iar cifra 3 reprezintă perioada.

6. Din fracție zecimală în fracție ordinară

Orice fracție zecimală finită sau periodică reprezintă un număr rațional și poate fi transformată într-o fracție ordinară.

Fracție zecimală finită

0,75 = 75 100 = 3 4

Fracție zecimală periodică simplă

0,(4) = 4 9

Fracție zecimală periodică mixtă

0,1(6) = 16 − 1 90 = 15 90 = 1 6

Concluzie: fracțiile zecimale finite și fracțiile zecimale periodice reprezintă numere raționale.

7. Numere iraționale

Definiție:Numerele reale care nu sunt raționale se numesc numere iraționale.

ℝ \ ℚ

Scrierea zecimală a unui număr irațional este infinită și neperiodică.

√ 2 este irațional

π este irațional

Atenție: nu orice număr scris cu radical este irațional.

De exemplu:

√ 9 = 3

iar 3 este număr natural, întreg, rațional și real.

8. Mulțimea numerelor reale ℝ

Numerele raționale împreună cu numerele iraționale formează mulțimea numerelor reale.

ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ)

Mulțimea numerelor reale nenule se notează:

ℝ* = ℝ \ {0}

Toate mulțimile studiate până acum se află într-o relație de incluziune.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Această relație este foarte importantă: un număr natural este și întreg, orice număr întreg este și rațional, iar orice număr rațional este și real.

9. Apartenență sau incluziune?

Este important să facem diferența dintre simbolurile ∈ și ⊂.

∈ se folosește între un element și o mulțime.

⊂ se folosește între două mulțimi.

3 ∈ ℕ

ℕ ⊂ ℤ

−5 ∈ ℤ

ℤ ⊂ ℚ

Atenție la scriere:

3 ∈ ℕ este corect, deoarece 3 este un element al mulțimii ℕ.

ℕ ⊂ ℤ este corect, deoarece ℕ și ℤ sunt două mulțimi.

10. Cum identificăm mulțimea unui număr?

Să urmărim câteva exemple.

8

8 ∈ ℕ
8 ∈ ℤ
8 ∈ ℚ
8 ∈ ℝ

−6

−6 ∈ ℤ
−6 ∈ ℚ
−6 ∈ ℝ

−7 3

−7 3 ∈ ℚ
−7 3 ∈ ℝ

√ 8

√ 8 ∉ ℚ
√ 8 ∈ ℝ

Ideea-cheie: când clasifici un număr, caută mai întâi cea mai restrânsă mulțime din care face parte și apoi folosește relațiaℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

De reținut

ℕ este mulțimea numerelor naturale.
ℤ este mulțimea numerelor întregi.
ℚ este mulțimea numerelor raționale.
Numerele iraționale formează mulțimea ℝ \ ℚ.
ℝ este mulțimea numerelor reale.
Un număr rațional are o scriere zecimală finită sau periodică.
Un număr irațional are o scriere zecimală infinită și neperiodică.
∈ exprimă apartenența unui element la o mulțime, iar ⊂ exprimă incluziunea unei mulțimi în alta.
Relația fundamentală este: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Matematica devine mai ușoară când înțelegi logica

Continuă să înveți cu Math More Easy.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VIII-a Exerciții – Mulțimi de numere reale