Posts Tagged ‘multimea divizorilor’

Exerciții rezolvate Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural

“Educaţia ar fi mult mai eficientă dacă scopul acesteia ar fi ca la ieşirea din şcoală, fiecare copil să conştientizeze cât de multe lucruri nu ştie şi să fie cuprins de o dorinţă permanentă să le afle. – William Haley

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva exerciții la lecția Divizorul unui Număr Natural. Multiplul unui Număr Natural. (mai mult…)

Exercițiul 1: Scrieți divizorii proprii și divizorii improprii ai numărului 21.

Rezolvare: 

Divizorii proprii ai lui 21 sunt: 3 și 7.

Divizorii improprii ai lui 21 sunt: 1 și 21.

Exercițiul 2 :

Determinați numărul natural x știind că x-3 este divizorul numărului natural 15. 

Rezolvare: 

 x-3 \in D_{15} \Rightarrow x-3 \in \left \{ 1,3,5,15 \right \}

Deoarece pe noi ne interesează valorile pe care le poate lua x vom egala cu fiecare număr si vom afla multimea valorilor lui x.

 x-3=1 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=1+3 \Rightarrow x=4

 x-3=3 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=3+3 \Rightarrow x=6

 x-3=5 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=5+3 \Rightarrow x=8

 x-3=15 \ \ \ /+3 \Rightarrow x=15+3 \Rightarrow x=18

Soluție: x\in \left \{ 4, 6, 8, 18 \right \}

Exercițiul 3:  Determinați: 

a)  D_{{28}} \cup D_{{12}}

b)  D_{{28}} \cap D_{{12}};

Rezolvare: 

Scriem mulțimea divizorilor lui 28.

D_{{28}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

Scriem mulțimea divizorilor lui 12.

D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

a) Reunim cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cup D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 14\ \ \ ;\ \ \ 28 \right \}

  • Reamintim că Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea notată A \cup B, formată din toate elementele celor două mulțimi comune și necomune, luate o singură dată.

b)  Intersectăm cele două mulțimi și obținem: D_{{28}} \cap D_{{12}}=\left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \right \}

  • Reamintim că  Intersecția: a două mulțimi A și B este mulțimea notată A\cap B , formată din toate elementele comune celor două mulțimi, luate o singură data.

Exercițiul 4:  Se consider inecuația 4\cdot x -1 \leq 39-x

a) Care dintre soluțiile inecuației sunt divizori ai numărului natural 12?

b) Care dintre soluțiile inecuației sunt multiplii lui 3?

Rezolvare: 

Rezolvăm inecuația: 4\cdot x -1 \leq 39-x.

Mutăm toți termenii care îl conțin pe x într-o parte iar ceilalti termini în cealaltă parte având grijă să schimbăm semnele.

4\cdot x +x \leq 39 +1

5\cdot x \leq 40

5\cdot x \leq 40 \ \ \ /\ \ \ :\ \ 5

x \leq 40 \ \ \ :\ \ 5 \Rightarrow x \leq 8  \Rightarrow x \in \left \{ 0\ \ \ ;\ \ \ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ \ ;\ \ \ \ 4\ \ \ ; \ \ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 7\ \ \ ;\ \ \ 8\ \ \ \right \}

a) Scriem mulțimea divizorilor lui 12:

D_{{12}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \right \}

Acum intersectăm cele două mulțimi și obținem mulțimea

 \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ \ 3\ \ \ ;\ \ \ 4\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

b) Scriem mulțimea multiplilor lui 3

M_{3} =\left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \ ;\ \ \ 9\ \ \ ;\ \ \ 12\ \ \ ;\ \ \ 18\ ............ \right \}

Intersectăm mulțimea valorilor lui x cu mulțimea multiplilor lui 3 și obținem mulțimea: \left \{ 3\ \ \ ;\ \ \ 6\ \ \right \}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată.” Thomas Edison

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la “Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare”. (mai mult…)

Exercițiul 1 :

Unghiul  \widehat{MON} și  \widehat{NOP} sunt adiacente și complementare. Știind că  m(\widehat{MON}) este \frac{3}{2} din  m(\widehat{NOP}) să se calculeze   m(\widehat{NOP})   și  m(\widehat{MON}) ..

  • Rezolvare: 
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Analizând desenul observăm că  m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ
  • Știm că  m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})  \Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2
  •  \Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ
  •  \Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5
  •  \Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5
  •  \Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ
  • Înlocuim și  aflăm și măsura unghiului  \widehat{MON}
  •  m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP}) \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}} \Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ
  • m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})
  •  m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ

Exercițiul 2:

Măsura m(\widehat{XOY}) este \frac{7}{8} din măsura suplementului său unghiul m(\widehat{YOZ}). Aflați măsura m(\widehat{XOY}) și m(\widehat{YOZ}).

  • Rezolvare:
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Analizând desenul observăm că: m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ
  • Știm că m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})
  • \Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8
  • \Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ
  • \Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ
  • \Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15
  • \Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15
  • \Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ
  • Înlocuim și aflăm măsura  m(\widehat{XOY}):
  • m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ}) \Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ \Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ

Exercițiul 3: 

Determinați măsura unghiului m(\widehat{MON}) știind că măsura complementului suplementului său este de 63^\circ.

  • Rezolvare:
  • Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului  \widehat{MON} este 63^\circ . Scriem matematic această informație:
  • Notăm suplementul unghiului \widehat{MON} cu \widehat{NOP} și obținem informația:
  • m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ
  • Notăm complementul unghiului \widehat{NOP} cu \widehat{NOQ} și obținem informația:
  • m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ
  • Scriem datele problemei:
  • Realizăm desenul:
  • Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
  • m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ
  • Știm că m(\widehat{NOQ})=63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ \Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ
  • Mai știm din enunțul problemei că: m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ
  • Înlocuim m(\widehat{NOP})=27^\circ și obținem:
  • m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ
  • \Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ
  • \Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în Clubul de “Matematică Math More Easy”.

Exerciții Rezolvate la Descompunerea În Factori Primi

“Descurajarea și înfrângerile sunt unele dintre cele mai sigure căi către succes.”

Dale Carnegie

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Descompunerea în Factori Primi a unui Număr Natural.  (mai mult…)

Exercițiul 1 :

Descompuneți în produs de factori primi următoarele numere naturale:

a) 120

b) 3528;

c)36000

Rezolvare: 

  • a) Pentru că 120 se divide cu 10 (numărul 120 se termină in 0), iar 10 nu este număr prim vom împărți mai întâi prin 2\cdot 5
  • Rămâne 12 care este un număr par și se divide cu 2.
  • Deci 120 descompus în factori primi este: 120=2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1
  • b) 3528

  • Pentru că 3528 este un număr par de divide cu 2.
  • Pentru că 441 este un număr impar și  nu se mai divide cu 2, verificăm criteriul de divizibilitate cu 3.
  • 4+4+1=9\ \ \ \vdots\ \ \ 3
  • Mai departe împărțim prin 3.
  • Pentru că 49 nu se mai divide cu 3 și nu se divide nici cu 5 încercăm cu următorul număr prim cu 7.
  • Astfel obținem 3528 descompus în factori primi: 3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot7^2
  • c) 36000
  • Pentru că 36000 se termină în trei cifre de 0 înseamnă că de divide cu  1000=10^3=(2\cdot5)^3=2^3 \cdot 5^3
  • Deci obținem:
  • Astfel putem scrie 36000=2^5 \cdot 3^2 \cdot 5^3

 

Exercițiul 2 :

Determinați  numerele naturale “m”, “n” și “p”astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a) 36=2^n \cdot 3^p

b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m

Rezolvare:

Descompunem în factori primi numerele 36, 360 și 720.

descompunere in factori primi

  • Obținem astfel:
  • a) 36=2^n \cdot 3^p
  •  36=2^2\cdot 3^2 \Rightarrow n=2 și  p=2
  • b) 360=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  360=2^3 \cdot 3^2\cdot 5^1 \Rightarrow n=3 \ \ \ ; \ \ \ p=2 și m=1
  • c) 720=2^n \cdot 3^p\cdot 5^m
  •  720=2^4 \cdot 3^2\cdot 5^1\Rightarrow n=4 \ ; \ \ \ p=2 și m=1

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.  

Exerciții rezolvate la Numere Prime

” Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate  ajuta pe omul cu mentalitate greșită”.

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție  extrem de importanta Numere Prime între ele. (mai mult…)

Exercițiul 1:  Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

24=2^3 \cdot 3

77=7\cdot 11

(24, 77)=1

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 \Rightarrow cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001 

Descompunem în factori primi cele două numere.

360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

1001=7\cdot 11 \cdot 13

(360, 1001)=1  \Rightarrow 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

84=2^2\cdot 3\cdot 7

125=5^ 3

(84,125)=1\Rightarrow 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2:  Arată că numerele naturale  (4n+3,\ \ \ 6n+5) sunt prime între ele  oricare ar fi n\in N.

Rezolvare: 

Pentru a demonstra că numerele : 4n+3 și 6n+5 sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale 4n+3 și 6n+5 au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural “d”  care divide numerele 4n+3 și 6n+5.

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10

Scădem cele două relații și obținem: d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \  \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1 \Rightarrow (4n+3, 6n+5)=1 \Rightarrow numerele 4n+3 și 6n+5 sunt prime între ele.

Exercițiul 3:  Arată că numerele naturale  5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele  oricare ar fi n\in N.

Rezolvare: 

Pentru a demonstra că numerele : 5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural 5n+6 și 4n+5 au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural “d”  care divide numerele 5n+6 și 4n+5 .

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24

d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25

Scădem cele două relații și obținem: d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \ \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1 \Rightarrow (5n+6, 4n+5)=1 \Rightarrow numerele 5n+6 și 4n+5 sunt prime între ele.

Exercițiul 3:  Află numărul natural x astfel încât:

a) (\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1

b) (\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere \overline{5x} și 10 nu au nici un divizor comun  scriem mulțimea divizorilor lui 10.

D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}

Dacă (\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1 \Rightarrow numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă \overline{5x} \Rightarrow

Dacă 2 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x este un număr impar \Rightarrow  x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}; dacă 5 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide \overline{5x}  \Rightarrow x nu poate fi 0

\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să  îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

Criteriile de divizibilitate

“Mintea umană este ca o parașută. E inutilă dacă nu se deschide.”

Frank Zappa

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior ți-am prezentat lecția “Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural”. Am învățat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural și cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecție la acest capitol “Criteriile de divizibilitate” .

(mai mult…)

Criteriul de divizibilitate cu 2

  • Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.
  • numar-divizibil-cu-2

Criteriul de divizibilitate cu 5

  • Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  • numar-divizibil-cu-5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă și numai dacă ultima cifră a numărului este 0.
  • numar-divizibil-cu-10

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

  • Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă și numai dacă ultimile două (respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.
  • numar-divizibil-cu-100

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

  • Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă și numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).
  • numar-divizibil-cu-3

Criteriul de divizibilitate cu 4.

  • Un număr natural este divizibil cu 4  dacă și numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
  • numar-divizibil-cu-4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

  • Un număr natural este divizibil cu 25  dacă și numai dacă  ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică

Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poți trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pagina de facebook a blogului:https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor  dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

Divizorul unui număr natural. Multiplul unui număr natural.

“Dimensiunea succesului tău este măsurata de puterea dorinței tale, de mărimea visului tău și de cum gestionezi dezamăgirile pe drumul către succes.”

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție pentru clasa a VI-a.

Copilul tău a învățat în clasa a V-a noțiunile de Divizor. Multiplu dar și Criteriile de divizibilitate pe care acum în clasa a VI-a le vom repeta.

(mai mult…)

Definiție:  Numărul natural “a”  este divizibil (sau se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a=b\cdot c” .

Observație:

Numărul natural “a”  nu este divizibil (sau nu se divide) cu numărul natural “b”, dacă există un număr natural “c” astfel încât: ”  a\neq b\cdot c” .

Divizori improprii. Divizori proprii.

Fie n \geq 2 un număr natural. Numerele 1 și n  se numesc divizori improprii ai numărului n .

Ceilalți divizori ai numărului n  (dacă există) se numesc divizori proprii.

Mulțimea divizorilor naturali ai numărului natural n este mulțimea D_{{n}} a tuturor numerelor naturale care divid pe n.

Se notează  D_{{n}}=\left \{ d \in N| n \ \vdots\ d \right \} .

Mulțimea multiplilor naturali ai numărului natural n  este mulțimea tuturor elementelor naturale care se divid cu n .

Se notează  M_{n}=\left \{ k\in N |\ \ \ \ \ \ \ k \ \vdots\ n \right \}.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la Compararea puterilor

“Educația nu e cât de mult ai memorat sau cât știi. E capacitatea de a face diferența între ce știi și ce nu știi”.

Anatole France 

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție nouă la capitolul Numere Naturale: Exerciții rezolvate la Compararea Puterilor.

(mai mult…)

Exercițiul 1: Comparați numerele:

  • a) 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • b) 3 ^{27} și 9 ^{13}
  • c) 8 ^{17} și  2^{52}

Rezolvare: 

  • 4 ^{17} și 2 ^{34}
  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem să-l scriem pe 4 ca bază 2 ^2.
  • ({2 ^2})^{17}    și 2 ^{34}
  • Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri pentru primul număr, înmulțim exponenții și obținem:
  • 2 ^{2\cdot 17}  și 2 ^{34} \Rightarrow 2 ^{34}   = 2 ^{34}

b) 3 ^{27}   și 9 ^{13}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 9=3 ^{2} și obținem:
  • 3 ^{27} și (3 ^{2}) ^{13} \Rightarrow 3 ^{27} și  3 ^{2\cdot 13}  \Rightarrow 3 ^{27}   \gt \ \ \ 3 ^{26}

c)  8 ^{17} și  2 ^{52}

    • Observăm că  putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe 8= 2^{3} și obținem:
    • (2^{3})^{17} și 2^{52 \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și  2^{52}  \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}
Exercițiul 2:  Comparați numerele:
  • a)  2 ^{48}  și   3 ^{32}
  • b)  2 ^{60}  și  3 ^{36}
  • c)  3 ^{42}  și  5 ^{28}
  • d) { 2^2}^3  și (2^2)^3

Rezolvare: 

a) 2^{48} și 3^{32}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel  48=3\cdot16 și 32=2\cdot16. Obținem:
  • 2^{3\cdot16} și 3^{2\cdot16}  \Rightarrow (2^3)^{16} și  (3^2)^{16}
  • Ridicăm la putere știind că  2^3=8 și  3^2=9 obținem:
  •  8^{16} \lt 9^{16}
  • Numărul cu baza mai mică este mai mic.

b)  2^{60} și  3^{36}

  • Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 60=10\cdot 6 și 36=6\cdot 6. Obținem:
  • 2^{10\cdot 6} și 3^{6\cdot 6} \Rightarrow (2^{10})^ 6 și (3^{6})^ 6
  • Ridicăm la putere știind că 2^{10}=1024 și 3^{6}=729. Obținem:
  •  1024^{6} \gt 729^6
  • Numărul cu baza mai mare este mai mare.

c) 3^{42} și 5^{28}

  • Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: 42=3\cdot 14  și 28=2 \cdot 14. Obținem:
  • 3^{3\cdot14} și 5^{2\cdot14}   \Rightarrow (3^3)^{14} și  (5^2)^{14}
  • Ridicăm la putere știind că  3^3= 27 și  5^2= 25 obținem:
  •  27^{14}\ \ \gt\ \ 25^{14}.

d) { 2^2}^3 și (2^2)^3

  • Observăm că la primul număr avem puterea unei puteri cu alte cuvinte exponentul este tot o putere 2^3. Mai întâi ridicăm la putere exponentul știind că 2^3 = 8 și obținem: { 2^2}^3=2^8.
  • La cel de-al doilea număr aplicăm Regulile de calcul cu puteri,  înmulțim puterile și obținem: (2^3)^2=2^{3\cdot 2}= 2^6
  • { 2^2}^3 și (2^2)^3\Rightarrow 2^8 \ \ \gt \ \ 2^6

Exercițiul 3: Comparați numerele:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

c) (9^{15}\cdot 3^{14})^4  și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Rezolvare:

a) 8^{18} - 7\cdot 8^{17} și 16^{14} - 15\cdot 16^{13}

  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Pentru că avem operația de scădere între termenii celor două numere trebuie să dam factor comun baza care se repetă la puterea cea mai mică
  • 8^{17}\cdot (8^{18-17} - 7\cdot 8^{17-17}) și 16^{13}\cdot (16^{14-13} - 15\cdot 16^{13-13})
  • 8^{17}\cdot (8^{1} - 7\cdot 8^{0})   și 16^{13}\cdot (16^{1} - 15\cdot 16^{0})
  • Știm că orice număr la puterea 0 este egal cu 1  \Rightarrow 8^0=1 și \Rightarrow 16^0=1
  • Obținem:
  • 8^{17}\cdot (8 - 7\cdot 1) și 16^{13}\cdot (16 - 15\cdot 1)
  • 8^{17}\cdot (8 - 7) și 16^{13}\cdot (16 - 15)
  • 8^{17}\cdot 1 și 16^{13}\cdot 1 \Rightarrow 8^{17} și 16^{13}
  • Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la aceeași bază.
  • Știm că putem scrie:8=2^{3} și 16=2^{4} astfel obținem:
  • (2^{3})^{17} și (2^{4})^{13} \Rightarrow 2^{3\cdot 17} și 2^{4\cdot 13} \Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}

b) (9^{15}\cdot 3^{14})^4 și (81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy”.  

Criterii de divizibilitate

Clasa a V-aBine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul anterior   ţi-am prezentat lecţia “Divizor.Multiplu”. Am învăţat împreună care sunt divizorii unui număr, care sunt multiplii unui număr natural şi cum arătăm dacă un număr natural divide sau nu un alt număr natural. Astăzi voi continua cu o noua lecţie la acest capitol “Criterii de divizibilitate” .

(mai mult…)

Criteriul de divizibilitate cu 2

  •  Un număr natural este divizibil cu 2 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este o cifră pară.
  • numar-divizibil-cu-2

Criteriul de divizibilitate cu 5

  •  Un număr natural este divizibil cu 5 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0 sau 5
  • numar-divizibil-cu-5

Criteriul de divizibilitate cu 10.

  • Un număr natural este divizibil cu 10 dacă şi numai dacă ultima cifră a numărului este 0.
  • numar-divizibil-cu-10

Criteriul de divizibilitate cu 100(1000, 10000, etc).

  • Un număr natural este divizibil cu 100(respectiv 1000, 10000, etc) dacă şi numai dacă ultimile două )respectiv trei, patru, etc) cifre ale numărului sunt egale cu 0.
  • numar-divizibil-cu-100

 

Criteriul de divizibilitate cu 3 (respectiv 9).

  • Un număr natural este divizibil cu 3 (respectiv 9) dacă şi numai dacă suma cifrelor sale se divide cu 3 (respectiv 9).
  • numar-divizibil-cu-3

Criteriul de divizibilitate cu 4.

  • Un număr natural este divizibil cu 4  dacă şi numai dacă numărul format din ultimele două cifre se divide cu 4
  • numar-divizibil-cu-4

Criteriul de divizibilitate cu 25.

  • Un număr natural este divizibil cu 25  dacă şi numai dacă  ultimele două cifre ale sale sunt 00, 25, 50 sau 75.
  • numar-divizibil-cu-25

    Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

    De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

    https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

    Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

    Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate „Reguli de Calcul cu puteri”

clasa a VI-aDragul meu părinte, în lecţia anterioară „Reguli de calcul cu puteri” am vorbit despre noţiunile pe care trebuie sa le reţină copilul tău la această lecţie.

In acest articol, vreau să îţi prezint câteva exemple de exerciţii cu un grad de dificultate diferit, explicate pas cu pas, pentru a te ajuta să-i explici şcolarului tău modul în care trebuiesc abordate exerciţiile de la această lecţie.

(mai mult…)

  • Exerciţiul 1:  Calculaţi:
  •  15^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

Dragul meu părinte, observăm că în acest exerciţiu avem operaţii de ridicare la putere care sunt operaţii de ordin III, operaţii de împărţire a numerelor naturale care sunt operaţii de ordinul II şi operaţia de scădere care este o operaţie de ordinul I.

Comform ordinii efectuarii operaţiilor numerelor naturale, mai întâi efectuăm operaţiile de ordinul III (ridicarea la putere), apoi operaţiile de ordinul II (împărţirea), iar la urmă efectuăm operaţiile de ordinul I (scăderea).

Pentru că avem ridicare la putere cu un exponent mare( şi ar dura mult timp) aplicăm regulile de calcul cu puteri pentru a simplifica rezolvarea exerciţiului, după cum urmează:

Astfel obţinem:

(5\cdot3) ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

5^{38}\cdot3 ^{38} : 5^{38} - (3^{19})^{2}=

1\cdot3 ^{38} - (3^{19})^{2}=

"1\cdot3

3 ^{38} - 3^{38}=0

Exerciţiul 2:  Calculaţi: a=(b-c) ^{2011}dacă :                                  b=[(2 ^{3})^{2}-1954^{0}] : 3^{2^{1^{7}}}-(4^{1^{2^{3}}}-1^{4^{3^{2}}})

c=32\cdot7 ^{5}-14^{5}+3<br /><br />

Rezolvare:

Mai întâi aducem la o formă mai simplă pe „b” şi pe „c”.

Avem :  1954 ^{0}=1

deoarece  ştim ca orice număr la puterea 0 este egal cu 1.

Deasemenea ştim că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1

Astfel obţinem:         b=(2 ^{3\cdot2}-1) : </p> <p>3 ^{2^{1}}-( </p> <p>4 ^{1^{8}}-1 ^{4^{9}}</p> <p>)

                                b=(2 ^{6}-1) : </p> <p>3 ^{2}-( </p> <p>4 ^{1}-1</p> <p>)

                               b=(64-1) : 9 - 3

                              b=63 : 9 - 3<br />

                              "b=

                              b=4<br />

                             c=32\cdot7 ^{5}-14 ^{5}+3

                             c=32\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                            c=2^{5}\cdot7 ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=(2\cdot7) ^{5}-(2\cdot7) ^{5}+3

                           c=0+3

                           c=3

Calculăm numărul „a”:       a=(4-3) ^{2011}

                                          a=1 ^{2011}

                                          a=1

  • Exerciţiul 3:
  • Determinaţi numărul natural “n” pentru care sunt adevărate egalităţile:
  • "7

 

Dragul meu părinte, observăm ca in acest exerciţiu avem suma lui Gauss.

"11+12+13+..............+30=<br

"(11+30)+(12+29)+..............=<br

Avem 20 termeni grupati in 10 paranteze, iar suma fiecarei paranteze este egală cu 41.

"41+41+............+41=<br

(de 10 ori)

"10\cdot41<br

Astfel obţinem: 7 ^{10\cdot41}=7^{n\cdot3}\cdot7^{2}

7 ^{410}=7^{3n+2}   \Rightarrow410={3n+2}  /(-2)

410-2 =3n+2-2

408 =3n /: 3

408 : 3 =3n : 3

136 =n

  • Exerciţiul 4:
  • Demonstraţi că pentru orice număr natural “n” este adevărată relaţia:
  • 15 / A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru a demonstra că 15 divide numărul A trebuie să demonstrăm că numărul A este un multiplu de 15. Să aducem numărul A la o formă mai simplă.

 A= 72 ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

Pentru început îl descompunem pe 72 in factori primi şi obţinem:

 A= (2 ^{3}\cdot3 ^{2}) ^{n+1}+3^{2n+1}\cdot2^{3n+2}+3^{2n}\cdot2^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri: "(a

A=2 ^{3(n+1)}\cdot3 ^{2(n+1)}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

A=2 ^{3n+3}\cdot3 ^{2n+2}+3 ^{2n+1}\cdot2 ^{3n+2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas aplicăm regula de calcul cu puteri:  a ^{m+n}=a ^{m}\cdot a ^{n}

A=2 ^{3n}\cdot2 ^{3}\cdot3 ^{2n}\cdot3 ^{2}+3 ^{2n}\cdot3 ^{1}\cdot2 ^{3n}\cdot2 ^{2}+3 ^{2n}\cdot2 ^{3n}\cdot6

La următorul pas dăm factor comun pe: 2 ^{3n}\cdot 3 ^{2n}

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(2 ^{3}\cdot3 ^{2}+3 \cdot2 ^{2}+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(8\cdot9+3 \cdot4+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}(72+12+6)

A=2 ^{3n}\cdot3 ^{2n}\cdot90<br />

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

 

 

Exerciții rezolvate la Divizor. Multiplu

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, în articolul anterior am vorbit despre „Divizor. Multiplu”.

Iată şi câteva aplicaţii la lecţia „Divizor. Multiplu”, exerciţii cu grad diferit de dificultate, explicate pas cu pas, să te ajute să i le explici copilului tău.

(mai mult…)

  • EXERCIŢIUL 1:
  • Dacă „a” şi „b” sunt numere naturale şi x = 3· a + 6 · b arătaţi că x este multiplu de 3.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „x” ca un multiplu de 3.

  • x = 3 · a + 6 · b 
  • x = 3·( a + 2 · b)
  • x 3
  • EXERCIŢIUL 2:
  • Arătaţi că numărul „m + n” este divizibil cu 12, unde

m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100, iar n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100).

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să-l scrie pe „m+n” ca un multiplu de 12. Dar, ca să-l scrie pe „m + n” ca un produs de numere dintre care un număr să fie 12, copilul tău trebuie să îl calculeze mai întâi pe „m” şi pe „n”.

Dragul meu părinte, observăm va „m” şi „n” sunt reprezentate de două numere scrise cu ajutorul sumei lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100.

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să ştie că între numărul 1 şi 100 sunt 100 de termeni dintre care 50 de termeni sunt numere pare şi 50 de termeni sunt numere impare.

  • m = 2 + 4 + 6 + ……. + 100   (m are 50 termeni)
  • Pentru a calcula Suma lui Gauss a numerelor pare cuprinse între 2 şi 100 scriem astfel:
  • m = 2 + 4 + 6 + ……. 96+98+ 100.
  • Observăm că dacă adunăm:
  • 2 + 100 = 102.
  • 4 + 98 = 102.
  • 6 + 96 = 102.
  • …………………….
  • După care, dragul meu părinte, copilul tău va trebui să grupeze termenii 2 câte 2 astfel: primul termen cu ultimul termen, al doilea termen cu penultimul şi aşa mai departe.
  • m = (2 + 100) + (4+ 96)+(6+98)+…………….      .   (“m” are 25 paranteze)
  • Obţinem astfel 25 de paranteze, iar rezultatul fiecărei paranteze este 102.
  • Putem scrie:
  • m = 25 · 102
  • Efectuând înmulţirea obţinem: m = 2550.
  • Analog îl calculăm şi pe „n” .
  • Observăm dragul meu părinte ca n = 11· (2 + 4 + 6 + ……. + 100), adică
  • n = 11· m
  • n = 11· 2550
  • n = 28 050
  • Dragul meu părinte, calculând „m + n” obţinem:
  • m + n = 2550+28050 = 30 600
  • Dragul meu părinte, la începutul rezolvării acestui exerciţiu am spus că pentru a demonstra că m+n este divizibil cu 12, copilul tău trebuie să scrie numărul „m + n” ca un produs de două nu numere dintre care unul dintre numere să fie 12.
  • În cazul acestui exerciţiu, copilul tău trebuie să-l scrie pe 30 600 ca un produs de două numere dintre care unul trebuie să fie 12.
  • Păi să vedem, dragul meu părinte, se împarte exact 30 600 la 12?
  • 30 600 : 12 = ?
  • 30 600 : 12 = 2550
  • 30 600 = 12 · 2550
  • 30 600 12
  • EXERCIŢIUL 3:
  • Scrieţi toţi multiplii lui 7 cuprinşi între 15 şi 65.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău trebuie să gasească toate numerele cuprinse între 15 şi 65 care se împart exact la 7.

Stim că:

  • 2 · 7 = 14 (dar 14 este mai mic decât 15 deci nu este bun).
  • 3· 7 = 21 ( 15 < 21 < 65)( 21 este un număr bun)
  • 4· 7 = 28 ( 15 < 28 < 65)( 28 este un număr bun)
  • 5· 7 = 35 ( 15 < 35 < 65)( 35 este un număr bun)
  • 6· 7 = 42 ( 15 < 42 < 65)( 42 este un număr bun)
  • 7· 7 = 49 ( 15 < 49 < 65)( 49 este un număr bun)
  • 8· 7 = 56 ( 15 < 56 < 65)( 56 este un număr bun)
  • 9· 7 = 62 ( 15 < 63 < 65)( 63 este un număr bun)
  • 10· 7 = 70 ( 15 < 65 < 70) (70 nu este un număr bun).
  • În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:
  • S = { 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}.
  • EXERCIŢIUL 4:
  • Un număr natural nenul „a” are printre divizorii săi numerele 3, 5 şi 7. Scrieţi încă 4 divizori diferiţi de aceştia ai numărului „a”.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, copilul tău trebuie să stie că un număr natural nenul „a” care se divide în acelaşi timp cu numerele „b”, „c” şi „d” , atunci se divide şi cu produsul acestor numere.

În cazul nostru numărul „a” se divide cu numerele: 3, 5 şi 7 că numărul „a” se divide şi cu numărul 3 · 7 = 21, 3 · 5 = 15, 5· 7 = 35, 3 · 5 · 7 = 105.

În concluzie, avem mulţimea soluţiilor egală cu:

S = { 15, 21, 35, 105}.

  • EXERCIŢIUL 5:
  • Dacă a / b şi b /c , atunci arătaţi că a /c.

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la acest exerciţiu copilul tău va lucra pe caz general ( nu stie ce valori au numerele „a”, „b” şi „c”). Aplicand definiţia divizibilităţii obţinem:

  • a / b     atunci “b” se împarte exact la „a”
  • b = a · m , m ϵ N   (relaţia 1)
  • b /c       atunci  “c” se împarte exact la „b”
  • c = b · n , n ϵ N     (relaţia  2 )

Dacă înlocuim în cea de-a doua relaţie pe numărul „b” obţinut în relaţia 1, obţinem:

  • c = a · (m· n)

În concluzie , obţinem că a /c.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy?ref=hl.

1 2