În lecția „Mulțimi de numere” pentru clasa a VI-a vei învăța ce este o mulțime, cum se notează și cum poate fi reprezentată prin enumerarea elementelor, printr-o proprietate caracteristică sau cu ajutorul unei diagrame Venn-Euler.

Vei descoperi relația dintre un element și o mulțime, simbolurile ∈ și ∉, mulțimea vidă, mulțimile numerice și nenumerice, precum și diferența dintre mulțimile finite și cele infinite. Exemplele explicate pas cu pas te vor ajuta să determini corect elementele și cardinalul unei mulțimi.

Mulțimi de numere – lecție de matematică pentru clasa a VI-a

Mulțimi. Descriere, notații și reprezentări

Învață să definești, să reprezinți și să recunoști corect diferitele tipuri de mulțimi

CLASA A VI-A
În această lecție vei învăța:
  • ce este o mulțime și cum se notează;
  • cele trei moduri de definire a unei mulțimi;
  • cum folosim simbolurile ∈ și ∉;
  • ce sunt mulțimea vidă, mulțimile numerice și mulțimile nenumerice;
  • cum recunoaștem mulțimile finite și mulțimile infinite;
  • cum determinăm cardinalul unei mulțimi finite.

Teorie explicată pas cu pas

Urmărește explicația lecției și exemplele prezentate pas cu pas.

1. Ce este o mulțime?

Definiție: O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte, numite elementele mulțimii.

Spunem că obiectele sunt bine determinate atunci când putem decide fără ambiguitate dacă un obiect face sau nu parte din mulțime.

Exemplu de mulțime

Mulțimea cifrelor pare este bine determinată:

P = {0, 2, 4, 6, 8}

Exemplu nepotrivit

„Mulțimea filmelor frumoase” nu este bine determinată, deoarece aprecierea depinde de fiecare persoană.

Notație: mulțimile se notează, de regulă, cu litere mari: A, B, C, ..., iar elementele lor se notează cu litere mici, numere sau alte simboluri.

2. Cum definim și reprezentăm o mulțime?

O mulțime poate fi definită în trei moduri.

1. Prin enumerare

Scriem toate elementele între acolade.

A = {1, 3, 5, 7, 9}

2. Prin diagramă

Scriem elementele în interiorul unei linii curbe închise, numită diagramă Venn-Euler.

3. Printr-o proprietate

Precizăm proprietatea caracteristică elementelor.

A = {x | x este cifră impară}

A = {1, 3, 5, 7, 9} = {x | x este cifră impară}
Citim: „A este mulțimea tuturor elementelor x care au proprietatea că x este cifră impară.”

3. Relația dintre un element și o mulțime

Dacă A este o mulțime și x este un element al său, scriem x ∈ A și citim „x aparține mulțimii A”.
Dacă x nu este un element al mulțimii A, scriem x ∉ A și citim „x nu aparține mulțimii A”.
A = mulțimea;   x = element al mulțimii A;   x ∈ A

Pentru A = {1, 3, 5, 7, 9}, avem:

3 este element al mulțimii A3 ∈ A
6 nu este element al mulțimii A6 ∉ A
Important: simbolurile ∈ și ∉ descriu relația dintre un element și o mulțime.

4. Elementele nu se repetă și nu au o ordine obligatorie

Într-o mulțime, fiecare element se scrie o singură dată, chiar dacă apare de mai multe ori în situația analizată.

Exemplu

Cuvântul matematica conține unele litere de mai multe ori. Mulțimea literelor sale este:

M = {m, a, t, e, i, c}

Literele m, a și t se scriu o singură dată în mulțime.

Ordinea nu schimbă mulțimea: {1, 3, 5} = {5, 1, 3}.

5. Mulțimea vidă

Mulțimea vidă este mulțimea care nu are niciun element și se notează cu simbolul ∅.

Exemplu

Mulțimea consoanelor din cuvântul „eu” este mulțimea vidă, deoarece cuvântul conține numai vocale.

card ∅ = 0

6. Mulțimea numerelor naturale

Mulțimea care are ca elemente toate numerele naturale se numește mulțimea numerelor naturale și se notează cu ℕ.
ℕ = {0, 1, 2, 3, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
Mulțimea numerelor naturale diferite de zero se numește mulțimea numerelor naturale nenule și se notează cu ℕ*.
ℕ* = {1, 2, 3, ..., n − 1, n, n + 1, ...}
Observație: 0 ∈ ℕ, dar 0 ∉ ℕ*.
Atenție: simbolul ∞ nu este număr natural și nu se scrie ca element al mulțimii ℕ. Punctele de suspensie arată că șirul numerelor continuă fără sfârșit.

7. Mulțimi numerice și mulțimi nenumerice

Mulțime numerică

Dacă toate elementele unei mulțimi sunt numere, aceasta este o mulțime numerică.

C = {2, 7, 11}

Mulțime nenumerică

Dacă o mulțime conține cel puțin un element care nu este număr, aceasta este o mulțime nenumerică.

D = {m, a, t, e}

În mulțimea E = {1, 2, a}, elementul a nu este număr. Prin urmare, E este o mulțime nenumerică.

8. Mulțimi finite și cardinalul lor

O mulțime care are n elemente, unde n este un număr natural, se numește mulțime finită.
Numărul de elemente ale unei mulțimi finite M se numește cardinalul mulțimii și se notează card M.

Exemplu

Mulțimea A = {1, 2, 3, 5} are patru elemente distincte.

A = {1, 2, 3, 5} ⇒ card A = 4
Mulțimea vidă este o mulțime finită și are cardinalul zero: card ∅ = 0.

9. Mulțimi infinite

O mulțime care nu are un număr finit de elemente se numește mulțime infinită.

Exemple numerice

Mulțimea numerelor naturale ℕ și mulțimea numerelor naturale nenule ℕ* sunt infinite.

Exemple geometrice

Dreapta, semidreapta și segmentul, considerate ca mulțimi de puncte, sunt mulțimi infinite.

10. Sinteză

Tipul mulțimiiCaracteristicăExemplu
VidăNu are niciun element.∅
NumericăToate elementele sunt numere.{2, 7, 11}
NenumericăConține cel puțin un element care nu este număr.{m, a, t, e}
FinităAre un număr finit de elemente.{0, 4, 7, 15}
InfinităNu are un număr finit de elemente.ℕ

11. Greșeli frecvente

Greșeala 1: repetăm elementele.
Într-o mulțime, fiecare element se scrie o singură dată. De exemplu, mulțimea cifrelor numărului 1223 este {1, 2, 3}.
Greșeala 2: credem că ordinea elementelor schimbă mulțimea.
Mulțimile {1, 2, 3} și {3, 1, 2} sunt egale.
Greșeala 3: confundăm ∈ cu =.
Scriem 3 ∈ A pentru a arăta că 3 este element al mulțimii A, nu 3 = A.
Greșeala 4: scriem ∞ ca element al lui ℕ.
Corect este ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}. Simbolul ∞ nu este element al mulțimii numerelor naturale.
Greșeala 5: considerăm că mulțimea vidă are un element.
Mulțimea vidă nu are niciun element, deci card ∅ = 0.
Greșeala 6: numărăm de două ori un element repetat când calculăm cardinalul.
Cardinalul reprezintă numărul elementelor distincte.

De reținut

  • O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate și distincte.
  • O mulțime poate fi definită prin enumerare, printr-o diagramă Venn-Euler sau printr-o proprietate caracteristică.
  • x ∈ A înseamnă că x aparține mulțimii A, iar x ∉ A înseamnă că nu aparține.
  • Într-o mulțime, fiecare element se scrie o singură dată, iar ordinea elementelor nu contează.
  • Mulțimea vidă se notează cu ∅ și are cardinalul zero.
  • ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}, iar ℕ* = {1, 2, 3, ...}.
  • Cardinalul unei mulțimi finite este numărul elementelor sale distincte.
  • Mulțimile finite au un număr finit de elemente, iar mulțimile infinite nu au un număr finit de elemente.

Matematica devine mai ușoară când înțelegi logica

Descarcă lecția sau continuă să înveți cu Math More Easy.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VI-a Exerciții - Mulțimi

Leave a Comment

Scroll to Top