Paralelogramul este un patrulater convex care are laturile opuse paralele două câte două. În această lecție vei învăța să recunoști un paralelogram, să identifici elementele sale și să folosești proprietățile laturilor și unghiurilor.

Vei studia diagonalele paralelogramului, proprietatea acestora de a se înjumătăți în punctul lor de intersecție, precum și formulele pentru perimetru și arie. Prin desene, explicații, exemple rezolvate și exerciții vei învăța să aplici proprietățile paralelogramului în probleme de geometrie pentru clasa a VII-a.

CLASA A VII-A • GEOMETRIE

Paralelogramul

În această lecție înveți definiția paralelogramului, proprietățile laturilor, unghiurilor și diagonalelor, criteriile de recunoaștere și linia mijlocie a paralelogramului.

În această lecție vei învăța

Proprietăți

laturile opuse;
unghiurile opuse;
unghiurile alăturate;
diagonalele paralelogramului.

Recunoaștere

criterii pentru ca un patrulater să fie paralelogram;
laturi opuse paralele și congruente;
linia mijlocie a paralelogramului.

1. Definiția paralelogramului

Definiție. Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele două câte două.

AB CD

AD BC

2. Laturile opuse sunt congruente

Proprietate. Într-un paralelogram, laturile opuse sunt congruente.

AB = CD

AD = BC

Consecință

Perimetrul paralelogramului poate fi calculat dacă se cunosc lungimile a două laturi alăturate.

P = 2(AB + BC)

3. Unghiurile opuse sunt congruente

Proprietate. Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente.

∠A = ∠C

∠B = ∠D

4. Unghiurile alăturate sunt suplementare

Proprietate. Oricare două unghiuri alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare.

∠A + ∠B = 180°

∠B + ∠C = 180°

∠C + ∠D = 180°

∠D + ∠A = 180°

5. Diagonalele paralelogramului

Proprietate. Punctul de intersecție al diagonalelor unui paralelogram este mijlocul fiecărei diagonale.

Notăm cu O punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD.

AO = OC

BO = OD

6. Criterii de recunoaștere

Criteriul 1

Dacă într-un patrulater este verificată una dintre proprietățile paralelogramului, atunci patrulaterul este paralelogram.

Criteriul 2

Dacă într-un patrulater două laturi opuse sunt paralele și congruente, atunci patrulaterul este paralelogram.

ABCD și AB = CD

7. Linia mijlocie a paralelogramului

Definiție. Segmentul care unește mijloacele a două laturi opuse ale unui paralelogram se numește linie mijlocie a acestuia.

În desen, M și N sunt mijloacele laturilor AB și CD, iar segmentul MN este linie mijlocie.

8. Exemplu rezolvat - unghiuri

În paralelogramul ABCD avem:

∠A = 65°

Unghiul C este opus unghiului A, deci:

∠C = 65°

Unghiurile A și B sunt alăturate:

∠A + ∠B = 180°

65° + ∠B = 180°

∠B = 115°

Deoarece B și D sunt unghiuri opuse:

∠D = 115°

9. Exemplu rezolvat - perimetru

Un paralelogram are două laturi alăturate de 6 cm și 4 cm.

P = 2(6 + 4)

P = 2 · 10

P = 20 cm

10. Greșeli frecvente

Laturi opuse

În paralelogram, laturile opuse sunt paralele și congruente.

Unghiuri

Unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alăturate sunt suplementare.

Diagonale

Diagonalele nu sunt neapărat congruente. Ele se înjumătățesc.

11. De reținut

Laturi

ABCD

ADBC