Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

"Zadarnic vei vrea să-l învețipe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:
Calculați ultima cifră a numerelor:
a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$
b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4= 324 \ \ \ rest \ \ \ 3$

$\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$

Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})= U(2^{4\cdot 324 +3})= U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$

$= U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$

Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3) = U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$

Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8 = U(6 \cdot 8)=U(48)=8$

Am obținut că $U(2^{ 1299}) =8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020}) = ?$

Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4.Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$

Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})= U(2^{4\cdot 505 +0})= U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$

.Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ .Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $= U[(6^{ 505} \cdot 1)] =U(6 \cdot1)=6$

.Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$

Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$

Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2.Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$

Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$

Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$

Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$

= ?Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4.Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$

Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$

Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$

Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus!Determină ultima cifră a numerelor:a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes!PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !Math More Easy - YouTube https:/https://www.facebook.com/MathMoreEasy.Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Învăț pentru mine

Leave a Comment Cancel Reply