Cilindru circular drept și conul circular drept sunt corpuri geometrice studiate în clasa a VIII-a. În această lecție vei învăța elementele și proprietățile cilindrului și conului, precum și modul în care acestea sunt reprezentate în problemele de geometrie.
Pentru un cilindru circular drept vei învăța să calculezi aria laterală, aria totală și volumul. Vei studia apoi conul circular drept, raza, înălțimea și generatoarea sa, precum și formulele pentru arie și volum. Desenele, formulele, exemplele rezolvate și exercițiile te vor ajuta să înțelegi și să aplici corect aceste noțiuni.
Cilindrul circular drept.
Conul circular drept
În această lecție înveți elementele cilindrului și ale conului circular drept, secțiunile axiale, desfășurările și formulele pentru arii și volume.
În această lecție vei învăța
Cilindrul circular drept
- elementele cilindrului;
- secțiunea axială;
- desfășurarea suprafeței laterale;
- aria laterală și aria totală;
- volumul cilindrului.
Conul circular drept
- elementele conului;
- secțiunea axială;
- generatoarea conului;
- aria laterală și aria totală;
- volumul conului.
1. Formule importante pentru cerc și disc
Atât cilindrul, cât și conul circular drept au la bază un disc. De aceea, vom folosi frecvent formulele cercului și discului.
Lungimea cercului
unde r este raza cercului.
Aria discului
Diametrul
2. Cilindrul circular drept
Elementele cilindrului
- r = raza bazei;
- h = înălțimea cilindrului;
- O și O′ = centrele bazelor;
- OO′ = axa cilindrului;
- baza de jos și baza de sus sunt discuri congruente;
- generatoarele sunt perpendiculare pe planele bazelor.
3. Secțiunea axială a cilindrului
Un plan care conține axa cilindrului determină o secțiune axială.
Dimensiunile dreptunghiului sunt:
- lungimea = diametrul bazei = 2r;
- lățimea = înălțimea cilindrului = h.
Caz particular
Dacă secțiunea axială este un pătrat, atunci:
4. Desfășurarea cilindrului
Prin desfășurarea suprafeței laterale a cilindrului obținem un dreptunghi.
Dreptunghiul lateral
Are dimensiunile:
- lungimea: 2πr;
- lățimea: h.
5. Aria și volumul cilindrului circular drept
Aria unei baze
Aria laterală
Aria totală
Volumul cilindrului
6. Exemplu rezolvat – cilindru
Un cilindru circular drept are raza bazei r = 4 cm și înălțimea h = 7 cm. Calculăm aria laterală, aria totală și volumul.
7. Conul circular drept
Elementele conului
- V = vârful conului;
- O = centrul bazei;
- r = raza bazei;
- h = VO = înălțimea;
- g = generatoarea conului;
- VO este axa conului.
8. Secțiunea axială a conului
Un plan care conține axa conului determină o secțiune axială.
Forma secțiunii axiale
Secțiunea axială a conului circular drept este un triunghi isoscel.
- baza triunghiului = 2r;
- laturile egale = g;
- înălțimea triunghiului = h.
Relația dintre r, h și g
În triunghiul dreptunghic format de rază, înălțime și generatoare, aplicăm teorema lui Pitagora.
9. Desfășurarea conului
Suprafața laterală a conului, desfășurată în plan, formează un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea g.
Arc de sector
Lungimea arcului sectorului este egală cu lungimea cercului bazei:
Raza sectorului
10. Aria și volumul conului circular drept
Aria bazei
Aria laterală
Aria totală
Volumul conului
11. Exemplu rezolvat – con
Un con circular drept are raza bazei r = 3 cm și înălțimea h = 4 cm.
Calculăm generatoarea, aria laterală, aria totală și volumul.
12. Cilindru și con – comparație
| Element / formulă | Cilindru circular drept | Con circular drept |
|---|---|---|
| Baza | Două discuri congruente | Un disc |
| Raza bazei | r | r |
| Înălțimea | h | h |
| Generatoarea | g = h | g2 = r2 + h2 |
| Aria laterală | 2πrh | πrg |
| Aria totală | 2πrh + 2πr2 | πrg + πr2 |
| Volumul | πr2h | 1 3 πr2h |
13. Greșeli frecvente
Cilindru
- La aria totală trebuie adăugate ambele baze.
- Nu confunda lungimea cercului 2πr cu aria discului πr2.
- Volumul se exprimă în unități cubice.
Con
- Generatoarea g nu este aceeași cu înălțimea h.
- În formula ariei laterale folosim g, nu h.
- În formula volumului apare factorul 1 3 .