În lecția Puncte, Drepte, Plane. Determinarea dreptei. de geometrie pentru clasa a VIII-a înveți să reprezinți puncte, drepte și plane. Desenele și exemplele prezentate mai jos in lecția Puncte, Drepte, Plane. Determinarea dreptei, te ajută să înțelegi de ce două puncte distincte determină o dreaptă, iar trei puncte necoliniare determină un plan.”

Lecția conține explicații clare, desene și exemple utile pentru înțelegerea și aplicarea acestor noțiuni geometrice.

Reprezentarea punctelor A și B care determină dreapta d într-un plan.

Puncte, drepte, plane. Determinarea dreptei

Învață cum reprezentăm și notăm punctele, dreptele și planele în geometria în spațiu.

CLASA A VIII-A

În această lecție vei învăța:

cum reprezentăm și notăm un punct, o dreaptă și un plan;
când punctele sunt coliniare sau coplanare;
de ce două puncte distincte determină o singură dreaptă;
când trei puncte determină un plan unic;
ce relații există între puncte, drepte și plane.

1. Punctul, dreapta și planul

Acestea sunt noțiuni primare ale geometriei: le descriem prin proprietăți și reprezentări, fără să le definim prin alte noțiuni geometrice.

Punctul

Indică o poziție. Îl desenăm printr-un semn mic și îl notăm cu literă mare: A, B, C. Desenul punctului nu îi atribuie dimensiuni.

Dreapta

Este nelimitată în ambele sensuri. O desenăm doar parțial și o notăm cu literă mică, de exemplu d, sau prin două puncte distincte ale ei: AB.

Planul

Este nelimitat în toate direcțiile sale. Îl reprezentăm printr-un paralelogram și îl notăm, de exemplu, cu α. Prin trei puncte necoliniare îl putem nota și (ABC).

Desenul arată doar o parte din dreaptă și din plan.

Terminologie: punctele de pe aceeași dreaptă sunt coliniare; punctele aflate în același plan sunt coplanare. Trei puncte necoliniare nu se află pe aceeași dreaptă.

2. Cum se determină o dreaptă?

A₁. Axioma dreptei: Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una. Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte.

Dacă A și B sunt distincte, dreapta determinată de ele se poate nota AB. Printr-un singur punct putem trasa o infinitate drepte

A și B sunt puncte distincte de pe dreapta d, deci d = AB.

Exemplu. Dacă A, B și C sunt coliniare, denumirile AB, AC și BC indică aceeași dreaptă. Dacă A, B și C sunt necoliniare, fiecare pereche determină o dreaptă diferită: AB, AC și BC.

Condiția „distincte” este esențială. Dacă A și B coincid, nu obținem o dreaptă unică.

Paralela printr-un punct exterior

A₂. Axioma paralelelor (postulatul lui Euclid): Într-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă și numai una la acea dreaptă.

A ∉ d, iar în planul α dreapta d′ trece prin A și este paralelă cu d.

3. Cum se determină un plan?

A₃. Axioma planului: Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul. Orice plan conține cel puțin trei puncte necoliniare.

Dacă A, B și C nu sunt pe aceeași dreaptă, planul lor se notează (ABC). Trei puncte coliniare nu determină un plan unic: prin dreapta lor pot trece mai multe plane.

A, B și C sunt necoliniare, iar planul α poate fi notat (ABC).

Patru puncte necoplanare sunt patru puncte care nu se află toate în același plan. Orice trei puncte se află într-un plan, însă acest lucru nu garantează că și al patrulea aparține acelui plan.

4. Alte axiome despre puncte, drepte și plane

A₄. Dacă două puncte distincte aparțin unui plan, atunci dreapta determinată de ele are toate punctele în acel plan.

De exemplu, dacă A ∈ α și B ∈ α, cu A ≠ B, atunci AB ⊂ α. Simbolul ∈ arată că un punct aparține planului; ⊂ arată că toate punctele dreptei aparțin planului.

A și B sunt în planul α, deci toate punctele dreptei AB sunt în α.

A₅. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci ele mai au cel puțin încă un punct comun.

Consecință: Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună. Dreapta este intersecția celor două plane.

A și B sunt puncte comune planelor distincte α și β; dreapta lor comună este d = AB.

A₆. Există patru puncte care nu sunt situate în același plan. Acestea se numesc necoplanare.

A, B și C sunt în planul α, iar D este în afara lui: cele patru puncte sunt necoplanare.

Dacă planele distincte α și β au punctele distincte A și B în comun, dreapta lor comună este AB.

De reținut

Două puncte distincte determină o dreaptă unică.
Trei puncte necoliniare determină un plan unic.
Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt într-un plan, dreapta este în acel plan.
Două plane distincte care au un punct comun se intersectează după o dreaptă.

Verifică dacă ai înțeles

Câte drepte distincte determină trei puncte necoliniare? Dar trei puncte coliniare?
De ce nu este suficient un singur punct pentru a determina o dreaptă?
Ce condiție trebuie să îndeplinească trei puncte pentru a determina un singur plan?
Dacă A și B aparțin la două plane distincte, ce dreaptă au în comun planele?

Matematica devine mai ușoară când înțelegi logica

Descarcă lecția sau continuă să înveți cu Math More Easy.