Unghiuri opuse la vârf clasa a 6-a este o lecție importantă pentru înțelegerea relațiilor dintre unghiurile formate atunci când două drepte se intersectează. Prin desene, exemple și exerciții vei învăța să identifici corect aceste unghiuri și să folosești proprietățile lor în calcule.

Atunci când două drepte se intersectează, se formează patru unghiuri. Două unghiuri aflate unul în fața celuilalt se numesc unghiuri opuse la vârf. Ele au același vârf, iar laturile unuia sunt semidrepte opuse laturilor celuilalt.

Unghiuri opuse la vârf clasa a 6-a și congruența unghiurilor

Unghiuri opuse la vârf.
Congruența unghiurilor opuse la vârf

Învață cum recunoști unghiurile opuse la vârf și de ce acestea au întotdeauna aceeași măsură.

CLASA A VI-A

Urmărește lecția video

Urmărește explicația video despre unghiurile opuse la vârf și află cum le recunoști și de ce acestea sunt congruente.

Vezi video pe YouTube

În această lecție vei învăța:

  • ce sunt semidreptele opuse;
  • cum se formează unghiurile opuse la vârf;
  • cum recunoști două unghiuri opuse la vârf;
  • care sunt perechile de unghiuri opuse la vârf;
  • de ce unghiurile opuse la vârf sunt congruente;
  • cum calculezi măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente.

1. Două drepte concurente

Considerăm două drepte MN și PQ care se intersectează în punctul O.

Pe dreapta MN, semidreptele OM și ON au aceeași origine, dar sensuri opuse.

Prin urmare, OM și ON sunt semidrepte opuse.

În același mod, pe dreapta PQ, semidreptele OP și OQ sunt semidrepte opuse.

Observă:
M, O și N sunt puncte coliniare, iar P, O și Q sunt puncte coliniare.
M N P Q O

2. Unghiuri opuse la vârf

Două unghiuri proprii se numesc unghiuri opuse la vârf dacă laturile lor sunt, două câte două, semidrepte opuse.
M N P Q O

Prima pereche

∠MOQ și ∠NOP

Laturile OM și ON sunt semidrepte opuse, iar laturile OQ și OP sunt semidrepte opuse.

Prin urmare, ∠MOQ și ∠NOP sunt unghiuri opuse la vârf.

A doua pereche

∠MOP și ∠NOQ

Și în acest caz, laturile celor două unghiuri sunt, două câte două, semidrepte opuse.

Deci ∠MOP și ∠NOQ sunt unghiuri opuse la vârf.

3. Cum recunoști unghiurile opuse la vârf?

Pentru a verifica dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, urmărește aceste trei idei:

1

Același vârf

Cele două unghiuri au același vârf.

2

Laturi opuse

Fiecare latură a unui unghi este semidreapta opusă unei laturi a celuilalt unghi.

3

Sunt față în față

În desen, cele două unghiuri se află de o parte și de alta a punctului de intersecție.

Atenție: faptul că două unghiuri au același vârf nu este suficient pentru ca ele să fie opuse la vârf. Trebuie verificat și faptul că laturile lor sunt perechi de semidrepte opuse.

4. Congruența unghiurilor opuse la vârf

Teoremă Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

Cu alte cuvinte, două unghiuri opuse la vârf au aceeași măsură.

Prima pereche

∠MOQ ≡ ∠NOP
m(∠MOQ) = m(∠NOP)

A doua pereche

∠MOP ≡ ∠NOQ
m(∠MOP) = m(∠NOQ)

5. De ce sunt congruente?

Demonstrăm că unghiurile ∠MOQ și ∠NOP, care sunt opuse la vârf, au aceeași măsură.

M N P Q O
Ideea demonstrației:
folosim faptul că unghiurile formate de două semidrepte opuse alcătuiesc un unghi alungit de 180°.
1

Semidreptele OM și ON sunt semidrepte opuse.

Prin urmare, ∠MON este un unghi alungit.

m(∠MOQ) + m(∠QON) = 180°
m(∠MOQ) = 180° − m(∠QON)
2

Semidreptele OP și OQ sunt semidrepte opuse.

Prin urmare, ∠POQ este un unghi alungit.

m(∠NOP) + m(∠QON) = 180°
m(∠NOP) = 180° − m(∠QON)
3

Am obținut:

m(∠MOQ) = 180° − m(∠QON)
m(∠NOP) = 180° − m(∠QON)

Cele două măsuri sunt egale cu aceeași valoare. Prin urmare:

m(∠MOQ) = m(∠NOP)
Concluzie∠MOQ ≡ ∠NOP

Așadar, unghiurile opuse la vârf sunt congruente.

6. Exemplu rezolvat

M N P Q O68°
EXEMPLU

Dreptele MN și PQ sunt concurente în O și:

m(∠MOQ) = 68°

Calculăm măsurile celorlalte trei unghiuri.

Pasul 1

∠MOQ și ∠NOP sunt opuse la vârf, deci sunt congruente.

m(∠NOP) = 68°

Pasul 2

∠MOQ și ∠QON formează împreună un unghi alungit.

m(∠QON) = 180° − 68°
m(∠QON) = 112°

Pasul 3

∠QON și ∠MOP sunt opuse la vârf.

m(∠MOP) = 112°
Cele patru unghiuri au măsurile: 68°, 112°, 68°, 112°.

7. Exemplu cu necunoscută

Două unghiuri opuse la vârf au măsurile 3x + 10° și 5x − 30°. Determinăm valoarea lui x și măsura unghiurilor.

Folosim proprietatea

Unghiurile sunt opuse la vârf, deci au măsuri egale.

3x + 10° = 5x − 30°
3x + 10 = 5x − 30
40 = 2x
x = 20

Calculăm măsura

3 · 20 + 10°
= 60° + 10°
= 70°

Unghiul opus la vârf are aceeași măsură:

70°
Celelalte două unghiuri au fiecare măsura:
180° − 70° = 110°

8. Greșeli frecvente

Greșeala 1: considerăm orice două unghiuri cu același vârf ca fiind opuse la vârf.
Nu este suficient să aibă același vârf. Laturile lor trebuie să fie, două câte două, semidrepte opuse.
Greșeala 2: confundăm unghiurile alăturate cu cele opuse la vârf.
Unghiurile opuse la vârf se află față în față, nu unul lângă celălalt.
Greșeala 3: presupunem că unghiurile opuse la vârf au întotdeauna 90°.
Unghiurile opuse la vârf pot avea diferite măsuri. Proprietatea importantă este că cele două unghiuri opuse au aceeași măsură.
Greșeala 4: confundăm congruența cu suma de 180°.
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Unghiurile alăturate determinate de două drepte concurente formează împreună un unghi alungit și au suma măsurilor de 180°.

De reținut

  • Două unghiuri proprii sunt opuse la vârf dacă laturile lor sunt, două câte două, semidrepte opuse.
  • La intersecția a două drepte se formează două perechi de unghiuri opuse la vârf.
  • Unghiurile opuse la vârf sunt congruente.
  • Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci măsurile lor sunt egale.
  • Dacă ∠MOQ și ∠NOP sunt opuse la vârf, atunci:
    m(∠MOQ) = m(∠NOP)
  • Cunoscând măsura unuia dintre cele patru unghiuri, putem determina măsurile celorlalte trei.

Leave a Comment

Scroll to Top