Unghiurile în jurul unui punct apar atunci când mai multe semidrepte au aceeași origine și formează mai multe unghiuri consecutive. Împreună, acestea formează un unghi complet.

Proprietatea esențială pe care trebuie să o reții este că suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este 360°.

Dacă sunt cunoscute măsurile mai multor unghiuri, această proprietate poate fi folosită pentru determinarea unei măsuri necunoscute. Adunăm măsurile unghiurilor cunoscute și scădem rezultatul din 360°.

Unghiuri în jurul unui punct cu suma măsurilor egală cu 360°

Unghiuri în jurul unui punct.
Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct

Învață cum recunoști unghiurile formate în jurul unui punct și cum folosești suma măsurilor lor pentru a determina unghiuri necunoscute.

CLASA A VI-A

Urmărește lecția video

Urmărește explicația video despre unghiurile în jurul unui punct și află de ce suma măsurilor lor este întotdeauna 360°.

Vezi video pe YouTube

În această lecție vei învăța:

ce înseamnă unghiuri în jurul unui punct;
cum recunoști unghiurile în jurul unui punct;
care sunt condițiile pe care trebuie să le îndeplinească;
care este suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct;
cum calculezi măsura unui unghi necunoscut;
cum verifici dacă mai multe unghiuri formează unghiuri în jurul unui punct.

1. Ce sunt unghiurile în jurul unui punct?

Considerăm mai multe semidrepte cu aceeași origine O. Acestea determină mai multe unghiuri în jurul punctului O.

Trei sau mai multe unghiuri se numesc unghiuri în jurul unui punct O dacă au proprietățile:

1Toate au același vârf.

Vârful comun este punctul O.

2Orice punct al planului diferit de O aparține interiorului unui singur unghi.

Observă: unghiurile sunt așezate unul după altul și acoperă complet regiunea din jurul punctului O, fără goluri și fără suprapuneri ale interioarelor.

2. Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct

Proprietate Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu 360°.

În desen, semidreptele OA, OB, OC și OD determină patru unghiuri în jurul punctului O:

∠AOB

∠BOC

∠COD

∠DOA

m(∠AOB) + m(∠BOC) + m(∠COD) + m(∠DOA) = 360°

De ce 360°?
Împreună, unghiurile acoperă o rotație completă în jurul punctului O, iar o rotație completă are măsura de 360°.

3. Nu contează câte unghiuri avem

În jurul aceluiași punct pot exista trei, patru, cinci sau mai multe unghiuri. Dacă ele îndeplinesc condițiile pentru a fi unghiuri în jurul unui punct, suma măsurilor lor rămâne 360°.

Trei unghiuri

α + β + γ = 360°

Patru unghiuri

α + β + γ + δ = 360°

Cinci unghiuri

α + β + γ + δ + ε = 360°

Important Numărul unghiurilor se poate schimba, dar suma măsurilor lor este 360°.

4. Exemplu rezolvat

EXEMPLU

Patru unghiuri în jurul punctului O au măsurile:

80°, 110°, 70° și x°

Determinăm valoarea lui x.

Pasul 1

Suma măsurilor unghiurilor în jurul punctului este 360°.

80° + 110° + 70° + x = 360°

Pasul 2

260° + x = 360°

Pasul 3

x = 360° − 260°
x = 100°

Unghiul necunoscut are măsura de 100°.

5. Exemplu cu trei unghiuri congruente

În jurul punctului O sunt formate trei unghiuri congruente. Calculăm măsura fiecărui unghi.

Ce știm?

Unghiurile sunt congruente, deci au aceeași măsură.

Notăm măsura fiecăruia cu x.

x + x + x = 360°

Calculăm

3x = 360°

x = 360° : 3

x = 120°

Fiecare dintre cele trei unghiuri are măsura de 120°.

6. Cum calculăm un unghi necunoscut?

Atunci când cunoaștem măsurile tuturor unghiurilor în afară de unul, putem folosi direct proprietatea sumei de 360°.

1Scriem suma tuturor unghiurilor.

m(∠1) + m(∠2) + ... + m(∠n) = 360°

2Adunăm măsurile cunoscute.

3Scădem suma obținută din 360°.

unghiul necunoscut = 360° − suma unghiurilor cunoscute

7. Greșeli frecvente

Greșeala 1: folosim 180° în loc de 360°.
Pentru unghiurile în jurul unui punct folosim 360°.

Greșeala 2: considerăm că orice unghiuri care au același vârf sunt automat unghiuri în jurul unui punct.
Ele trebuie să acopere complet regiunea din jurul punctului, iar interioarele lor să nu se suprapună.

Greșeala 3: uităm unul dintre unghiurile din jurul punctului.
Înainte de calcul, identificăm toate unghiurile care alcătuiesc rotația completă.

Greșeala 4: presupunem că unghiurile trebuie să fie congruente.
Unghiurile în jurul unui punct pot avea măsuri diferite. Important este ca suma măsurilor lor să fie 360°.

De reținut

Unghiurile în jurul unui punct au același vârf.
Interioarele lor nu se suprapun și împreună acoperă regiunea din jurul punctului.
Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este 360°.
Proprietatea este valabilă indiferent de numărul unghiurilor care formează rotația completă.
Pentru a calcula un unghi necunoscut, scădem din 360° suma măsurilor celorlalte unghiuri.