Intervale de numere reale. Definiție. Reprezentarea pe axă

Învață să recunoști și să scrii corect intervalele de numere reale, să treci de la inegalități la intervale și invers și să le reprezinți pe axa numerelor. Vei descoperi diferența dintre intervalele deschise, închise, mărginite și nemărginite și regulile de folosire a parantezelor.

Intervale în R – definiție, notații și reprezentarea intervalelor pe axa numerelor reale, clasa a VIII-a

Intervale în ℝ. Definiție.
Reprezentarea pe axă

Învață ce sunt intervalele de numere reale, cum le scrii folosind paranteze, cum le exprimi prin inegalități și cum le reprezinți corect pe axa numerelor.

CLASA A VIII-A

În această lecție vei învăța:

ce este un interval de numere reale;
care sunt tipurile de intervale mărginite și nemărginite;
cum treci de la inegalitate la interval și invers;
cum reprezinți corect un interval pe axa numerelor;
cum recunoști extremitățile incluse și neincluse.

Urmărește lecția video

Urmărește explicația video despre intervalele de numere reale și reprezentarea lor pe axă, apoi continuă cu teoria și exemplele.

1. Ce este un interval?

Fie a, b ∈ ℝ, cu a < b. Un interval este o mulțime de numere reale cuprinse între două valori date, numite extremități.

I = {x ∈ ℝ | x verifică o anumită condiție}

Observă: extremitățile unui interval pot fi incluse sau neincluse în interval. De aici apar cele patru tipuri de intervale mărginite.

2. Intervale mărginite

Fie a, b ∈ ℝ, cu a < b. În funcție de apartenența extremităților, avem patru tipuri.

1 Interval închis

[a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

Ambele extremități aparțin intervalului.

a b

2 Interval deschis

(a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}

Niciuna dintre extremități nu aparține intervalului.

a b

3 Închis la stânga

[a, b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}

a aparține intervalului, iar b nu aparține.

a b

4 Închis la dreapta

(a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}

a nu aparține intervalului, iar b aparține.

a b

3. Cum citim parantezele?

Extremitate inclusă Folosim paranteză pătrată [ ].

Extremitate exclusă Folosim paranteză rotundă ( ).

Regulă rapidă:semnele ≤ și ≥ includ extremitatea, iar semnele < și > nu o includ.

4. Intervale nemărginite

Un interval este nemărginit dacă se continuă nelimitat spre stânga sau spre dreapta axei numerelor.

Important:−∞ și +∞ nu sunt numere reale.De aceea, la infinit folosim întotdeauna paranteză rotundă.

1 De la a inclus

[a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}

2 De la a exclus

(a, +∞) = {x ∈ ℝ | x > a}

3 Până la a inclus

(−∞, a] = {x ∈ ℝ | x ≤ a}

4 Până la a exclus

(−∞, a) = {x ∈ ℝ | x < a}

5. De la inegalitate la interval

Inegalitate	Interval
a ≤ x ≤ b	x ∈ [a, b]
a < x < b	x ∈ (a, b)
a ≤ x < b	x ∈ [a, b)
a < x ≤ b	x ∈ (a, b]
x ≥ a	x ∈ [a, +∞)
x > a	x ∈ (a, +∞)
x ≤ a	x ∈ (−∞, a]
x < a	x ∈ (−∞, a)

6. Exemple rezolvate

Exemplul 1

Scriem sub formă de interval:

−3 ≤ x < 5

−3 este inclus, iar 5 este exclus.

x ∈ [−3, 5)

Exemplul 2

Scriem intervalul sub formă de inegalitate:

x ∈ (2, 7]

2 este exclus, iar 7 este inclus.

2 < x ≤ 7

Exemplul 3

Scriem ca interval:

x ≥ −1

Valoarea −1 este inclusă, iar intervalul continuă spre +∞.

x ∈ [−1, +∞)

Exemplul 4

Rezolvăm inegalitatea:

2x − 1 < 7

2x < 8 ⇔ x < 4

Prin urmare:

x ∈ (−∞, 4)

7. Reprezentarea pe axă

Pentru a reprezenta corect un interval pe axa numerelor:

1. Identificăm extremitățile intervalului.

2. Stabilim dacă fiecare extremitate este inclusă sau exclusă.

3. Folosim un punct plin pentru o extremitate inclusă și un punct gol pentru o extremitate exclusă.

4. Evidențiem partea axei formată din numerele care aparțin intervalului.

8. Greșeli frecvente

Paranteză greșităPentru x ≥ 3 scriem [3, +∞), nu (3, +∞).

Infinit inclusNu scriem [a, +∞]. Infinitul nu este număr real.

Punct plin la < sau >Pentru x < 5, numărul 5 nu aparține intervalului.

Punct gol la ≤ sau ≥Pentru x ≤ 5, numărul 5 aparține intervalului.

De reținut

≤ sau ≥Extremitatea este inclusă.
Folosim paranteză pătrată.

< sau >Extremitatea este exclusă.
Folosim paranteză rotundă.

−∞ și +∞Nu sunt numere reale.
Paranteza este întotdeauna rotundă.

Descarcă lecția PDF Vezi Clasa a VIII-a Exerciții – Intervale în ℝ

Intervale în ℝ. Definiție. Reprezentarea pe axă