Alege modelul și învață pas cu pas

Ordinea de calcul

• Mai întâi calculăm puterile și radicalii.
• Apoi efectuăm înmulțirile și împărțirile.
• La final efectuăm adunările și scăderile.
• Înmulțirea și împărțirea au aceeași prioritate. Le efectuăm de la stânga la dreapta, în ordinea apariției.
• Adunarea și scăderea au aceeași prioritate. Și pe acestea le efectuăm de la stânga la dreapta.

Atenție: 12 : 4 × 2 = 6, nu 12 : 8. Împărțirea și înmulțirea se fac de la stânga la dreapta.

Reguli

• Calculăm mai întâi expresia din paranteza cea mai interioară.
• În fiecare paranteză respectăm ordinea operațiilor.
• Dacă există mai multe niveluri, lucrăm de regulă în ordinea: paranteze rotunde, paranteze pătrate, acolade.
• După eliminarea parantezelor, continuăm cu ordinea obișnuită a operațiilor.
• Semnul din fața parantezei contează: la scăderea unei paranteze, semnele termenilor se schimbă când o desfacem.

Atenție: „întâi paranteza” nu înseamnă că în interior calculăm automat de la stânga la dreapta.

Adunare și scădere

• La adunarea numerelor cu același semn, adunăm modulele și păstrăm semnul comun.
• La adunarea numerelor cu semne diferite, scădem modulele și păstrăm semnul numărului cu modulul mai mare.
• Scăderea unui număr înseamnă adunarea opusului său: a − b = a + (−b).

Înmulțire și împărțire

• Semne identice: rezultat pozitiv. Semne diferite: rezultat negativ.
• Produsul unui număr cu zero este zero. Împărțirea la zero nu este definită.

Atenție: regulile semnelor pentru înmulțire nu se aplică automat la adunare.

Noțiuni de bază

• aⁿ înseamnă produsul a · a · ... · a, cu n factori, pentru n natural pozitiv.
• a¹ = a și a⁰ = 1 pentru a ≠ 0.
• Puterea cu exponent par a unui număr negativ este pozitivă; puterea cu exponent impar este negativă.
• Puterile se calculează înaintea înmulțirilor și împărțirilor, dacă parantezele nu impun altă ordine.
• Pentru aceeași bază: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ și aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, când împărțirea are sens.

Atenție: −3² = −9, în timp ce (−3)² = 9. Parantezele schimbă baza puterii.

Ce reprezintă fracția

• Numărătorul este deasupra liniei de fracție; numitorul este dedesubt și trebuie să fie diferit de zero.
• O fracție este subunitară, echiunitară sau supraunitară după cum numărătorul este mai mic, egal sau mai mare decât numitorul pozitiv.
• Amplificăm sau simplificăm înmulțind, respectiv împărțind numărătorul și numitorul cu același număr nenul.

Operații

• La adunare și scădere folosim un numitor comun și operăm cu numărătorii.
• La înmulțire înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei; simplificăm când este posibil.
• La împărțire înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua, care trebuie să fie nenulă.
• Pentru a afla o fracție dintr-un număr, înmulțim numărul cu fracția.

Atenție: nu adunăm numitorii. Fracțiile ordinare și numerele zecimale rămân teme separate.

Reguli

• La adunare și scădere așezăm virgulele una sub alta și completăm cu zerouri dacă este util.
• La înmulțire calculăm mai întâi fără virgule; în produs punem atâtea cifre după virgulă câte au împreună factorii.
• La împărțirea la un număr zecimal mutăm virgula cu același număr de poziții în deîmpărțit și în împărțitor, până când împărțitorul devine întreg.
• Putem transforma un număr zecimal finit în fracție cu numitor 10, 100, 1000 etc., apoi simplificăm.

Atenție: la adunare nu aliniem numerele după ultima cifră, ci după virgulă.

Rădăcina pătrată

• Pentru a ≥ 0, √a este numărul nenegativ al cărui pătrat este a.
• √49 = 7, deoarece 7² = 49. Rădăcina pătrată principală nu este −7.
• √(a²) = |a| pentru orice număr real a.
• Pentru a, b ≥ 0, √(ab) = √a · √b. Nu folosim această regulă pentru o sumă.

Modulul

• |a| este distanța dintre a și 0 pe axa numerelor.
• Dacă a ≥ 0, atunci |a| = a. Dacă a < 0, atunci |a| = −a.
• Modulul este întotdeauna nenegativ.

Atenție: √(a + b) nu este, în general, egal cu √a + √b.

Divizibilitate

• a este divizibil cu b, pentru b nenul, dacă există un număr întreg k astfel încât a = b · k.
• Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară; cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5; cu 10 dacă ultima cifră este 0.
• Este divizibil cu 3 sau cu 9 dacă suma cifrelor este divizibilă cu 3, respectiv cu 9.
• Pentru 4 verificăm ultimele două cifre; pentru 25 verificăm dacă ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.

Numere prime

• Un număr natural mai mare decât 1 este prim dacă are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși.
• Numărul 1 nu este prim și nu este compus. Numărul 2 este singurul număr prim par.

Relația fundamentală

• Pentru numere naturale, deîmpărțitul = împărțitorul × câtul + restul.
• Împărțitorul trebuie să fie nenul, iar restul satisface 0 ≤ rest < împărțitor.
• Dacă restul este 0, împărțirea este exactă și deîmpărțitul este divizibil cu împărțitorul.
• Putem afla restul scăzând din deîmpărțit cel mai mare multiplu al împărțitorului care nu îl depășește.

Verificare: 3 < 5. Un rest egal cu împărțitorul ar însemna că mai putem împărți o dată.

Cum citim cerința

• Identificăm mulțimea cerută: numere naturale, întregi, raționale sau reale.
• Verificăm restricțiile: număr de cifre, semn, interval, paritate, divizibilitate, „cel mai mare” sau „cel mai mic”.
• La un număr de două cifre, cifra zecilor nu poate fi 0; pentru numere negative verificăm separat semnul.
• Dacă este cerut un număr dintr-un interval, verificăm dacă extremitățile sunt incluse.
• După ce obținem un candidat, îl verificăm față de fiecare condiție din enunț.

Atenție: „cel mai mare număr negativ de două cifre” ar avea alt răspuns: −10.