Proiecțiile ortogonale pe o dreaptă reprezintă una dintre noțiunile importante din capitolul Relații metrice în triunghiul dreptunghic, studiat în clasa a VII-a.
În această lecție vei învăța ce este proiecția ortogonală pe o dreaptă. Vei afla cum se efectuează proiecția unui punct pe o dreaptă în spațiul euclidian.
Vei analiza cazurile în care un segment este oblic, paralel sau perpendicular pe dreaptă și vei observa cum se modifică proiecția sa.
Vei învăța apoi Teorema înălțimii într-un triunghi dreptunghic și formula care exprimă relația dintre înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Desenele, formulele și explicațiile pas cu pas te vor ajuta să identifici corect elementele geometrice și să aplici relațiile în exerciții și probleme.
Pentru o recapitulare mai amplă, vezi și Cursul de recapitulare la matematică pentru clasa a VII-a.
Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii
proiecția unui punct pe o dreaptă, proiecția unui segment, proprietăți ale proiecției, Teorema înălțimii și formulele importante.
1. Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă
Dacă punctul M se află în afara dreptei d, ducem perpendiculara din M pe dreapta d.Punctul de intersecție este proiecția lui M pe d.
2. Proiecția unui segment pe o dreaptă
Pentru a proiecta segmentul [AB] pe dreapta d, proiectăm ortogonal capetele A și B pe dreapta d. Dacă proiecțiile punctelor A și B sunt A′ și B′, atunci proiecția segmentului [AB] este segmentul [A′B′].
Cazul 1. Segment oblic față de dreapta d
Cazul 2. Un capăt al segmentului este pe dreapta d
Cazul 3. Segment perpendicular pe dreapta d
Observație importantă
Lungimea proiecției unui segment depinde de poziția segmentului față de dreapta pe care îl proiectăm.
- Dacă segmentul [AB] este oblic față de dreapta d, atunci lungimea proiecției sale pe dreapta d este mai mică decât lungimea segmentului [AB].
- Dacă segmentul [AB] este paralel cu dreapta d, atunci lungimea proiecției sale pe dreapta d este egală cu lungimea segmentului [AB].
- Dacă segmentul [AB] este perpendicular pe dreapta d, atunci proiecția segmentului [AB] pe dreapta d este un punct.
3. Teorema înălțimii
Considerăm triunghiul dreptunghic ABC, cu unghiul drept în A.Înălțimea AD este dusă pe ipotenuza BC și o împarte în segmentele BD și DC.
4. O altă formulă utilă pentru înălțime
Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea poate fi calculată ca fiind produsul dintre cele două catete, supra ipotenuză.
De reținut
- Proiecția ortogonală a unui punct este piciorul perpendicularei duse pe dreaptă.
- Proiecția unui segment pe o dreaptă poate fi un segment sau un punct.
- Teorema înălțimii:AD = √ BD · DC
- Formula înălțimii:AD = AB · AC BC
Continuă pregătirea pentru clasa a VII-a
Recapitulează materia, consolidează noțiunile esențiale și pregătește-te pentru matematica din clasa a VIII-a.
Vezi cursul de recapitulare Clasa a VII-aMatematica devine mai ușoară când înțelegi logica
Descarcă lecția sau continuă să înveți cu Math More Easy.