Etichetă: suma gauss

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a VII-a

clasa a VII-a"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că a început perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timp de lucru 50 minute.

 Pe foaia de test se trec toate rezolvările.

Exerciţiul I: Calculaţi:

5p     1 .   \left \{ (-\frac{3}{4}) - [(-\frac{2}{3})-(+\frac{5}{6})] \right \}:(-\frac{3}{8})

10p     2.    [(-\frac{1}{5}) ^{10}:(-\frac{1}{5}) ^{6}:(-\frac{1}{5}) ^{4}] ^{4}:(\frac{9}{5}-2) ^{3}:(1-\frac{2}{7})

10p   3.     0,1(6)-[(0,25-1\frac{1}{2})-(0,(3)-2\frac{1}{3})]

10p   4.   \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+.....+\frac{1}{99\cdot 100}

  • Rezolvaţi ecuaţiile

 10p      1.   \frac{x+4}{{5}}-\frac{x+2}{{3}}=\frac{2x}{{15}}-\frac{x+1}{{3}}

5p       2.   1\frac{1}{2}\cdot x-0,5=(-\frac{3}{{2}})^{2}

10p         3. \left \| 2x+1 \right \|=7

10p        4. Un obiect se scumpeşte cu 20%. Ştiind că după scumpire preţul obiectului este de 30 lei, aflaţi preţul iniţial al obiectului.

  • Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete şi desenul:

20p       1. În trapezul isoscel ABCD (AB\parallel CD, AB<CD), AB = 5cm, BC = 6cm şi m(\widehat{AOB})=60 ^{\circ} .  Calculaţi:

a) Calculaţi dimensiunea laturii CD.

b) Dacă  AB\bigcap BC=\left \{ M \right \}, calculaţi perimetrul  \Delta MCD.

Ps: Dragul meu părinte, dacă copilul tău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit  pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni  şi care  vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze  dar mai ales mult succes la teza de la şcoală! 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici:teza-de-evaluare-vii-semestriala-la-matematica

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a VI-a

clasa a VI-a"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că a început perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timp de lucru 50 minute.

Subiectul I. Pe foaia de test se trec numai rezultatele (30p):

5p     1 . Mulțimea divizorilor lui 30 este............................................................

5p     2.Rezultatul calculului \left [ 2\frac{1}{5}-0,(4)+\frac{1}{45} \right ]:(1\frac{1}{3}) ^{2} este: ..............................

5p   3. Număr mai mare decât 30 care are exact 2 divizori este:…………………..

5p   4. Suplementul unghiului de masura  115^{{\circ}}  este ………………………………

5p    5. Complementul unui unghi cu măsura de  31^{{\circ}} are măsura de         ............................................................

  • Subiectul II. Pe foaia de teză se alege răspunsul corect prin încercuire (20p):

 5p      1.   Aflați c.m.m.m.c al numerelor 12, 20.

10p     2. Dacă punctele A , B , C sunt coliniare (în această ordine); AB=12cm; AC=22cm atunci

a) BC=.....................................................................................

b)Distanța dintre mijloacele segmentelor AB și BC este........................

5P     3. Determinți x dacă

59x2

  • Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete(30p):

10p       1.  Arătaţi că numărul : A=1+3+5+7+.................+2015 se divide cu 7.

8 p       2.   Determinați măsurile unghiurilor formate de două drepte concurente știind că unul din unghiurile formate este cu  30^{{\circ}} mai mare decât alt unghi format.

10p         3.   Determinaţi valorile naturale ale lui x pentru care \frac{9}{2x-1}} este număr natural.

12p.        4.  Fie unghiurile AOB şi BOC adiacente suplementare  cu m(\widehat{AOB})=70 ^{\circ}   iar [OE   bisectoarea  \widehat{AOB} si [OF bisectoarea  \widehat{BOC} . Calculati:

a) m(\widehat{BOC})=?

b) m(\widehat{EOF})=?

c) m(\widehat{AOF})=?

Ps: Dragul meu părinte, dacă copilultău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit  pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni  şi care  vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze  dar mai ales mult succes la teza de la şcoală! 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici: teza-de-evaluare-vi-semestriala-la-matematica

Propunere Model Teza Semestriala (I) clasa a V-a

Clasa a V-a"Succesul înseamnă a fi în stare să mergi din eșec în eșec, fără să-ți pierzi entuziasmul" spunea Winston Churchill.

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit!Pentru că de mâine începe perioada tezelor semestriale, iar copilul tău trebuie să repete toate noţiunile învăţate în acest semestru m-am gândit să vă ajut cu un model de teză care îl va ajuta să parcurgă materia studiată pâna în acest moment.

(mai mult…)

  • Toate subiectele sunt obligatorii.
  • Se acordă 20 puncte din oficiu.
  • Timp de lucru 50 minute.

Subiectul I. Pe foaia de test se trec numai rezultatele (30p):

  • 5p     1 Rezultatul calculului 12 – 12 : 2  este………….
  • 5p     2. Dacă   2x + 3 = 7 , atunci x= ……………...5p     3. Dintre numerele :  a=2 ^{72} şi b=4 ^{37} mai mare este numărul:                 .....................………………….5p    4. Rotunjind prin lipsă la sute numărul 5247 obţinem:  ...................5p    5. Restul împărţirii numărului natural 177 la 18 , este….…………….5p    6. Numărul divizorilor numărului natural 16 , este………………..
  • Subiectul II. Pe foaia de teză se alege răspunsul corect prin încercuire (20p):

 5p   7.Numărul natural divizibil cu 2, dar care nu este divizibil cu 5, este :

80                            ‚82                       ƒ85                     „ 87

5p   8.Media aritmetică a două numere natural este 14, atunci numerele sunt :

12 şi 18                    ‚18 şi 14              ƒ14 şi 16             „12 şi 16

5p   9. Soluţia inecuaţiei   x \in N^{\star} , 7x + 12 < 26 , este:

1                               ‚ 2                ƒ 3                    „   4

5p   10.Numărul natural 25487 aproximat , prin adaos la sute de unităţi este :

 25000                 ‚ 25400       ƒ 25500     „ 30000

  • Subiectul III. Pe foaia de test se trec rezolvările complete(30p):

5p     9. O persoană cumpără de la piaţă 12 kg cartofi, 16 kg roşii şi 18 kg castraveţi. Ştiind că 1kg de cartofi costă 2 lei , 1 kg de roşii costă 6 lei , iar 1 kg de castraveţi costă 4 lei, determinaţi ce rest a primit persoana la o bacnotă de 200 lei.

10p   10. Efectuaţi:  102\cdot [ 4 + 5\cdot 3^{2} - 2^{7} + 4^{2}\cdot (49-3^{2}) : 2^{3} ] ^{}

5p    11. Trei elevi au împreună 200 de timbre. Primul are 35 de timbre mai mult decât al doilea , iar al treilea are cu 45 de timbre mai mult decât al doilea . Calculaţi câte timbre are fiecare.

10p  Arătaţi că numărul : b=1+3+5+7+.................+2011 este pătrat perfect.

Ps: Dragul meu părinte,dacă copilultău nu a înteles foarte bine Suma lui Gauss poţi descărca acest PDF gratuit  pe care l-am conceput special pentru copii care au dificultăţi la aceste noţiuni  şi care  vă va ajuta să stăpâniţi la perfecţie aceste noţiuni matematice dificile .

Mult succes la rezolvarea acestei teze  dar mai ales mult succes la teza de la şcoală! 

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Poţi descărca teza în format pdf de aici: teza-de-evaluare-semestriala-la-matematica

Test Initial Propus Şi Rezolvat

Clasa a V-aDragul meu părinte, bine te-am regasăsit . De ieri 15.09.2016 a început oficial anul şcolar 2016-2017.Urez pe această cale "Mult succes tuturor şcolarilor, părinţilor dar şi profesorilor".

Cum bine ştim deja din experienţa anilor trecuţi, un nou an şcolar debutează cu recapitularea noţiunilor învăţate pe parcursul anului de studiu anterior şi cu un test iniţial. Având în vedere structura acestui an 2016-2017 (15 septembrie a picat joi), majoritatea elevilor vor susţine testul iniţial săptămâna viitoare.

Dragul meu părinte, m-am gândit să propun spre exersare un model de test iniţial  pentru  clasa a V-a rezolvat, pentru a venii în ajutorul părinţilor şi a copiilor care urmaresc blogul meu.Aşadar iată prima propunere un test iniţial rezolvat pentru clasa a V-a.

Test iniţial Anul Şcolar 2016-2017

  • Subiectul I:(Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Completaţi spaţiile libere:

  1. Cel mai mic număr natural de trei cifre distincte este:  ....102....

Rezolvare: Numere distincte înseamnă numere diferite. Obţinem astfel numărul 102 drept cel mai mic număr natural de trei cifre distincte.

 

2. Diferenţa numerelor 1243 şi 756 este: ……487................

Rezolvare: Diferenţa numerelor înseamnă operaţia de scădere. Obţinem astfel numărul 1243-756= 487 .

3. Produsul numerelor 137 şi 125 este: ……17125……………

Rezolvare: Produsul numerelor înseamnă operaţia de înmulţire. Obţinem astfel numărul 137\cdot125= 17125 .

4. Numărul cu 1325 mai mare decât 23 este: ……1348…………...

Rezolvare: Facem operatie de adunare 1325+23=1348 .

5. Valoarea fracţiei \frac{3}{8} din 64 este: …24………….

Rezolvare: Pentru a calcula valoarea unei fracţii dintr-un număr împărţim pe 64 cu numitorul 8 si înmulţim cu numărătorul 3  .Obţinem astfel (64 : 8) \cdot 3= 8 \cdot 3 = 24

Subiectul II: (Pentru fiecare răspuns corect completat se primeşte cu 0,5 puncte )

Alege răspunsul corect:

  1. Numărul care împărţit la 7 dă câtul 10 şi restul 3 este :

a)    66;     b) 76;    c) 63;    d) 73.

Rezolvare: Aplicăm teorema împărţirii cu rest care îmi spune

deîmpărţitul=împărţitorul \cdot cîtul +restul

În cayul nostru deîmpărţitul = 7 \cdot 10 + 3 = 70+3 = 73

Răspuns corect punctul d)

 

  1. Ştiind că a=7 şi b=3 atunci 2a+3b este egal cu:

a)    27;     b) 23;    c) 5;    d) 15.

Rezolvare : Înlocuim "a" şi "b" şi obţinem : 2a+3b= 2 \cdot 7 + 3 \cdot 3=14 + 9 = 23

  1. Cel mai mic număr care se poate forma din numerele 7, 3 şi 2 este numărul:

a)    237;     b) 273;    c) 732;    d) 327.

Rezolvare : Numerele pe care le putem forma cu cele trei numere sunt: 732, 723, 372, 327, 273, 237. Observăm ca cel mai mic număr este 237.

  1. Perimetrul unui dreptunghi care are lungimea egală cu 25cm  şi lăţimea egală cu 10cm este egal cu:

a)    50cm;     b) 20cm;    c) 70cm;    d) 250cm.

Rezolvare : Ştim că perimetrul unei figuri geometrice este egal cu suma tuturor laturilor. Mai ştim deasemenea că dreptunghiul are 2 lungimi şi 2 lăţimi.

P = 2\cdotL+2\cdotl = 2\cdot25cm+2\cdot10cm = 50cm + 20 cm= 70 cm

  1. Succesorul numărului 5399 este:

a)    5398;     b) 5400;    c) 5300;    d) 5310.

Rezolvare : Ştim că predecesorul ete numărul dinaintea lui 5399 adică 5398, iar succesorul este primul număr după , adica 5400.

Subiectul III: (Pentru fiecare rezolvare corectă se obţine 1 punct).

   Calculaţi respectând ordinea efectuării operaţiilor:

  1. (320 : 8 + 44) – 18x3 =

Rezolvare : Întâi facem operaţiile din paranteză:

(320 : 8 + 44) – 18x3 = (40 + 44) - 54 = 84 - 54 = 30

2.   2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=

Rezolvare : Facem operaţiile din paranteza rotundă întâi împărţirea apoi adunarea restul exerciţiului îl copiem aşa cum este scris:

2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +14 :7)]=2 + 10 x [ 632 + 10 x (14 +2)]

=2 + 10 x ( 632 + 10 x16)= 2 + 10 x ( 632 + 160)= 2 + 10 x 792 = 2 + 7920 =7922.

Subiectul IV: (Pentru rezolvarea corectă se obţine cu 2 puncte)

În trei lăzi sunt 480 mere. În lada a doua sunt de 3 ori mai multe mere decât în prima, iar în a treia de 2 ori mai multe decât în a doua. Câte mere sunt în fiecare ladă?

Rezolvare : Este o problemă care se rezolvă cu ajutorul metodei grafice.

test-initial-cls-v-pb-sub-4Observăm că avem 10 segmente în figura de mai sus.

Împărţim 480 la 10 şi obţinem astfel numărul de mere din prima ladă.

480 : 10 = 48 (mere în prima ladă)

48 \cdot 3 = 144 (mere în a doua ladă)

144 \cdot 2 = 288 (mere în a treia ladă)

Probă : 48 + 144 + 288 = 480 (mere în total)

Observatie: Se acordă un punct din oficiu.

Timp estimative: 50 min.

  • Succes tuturor copiilor şi să obţineţi note mari! 
Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in  noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com
De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:
https://www.facebook.com/MathMoreEasy

 

Ridicarea la putere a unui număr natural

Clasa a V-aDragul meu părinte, bine te-am regăsit! Până acum copilul tău a învăţat adunarea, scăderea, înmulţirea şi împărţirea numerelor naturale. În clasele primare a învăţat că înmulţirea este o adunare repetată.

Iată că a sosit timpul să înveţe şi noţiuni noi cum ar fi ridicarea la putere a unui număr natural.

(mai mult…)

Să observăm:

ridicarea-la-putere-foto-1

  • Definiţie:Puterea "n" a unui număr natural "a" este produsul a n-factori egali cu numărul "a"  ridicarea-la-putere-foto-2
  • Convenţie matematică: a ^{1}=a
  •                                     a ^{0}=1    ; pentru orice    a\neq 0

ridicarea-la-putere-foto-3

  • Citim "a la puterea n"

ridicarea-la-putere-foto-4

  •  Putem reprezenta 16=4^{2}=4\cdot 4 printr-un pătrat cu 4 linii şi 4 coloane.reprezentare-16
  • O importanţă deosebită au puterile lui 10. Acestea se folosesc pentru a compara numerele foarte mari:

puterile-lui-10

  • Ce priorităţi au puterile în calcul?

rezolvare-corectarezolvare-corecta-2

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Exerciții rezolvate Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, la lecţia „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mediu, dar şi câteva cu un grad de dificultate ridicat în care voi aplica atât propietăţile Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale” dar şi propietăţile de la „Adunarea a două sau mai multe numere naturale”.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:  Ştiind că : x·y=236 şi z=123. Calculaţi: ( x·y)·z=?  şi  y·(z ·x)=?

Rezolvare:              

  • ( x·y) ·z=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”

  • ( x·y) ·z= x·y ·z =236 · 123=29 028
  • y·(z ·x)=?

Ştim din propietăţile „Înmulţirea a două sau mai multe numere naturale”

  • y·(z ·x)= y·z ·x = x·y ·z=236 ·123=29 028

RĂSPUNS CORECT: 29028

EXERCIŢIUL 2 :                  Se ştie că: x + y = 29 şi z =18. Calculaţi : x·z+ y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z+ y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z+ y·z=z·(x+y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 18·29=522

RĂSPUNS CORECT: 522

EXERCIŢIUL 3 :                Se ştie că: x-y=12 şi z=10. Calculaţi: x·z- y·z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, la prima vedere pare un exerciţiu dificil, dar nu este deloc aşa.

  • Trebuie să calculăm : x·z - y·z=?

Observăm că între cei doi termeni ai adunării putem să scoatem factor comul termenul „z”. Asftel obţinem:

  • x·z- y·z=z·(x-y)=?

Înlocuim cu valorile care ni s-au dat în enunţul exerciţiului şi obţinem:

  • 10·12=120

RĂSPUNS CORECT: 120

EXERCIŢIUL 4:                  Rezolvaţi ecuaţia şi aflaţi valoarea lui „x”:

  • x+2x+3x+...........+100x=50500

Rezolvare:

  • x+2x+3x+...........+100x=50500
  • x+2x+3x+...........+98x+99x+100x=50500

Observăm că între termeni adunării putem să scoatem factor comul termenul „x”. Asftel obţinem:

  • x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500

Am obţinut o necunoscută înmulţită cu o paranteză, iar în paranteză avem Suma Gauss a primelor 100 de numere naturale. Un astfel de exerciţiu am prezentat în postul la „Aplicaţii la adunarea numerelor naturale” .Astfel în loc de:

  • x·(1+2+3+...........+98+99+100)=50500 putem scrie:
  • x·(1+100+2+99+3+98+...........)=50500.

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia “Adunarea şi Scăderea numerelor naturale” ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • x·[(1+100)+(2+99)+(3+98)+...........)]=50500.

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 101, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • x·(101+101+101+...........+101)=50500.

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 100:2 termeni, adică 50 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 50 de termeni de 101.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 101 adunat de 50 de ori care îl putem scrie astfel:

  • x·(101·50)=50500.
  • x·5050=50500. /:5050

Obţinem astfel :

  • x=50500: 5050
  • x=10

RĂSPUNS CORECT: x=10

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

EXERCIŢIUL 5:              Dacă x+y=8 şi y+2z=35 sp se calculeze: 5x+13y+16z=?

Rezolvare:

Dragul meu părinte şi acest exerciţiu pare un exerciţiu dificil la prima vedere însă este doar un exerciţiu în care trebuie să aplicăm proprietăţile de la „Adunărea a două numere naturale” şi proprietăţile de la ”Inmulţirea a două sau mai multe numere naturale”.

  • Observăm că:              5x+13y+16z=?

Pentru că noi cunoaştem: x+y=8 şi y+2z=35 observăm în ecuaţia pe care o avem noi de calculat că putem face câteva artificii matematice care nu ne vor degrada rezultatul şi care ne sunt permise datorită proprietăţilor de la „Adunărea a două numere naturale”.

Astfel pe „13y” îl putem scrie ca: 5y+8y şi obţinem:

  • 5x+5y+8y+16z=?

Observăm că între primii doi termeni putem scoate factor comun pe 5, iar între ultimii doi termeni putem scoate factor camun pe 8, obţinem astfel:

  • 5(x+y)+8(y+2z)=?

Dar noi ştim din enunţul exerciţiului ca x+z=8 şi y+2z=35. Înlocuim în ecuaţia pe care o avem de calculat şi obţinem:

  • 5 · 8 + 8· 35 = ?

Îl scoatem factor comun pe 8 şi obţinem:

  • 8·(5 + 35) = ?
  • 8·40 = 320

RĂSPUNS CORECT: 320

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

Clasa a V-aDragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia Adunarea şi Scăderea numerelor naturale, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

 EXERCIŢIUL 1:

  • Calculaţi suma:     1+2+3+4+.........................+80 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 1+2+3+4+.........................+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  •    1+2+3+4+.........................+80 = ?

putem scrie:

  • 1+80+2+79+3+78+4+77+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" )  ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 81+81+81+81+...........= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

  • 81+81+81+81+...........+81= ?

Adică putem scrie :

  • 40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

  • Calculaţi suma: 1+3+5+.........................+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

  • 1+3+5+.........................95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

  • 1+3+5+.........................+95+97+99 = ?

putem scrie:

  • 1+99+3+97+5+95+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" )  ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

  • (1+99)+(3+97)+(5+95)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

  • 100+100+100+...........= ?
  • Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

  • În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

  • 100+100+100+100+...........+100= ?

Adică putem scrie :

  • 25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

  • Calculaţi suma: 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

 Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

  • 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

  • 2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

  • 667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

  • 3+6+9+12+.........................+1992+1995+1998+2001 = ?
  • 3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+...................= ?
  • (3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+...........+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

  • 2004+2004+2004+2004+.........................+termenul liber = ?

Adică:

  • 333 x 2004 + termenul liber = ?
  • Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

  • 2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

  • 333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

  • 667 332+ 1002= ?
  • 668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Adunarea și Scăderea Numerelor Naturale

Clasa a V-a

Dragul meu părinte, bine te-am regăsit. 

  • Adunarea a două sau mai multe numere naturale este un număr numit suma numerelor naturale şi se notează:

    a + b = c 

  • unde „a” şi „b” se numesc termenii sumei iar „c” se numeşte suma numerelor naturale.

De asemenea, este esenţial să reţină proprietăţile adunării:

  • Comutativitatea:(dacă schimbăm poziţia termenilor rezultatul rămâne neschimbat).

a+b=b+a

  • Exemplu:
  • 3+4 = 4+3 = 7

  • 3+4 = 42+3+5 = 3+5+2 = 5+3+2 = 10
  • Asociativitatea:

 (a+b)+c=a+(b+c)

  • Exemplu:
  • (2+3)+5 = 2+(3+5) = 10
  • Element neutru: pe 0.

    Elementul neutru este un număr natural care adunat la un număr, suma celor 2 numere este egală cu numărul natural dat.

a+0=0+a=a

  • Exemplu:
  • 3+0 = 0+3 = 3.

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE:

Scăderea a două (sau mai multe) numere naturale este un număr natural unic, numit diferenţă şi se notează: „a -b” cu proprietatea că a>b ;

  • a” şi „b” se numesc termenii diferenţei.
a - b = c, 
  • unde:  „a” se numeşte descăzut;
  • „b”  se numeste scăzător;
  • „c” se numeşte diferenţă;
  • Scăderea nu este comutativă, nu este asociativă şi nu are element neutru.

O greşeală frecventă facută de elevi la această lecţie este confuzia între denumirea termenilor adunării şi scăderii numerelor naturale.

De asemenea, elevii mai fac frecvent greşeala de a spune că scăderea are proprietăţi de:

  • asociativitate;
  • comutativitate;
  • element neutru.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas accesează link-ul de mai jos:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi  !

Math More Easy - YouTubehttps:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

  Clasa a V-a"În acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii frecvent întâlnite la lecţia Scrierea şi citirea numerelor naturale".

EXERCIŢIUL  1:

  •   Aflaţi cel mai mare număr natural de forma  $\displaystyle \overline{aa}$.

Rezolvare:

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  •  În acest caz rezultă  că  a = 9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{aa}$  este 99.

Răspuns corect:

                        99

  EXERCIŢIUL  2:

  • Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{abc}$:

Rezolvare:

  •  Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • În acest caz exerciţiul ne cere să aflăm cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ :    rezultă  că a=b=c=9.
  • Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma  $\displaystyle \overline{abc}$ este 999.

Răspuns corect:

               999          999

  EXERCIŢIUL  3 :  

  •  Aflaţi cel mai mare număr natural de forma :$\displaystyle \overline{abc}$  format din cifre distincte.

Rezolvare: 

  • Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
  • Acest exerciţiu ne cere cel mai mare număr natural format din cifre distincte deci în acest caz .
  • În  exerciţiul nostru, pentru ca numărul natural de  forma să fie cel mai mare trebuie să aibă cifra sutelor egală cu 9.
  •                     a =  Cifra Sutelor       
  •                     b =  Cifra Zecilor   
  •                     c = Cifra Unităţi
  • În concluzie  a = 9.
  • Dar ştim că a\neq b\neq c.
  • În concluzie b şi c nu pot lua valoarea 9.
  • Dar ştim că 8 şi 7 sunt următoarele numere naturale cele mai mari după 9. 
  • În concluzie cifra zecilor a numărului nostru trebuie să fie 8, deci b=8, iar cifra unităţilor să fie 7 rezultă că c = 7.
  • Astfel obţinem numărul 987.

Răspuns corect:      987

EXERCIŢIUL  4 :

  • Ø Scrieţi toate numerele naturale de forma $ \displaystyle \overline{xyzt}$ cu condiţia ca $ x+y=z+t=4$  cu x, z, y, t distincte.

Rezolvare:

  •   Exerciţiul nostru, spune că x, y, z, t sunt distincte, deci x\neq y\neq z\neq t şi că $ \begin{array}{l}x+y=4\\z+t=4\end{array}$
  • Analizând această condiţie obţinem:$ \begin{array}{l}0+4=4\\1+3=4\\3+1=4\\4+0=4\end{array}$
  •   În concluzie numerele noastre x, y, z, t pot lua pe rând valorile 0, 1, 3, 4.
  • Şi acum să vedem ce variante avem:
  • VariantaVarianta 2Varianta 1:           $ \displaystyle x=0,\text{ }y=4,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$                        

Obţinem numărul de forma : 0413 care nu respectă condiţia impusă de exerciţiul nostru pentru că numărul nostru trebuie să fie format din patru numere.

  • Varianta 2 :       $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul 4013 

  • Varianta 3 :     $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=3,\text{ }t=1.$

  Obţinem numărul 4031 

  • Varianta 4 :        $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$                           

Obţinem numărul 1304. 

  • Varianta 5:       $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 1340.

  • Varianta 6 :     $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 3104.

  • Varianta 7 :       $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 3140.

Răspuns corect:    1304, 1340, 3104, 3140, 4013, 4031

 

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!