operatii cu multimi - Matematica Mai Usoara

Tag: operatii cu multimi

09
Sep
2018

Exerciții rezolvate la Adunarea și Scăderea Fracțiilor

"Învată tot ce poți, în orice moment disponibil, de la oricine și întotdeuna va veni o vreme când te vei simți recompensat pentru ceea ce ai învațat"

Sarah Caldwel

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună cateva exerciții la "Adunarea și Scăderea Fracțiilor".

Exercițiul 1: Calculați:

a) $\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$

b) $-\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=$

c) $-\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=$

d) $-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=$

Rezolvare:

a) $\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$

Observăm că cele 3 fracții au acelasi numitor, în acest caz efectuez calculele între numărători și pastrez numitorul.

$-\frac{7}{13}+\frac{2}{13}+\frac{5}{13}=$ $\frac{7+2+5}{13}=$ $\frac{14}{13}$

b) $-\frac{10}{9}+\frac{11}{9}+(-\frac{7}{9})=$ $\frac{-10+11-7}{9}=$

Avem la numărător $-10+11-7$ numere întregi cu semne diferite așa că vom respecta regula de adunare dacă termenii au semne diferite pastrăm semnul celui mai mare și efectuăm scădere. Noi avem $-10+11$ păstrăm semnul + și efectuîm 11-10

$\frac{-10+11-7}{9}=$ $\frac{+1-7}{9}=$ $\frac{-6}{9}=$ $\frac{-6}{9}^{(3}=$ $\frac{-2}{3}$

c) $-\frac{3}{{5}}+(-\frac{5}{{6}})+(+\frac{1}{{2}})+(+\frac{4}{{15}})=$

Observăm că în acest exercițiu fracțiile au numitor diferit așa că trebuie să determinăm numitorul comun.

Pentru a determina numitorul comun trebuie să calculăm c.m.m.m.c-ul numerelor de la numitor 5, 6, 2, 15.

Descompunem în factori primi cele 4 numere:

$5=5$

$6=2\cdot3$

$2=2$

$15=3\cdot5$

Calculăm c.m.m.m.c $\left [ 5,6,2,15 \right ]=2\cdot3\cdot5=30$

Deci numitorul comun este 30.

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 30.

$-_{{}}^{6)}\textrm{\frac{3}{{5}}}+(-_{{}}^{5)}\textrm{\frac{5}{{6}}})+ (+_{{}}^{15)}\textrm{\frac{1}{{2}}})+(+_{{}}^{2)}\textrm{\frac{4}{{15}}}) =$

$-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=$

Știm că semnul $(+)$ înmulțit cu semnul $(-)$ obținem $(-)$ , iar semnul $(+)$ înmulțit cu semnul $(+)$ obținem $(+)$ . Astfel obținem:

$-\frac{18}{{30}}}+(-{\frac{25}{{30}}})+ (+{\frac{15}{{30}}})+(+{\frac{8}{{30}}})=$
$-\frac{18}{{30}}}-{\frac{25}{{30}}}+ {\frac{15}{{30}}}+{\frac{8}{{30}}}=$
$\frac{-18-25+15+8}{{30}}}=$
$\frac{-43+15+8}{{30}}}=$
$\frac{- 28+8}{{30}}}=$ $\frac{- 20}{{30}}}^{(10} =- \frac{ 2}{{3}}}$

d) $-\frac{13}{{18}}+(-\frac{5}{{108}})+(-\frac{14}{{5}})+(-\frac{7}{{36}})=$

Determinăm numitorul comun:

$18= 2\cdot 3^2$

$108= 2^2\cdot 3^3$

$5=5$

$36= 2^2\cdot 3^2$

$[18, 108, 5, 36]= 2^2\cdot 3^3\cdot 5=4\cdot 27\cdot 5=540$

Trebuie să amplificăm fiecare fracție astfel încât să obținem numitorul 540.

$-_^{30)}\textrm{\frac{13}{{18}}}+(-_^{5)}\textrm{\frac{5}{{108}}})+(-_^{108)}\textrm{\frac{14}{{5}}})+(-_^{15)}\textrm{\frac{7}{{36}}})=$

$-{\frac{13\cdot30}{{18\cdot 30}}}+(-{\frac{5\cdot 5}{{108\cdot 5}}})+(-{\frac{14\cdot 108}{{5\cdot 108}}})+(-{\frac{7\cdot 15}{{36\cdot 15}}})=$

$-{\frac{390}{{540}}}+(-{\frac{25}{{540}}})+(-{\frac{1512}{{540}}})+(-{\frac{105}{{540}}})=$

${\frac{-390-25-1512-105}{{540}}}=$ ${\frac{-(390+25+1512+105)}{{540}}}=$ ${\frac{-2032}{{540}}}^{(2}=$ ${\frac{-1016}{{270}}}^{(2}=$ ${\frac{-508}{{135}}}$

Exercițiul 2: Efectuați calculele:

a) $[-3\frac{1}{{2}} +1\frac{1 }{{15}} ] + [-1\frac{1}{{7}}+2\frac{7 }{{3}} ]=$

Introducem întregii în fracție:

$(-\frac{3\cdot2+1}{{2}} +\frac{1\cdot 15+1 }{{15}} ) + (-\frac{1\cdot7+1}{{7}}+\frac{2\cdot3+7 }{{3}} )=$

$(-\frac{7}{{2}} +\frac{16 }{{15}} ) + (-\frac{8}{{7}}+\frac{13}{{3}} )=$

Determinăm numitorul comun și aducem fracțiile la același numitor:

Știm că 2,3,7 și 5 sunt numere prime între ele. Numitorul comun este $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7= 210$

Amplificăm fracțiile și obținem:

$(-_{{}}^{105)}\textrm{\frac{7}{{2}}}+_{{}}^{14)}\textrm{\frac{16}{{15}}})+(-_{{}}^{30)}\textrm{\frac{8}{{7}}}+_{{}}^{70)}\textrm{\frac{13}{{3}}})=$ $(-{\frac{735}{{210}}}+{\frac{224}{{210}}})+(-{\frac{240}{{210}}}+{\frac{910}{{210}}})=$

${\frac{-735+224}{{210}}}+{\frac{-240+910}{{210}}}=$ ${\frac{-511}{{210}}}+{\frac{670}{{210}}}=$ ${\frac{-511+670}{{210}}}=$ ${\frac{159}{{210}}}^{(3}=$ ${\frac{53}{{70}}}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

13
Mar
2018

Exerciții rezolvate la Mărimi direct proporționale

categories: Rapoarte. Proportii

„Nu zi niciodată nu se poate, ci începe cu să vedem.”

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm și să explicăm pas cu pas câteva probleme Exerciții rezolvate la Marimi direct proporționale.

Exercițiul 1:

Media aritmetică a două numere este egală cu 24.Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele 3 și 9.

Rezolvare:

Considerăm două numere a și b.

Scriem formula pentru media arithmetică a celor două numere.

$M_{a}=\frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{2}=24 /\ \ \ \cdot 2$ $\Rightarrow a+ b=48$

$\left \{ a,b \right \} \overset{d.p}{\rightarrow} \left \{ 3,9 \right \}$ $\Rightarrow \frac{a}{{3}}=\frac{b}{{9}}=k$

$\Rightarrow \frac{a}{{3}}=k \Rightarrow a=3\cdot k$

$\Rightarrow \frac{b}{{9}}=k \Rightarrow b=9\cdot k$

Înlocuim a și b în ecuația $a+b=48$ și obținem:

$3 \cdot k + 9 \cdot k=48$ $\Rightarrow 12 \cdot k=48 / \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=48 \ \ \ : \ \ 12$ $\Rightarrow k=4$

Înlocuim în a și b și obținem:

$\Rightarrow a=3 \cdot k=3 \cdot 4$ $\Rightarrow a=12$

$\Rightarrow b=9 \cdot k=9 \cdot 4$ $\Rightarrow b=36$ .

Exercițiul 2:

Suma a trei numere este 84. Aflați numerele știind că acestea sunt direct proporționale cu numerele: $1,(4)\ \ ; \ \ \ \ 1,(5) \ \ \ \ ; \ \ 1,(6)$

Rezolvare:

Considerăm trei numere a , b și c.

Problema ne spune ca suma lor este 84.

$a+b+c=84$

$\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ 1,(4): \ \ 1,(5); \ \ 1,(6)\right \}$

Transformăm fracțiile periodice în fracții ordinare:

$1,(4) =\frac{14-1}{{9}}= \frac{13}{{9}}$

$1,(5) =\frac{15-1}{{9}}= \frac{14}{{9}}$

$1,(6) =\frac{16-1}{{9}}= \frac{15}{{9}}$

Și obținem: $\left \{ a,b,c\right \} \overset {d.p }{\rightarrow} \left \{ \frac{13}{{9}}; \ \ \frac{14}{{9}}; \ \ \frac{15}{{9}}\right \}$ $\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=\frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=\frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$

Scoatem numerele a, b ;I c ]n func'ie de valoarea lui k.

$\Rightarrow \frac{a}{{\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{13}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{a}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{13}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9a}{{13}} =k$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{b}{{\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{14}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{b}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{14}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot b}{{14}} =k$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$

$\Rightarrow \frac{c}{{\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \ : \ \ {\frac{15}{{9}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{c}{{1}} \ \cdot \ \ {\frac{9}{{15}}}}=k$ $\Rightarrow \frac{9\cdot c}{{15}} =k$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$

Înlocuim a, b și c în sumă și determinăm valoarea lui k.

$a+b+c=84$ $\Rightarrow \frac{13 \cdot k}{{9}} + \frac{14\cdot k}{{9}} + \frac{15 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow \frac{13 \cdot k+14\cdot k+15\cdot k}{{9}} = 84$ $\Rightarrow \frac{42 \cdot k}{{9}} = 84$

$\Rightarrow 42 \cdot k = 84 \cdot 9$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756$ $\Rightarrow 42 \cdot k = 756 / \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 756 \ \ \ : \ \ \ 42$

$\Rightarrow k = 18$

Înlocuim valoarea lui k în numerele natural și determinăm valoare lui a, b și c.

$a = \frac{13 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{13 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow a = \frac{234}{{9}}$ $\Rightarrow a = 26$

$b = \frac{14 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{14 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow b = \frac{252}{{9}}$ $\Rightarrow b = 28$

$c = \frac{15 \cdot k}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{15 \cdot 18}{{9}}$ $\Rightarrow c = \frac{270}{{9}}$ $\Rightarrow c = 30$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o Fișă de lucru cu Exerciții la Mărimi direct proporționale pentru copilul tău o gasești aici Fisa de lucru marimi direct proportionale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

01
Mar
2018

Exerciții rezolvate la Procente.

categories: Rapoarte. Proportii

" Tăria minții vine prin exercițiu nu prin repaos".

Alexander Pope

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas câteva Exerciții rezolvate la Procente.

Exercițiul 1: Calculați:

a) 75 % din 1600

b) 1,25 % din 2000

c) 25 % din 16 % din 750

d) 4,(2) % din 7200 .

Rezolvare:

a) 75 % din 1600 = $\frac{75}{{100}} \cdot 1600=$ $\frac{75\cdot 16\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}}=$ $75\cdot 16=$ $1200$

b) 1,25 % din 2000 = $\frac{1,25}{100} \cdot 2000=$ $\frac{1,25\cdot 20\emptyset\emptyset}{1\emptyset\emptyset}=$ $1,25\cdot 20=$ $25$

c) 25 % din 16 % din 750 = $25% \cdot (\frac{16}{{100}} \cdot 750)=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{16 \cdot 75\emptyset}{{10\emptyset}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{16 \cdot 75}{{10}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{1200}{{10}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot (\frac{120\emptyset}{{1\emptyset}})=$ $\frac{25}{{100}} \cdot 120=$ $\frac{25}{{10\emptyset}} \cdot 12\emptyset=$ $\frac{25\cdot 12}{{10}}=$ $\frac{300}{{10}}=$ $\frac{30\emptyset}{{1\emptyset}}=$ $\frac{30}{{1}}=30$

d) 4,(2) % din 7200 = $\frac{4,(2)}{{100}} \cdot 7200 =$ $\frac{4,(2)\cdot 72\emptyset\emptyset}{{1\emptyset\emptyset}} =$ $4,(2)\cdot 72 =$ $\frac{42-4}{{9}} \cdot 72=$ $\frac{38}{{9}} \cdot 72=$ $\frac{38 \cdot 72}{{9}} =$ $\frac{2736}{{9}} =304$

Exercițiul 2: Aflați un număr x știind că :

a) 20% din el este 80;

b) 2,75 % din el este 3,30;

c) 3,(6)% din el este 36,3.

Rezolvare:

a) 20% din x este 80 $\Rightarrow \frac{20}{{100}} \cdot x = 80$ $\Rightarrow \frac{20}{{100}} \cdot x = 80 / \ \ \ \cdot 100$ $\Rightarrow 20 \cdot x = 80 \cdot 100$ $\Rightarrow 20 \cdot x = 8000 / \ \ \ :\ \ 20$ $\Rightarrow x = 8000 \ \ :\ \ 20$ $\Rightarrow x = 400$

b) 2,75 % din el este 3,30 $\Rightarrow \frac{2,75}{{100}} \cdot x = 3,30$ $\Rightarrow \frac{2,75}{{100}} \cdot x = 3,30 / \cdot100$ $\Rightarrow 2,75 \cdot x = 3,30 \cdot100$ $\Rightarrow 2,75 \cdot x = 330$

$\Rightarrow \frac{275}{{100}} \cdot x = 330$ $\Rightarrow \frac{275}{{100}} \cdot x = 330 /\cdot 100$ $\Rightarrow {275}\cdot x = 330 \cdot 100$

$\Rightarrow {275}\cdot x = 33000$ $\Rightarrow {275}\cdot x = 33000 / \ \ \ : \ \ 275$ $\Rightarrow x = 33000 \ \ : \ \ 275$

$\Rightarrow x = 120$

c) 3,(6)% din x este 36,3 $\Rightarrow \frac{3,(6)}{{100}} \cdot x = 36,3$ $\Rightarrow \frac{3,(6)}{{100}} \cdot x = 36,3 / \cdot 100$ $\Rightarrow 3,(6) \cdot x = 36,3 \cdot 100$

$\Rightarrow \frac{36-3}{{9}} \cdot x = 3630$

$\Rightarrow \frac{33}{{9}} \cdot x = 3630 / \cdot 9$ $\Rightarrow 33\cdot x = 3630 \cdot 9$

$\Rightarrow 33\cdot x = 32670 / \ \ \ : \ \ \ 33$ $\Rightarrow x = 32670 \ \ \ : \ \ \ 33$

$\Rightarrow x = 990$

PS: Dragul meu părinte am pregătit si o fișă de lucru pentru copilul tău o gasești aici:Fișă de lucru Procente

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

01
Mar
2018

Exerciții rezolvate la Rapoarte.

categories: Rapoarte. Proportii

„Nimic nu este prea dificil dacă împarți în pași mici ceea ce ai de făcut.”

Henry Ford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi îți propun să rezolvăm împreună și să explicăm pas cu pas Exerciții rezolvate la Rapoarte! (more…)

Exercițiul1: Aflați termenul necunoscut din următoarele rapoarte:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$

Rezolvare:

a) $\frac{x}{5}=\frac{21}{3}$

Înmulțim pe diagonală și obținem :

$\Rightarrow 3 \cdot x=21\cdot5$ $\Rightarrow 3 \cdot x=105$ $\Rightarrow x=105 \ \ \ :\ \ \ 3$ $\Rightarrow x=35$

b) $\frac{5}{x}=0,20$

Transformăm fracția zecimală $0,20$ în fracție ordinară și obținem:

$\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{20}{{10}}$ $\Rightarrow \frac{5}{{x}}=\frac{2}{{1}}$ $\Rightarrow 5\cdot 1=x \cdot 2$ $\Rightarrow 2x=5 \ \ \ \ \ /:\ \ 2$ $\Rightarrow x=\frac{5}{{2}}$

c) $\frac{6,(4)}{x}=8$ $\Rightarrow \frac{6,(4)}{x}=\frac{8}{1}$ $\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$

Transformăm fracția periodică $6,(4)$ în fracție ordinară astfel $6,(4)=\frac{64-6}{{9}}=\frac{58}{{9}}$ și obținem:

$\Rightarrow 6,(4)\cdot 1=8 \cdot x$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}\cdot \frac{1}{{1}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow \frac{58}{{9}}=\frac{8\cdot x}{{1}}$ $\Rightarrow 58 \cdot 1 =9 \cdot 8\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x$ $\Rightarrow 58=72\cdot x \ \ \ /\ \ \ \ :\ \ 72$ $\Rightarrow x = \frac{58}{{72}}^{{(2}}$

$\Rightarrow x = \frac{29}{{36}}$

Exercițiul 2: Se consideră numerele $a= 1+2+3+.........................+2018$ și $b = 2+4+6+.........................+4036$ . Calculați :

a) Raportul dintre a și b;

b) Raportul dintre suma și diferența numerelor b și a;

Rezolvare:

Calculăm mai întâi numărul a ca să îl aducem la o formă mai simplă. Recunoaștem suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive și aplicăm formula lui Gauss.

$a = 1+2+3+.........................+2018$

$a = 2018\cdot(2018+1) \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018\cdot 2019 \ \ \ : \ \ \ 2$

$a = 2018 \ \ \ : \ \ \ 2 \cdot 2019$

$a = 1009 \cdot 2019$

PS: Dacă nu îți mai amintești Suma lui Gauss găsești aici PDF-ul gratuit : Suma Gauss

Calculăm și numărul b pentru a obține o formă mai simplă.

$b = 2+4+6+.........................+4036$ .

Dăm factor comun pe 2 și obținem din nou Suma Gauss a primelor 2018 numere naturale consecutive.

$b =2 \cdot (1+2+3+...............+2018)$

$b =2 \cdot [2018\cdot (2018+1) \ \ :\ \ \ 2]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot (2018+1) ]$

$b =2 \cdot [2018\ \ :\ \ \ 2 \cdot 2019 ]$

$b =2 \cdot 1009 \cdot 2019$

$b =2018 \cdot 2019$

a) Facem raportul $\frac{a}{b} = \frac{1009 \cdot 2019}{2018 \cdot 2019} ^{{(1009 \cdot 2019}}$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{2}$
b) Calculăm raportul $\frac{a+b}{b-a}=$ $\frac{1009\cdot 2019+2018\cdot 2019}{2018\cdot 2019-1009\cdot 2019}=$

Observăm că putem da factor comun pe $1009\cdot2019$ și la numărător și la numitor și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot (1+2)}{1009\cdot 2019\cdot(2-1)}=$ $\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}=$

Observăm că putem simplifica raportul prin $1009\cdot2019$ și obținem:

$\frac{1009\cdot 2019\cdot 3}{1009\cdot 2019\cdot 1}^{{(1009\cdot 2019}} =$ $\frac{3}{1}=3$

Exercițiul 3:

Știind că $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ calculați valoarea raportului:

a) $\frac{12\cdot a+6\cdot b}{6\cdot a-b} = ?$

b) $\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} = ?$

Rezolvare:

a) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\Rightarrow \frac{12\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{6\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}-b} =$ $\frac{ \frac{84\cdot b }{{2}}+6\cdot b}{ \frac{42\cdot b }{{2}}-b} =$

$\frac{ {42\cdot b }+6\cdot b}{ 21\cdot b -b} =$ $\frac{ {48\cdot b }}{ 20\cdot b } ^{(4\cdot b} =$ $\frac{ {12 }}{ 5 }$

b) Știind raportul $\frac{a}{b} = \frac{7}{2}$ înmulțim pe diagonală și scoatem a în funcție de b

$\Rightarrow 2\cdot a= 7 \cdot b$ $\Rightarrow a=\frac{7\cdot b }{{2}}$

Înlocuim a în raportul pe care îl avem de calculat și obținem:

$\frac{3\cdot a+5\cdot b}{2\cdot a+b} =$ $\frac{3\cdot \frac{7\cdot b }{{2}} +5\cdot b}{2\cdot \frac{7\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + 5\cdot b}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+b} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + _{{}}^{2)}{5\cdot b}}{ \frac{14\cdot b }{{2}}+_{{}}^{2)}{ b}} =$ $\frac{\frac{21\cdot b }{{2}} + {\frac{10\cdot b }{{2}}} }{ \frac{14\cdot b }{2}+{{{\frac{2\cdot b }{{2}}}}$ $= \frac{\frac{31\cdot b }{{2}} }{ \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} }\ \ \ :\ \ \ { \frac{16\cdot b }{2}} =$ ${\frac{31\cdot b }{{2}} } \cdot { \frac{2}{16\cdot b}} =$ ${\frac{31 }{{16}} }$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

05
Nov
2017

Exerciții Rezolvate la Unghiuri complementare. Unghiuri Suplementare

categories: Geometrie a VI-a

"Cel mai mare neajuns al nostru este că renunțăm prea repede. Cel mai corect drum către succes este să mai încerci o dată." Thomas Edison

Dragul meu bine te-am regăsit! Azi îți propun o nouă lecție de geometrie în plan și te invit să rezolvăm și să explicăm pas cu pas împreună câteva exerciții la "Unghiuri Complementare. Unghiuri Suplementare".

Exercițiul 1 :

Unghiul $\widehat{MON}$ și $\widehat{NOP}$ sunt adiacente și complementare. Știind că $m(\widehat{MON})$ este $\frac{3}{2}$ din $m(\widehat{NOP})$ să se calculeze $m(\widehat{NOP})$ și $m(\widehat{MON})$ ..

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că $m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow \frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOP})=90^\circ \ \ \ | \ \ \cdot \ \ 2$
$\Rightarrow 3\cdot m(\widehat{NOP})+2 \cdot m(\widehat{NOP})=2\cdot 90^\circ$
$\Rightarrow 5\cdot m(\widehat{NOP})=180^\circ \ \ \ | \ \ \ \cdot \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=180^\circ\ \ \ : \ \ \ 5$
$\Rightarrow m(\widehat{NOP})=36^\circ$
Înlocuim și aflăm și măsura unghiului $\widehat{MON}$
$m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot m(\widehat{NOP})$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3}{{2}}\cdot 36^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{3\cdot36^\circ}{{2}}$ $\Rightarrow m(\widehat{MON})=\frac{108^\circ}{{2}}=54^\circ$
$m(\widehat{MOP})= m(\widehat{MON})+ m(\widehat{NOP})$
$m(\widehat{MOP})=36^\circ+54^\circ=90^\circ$

Exercițiul 2:

Măsura $m(\widehat{XOY})$ este $\frac{7}{8}$ din măsura suplementului său unghiul $m(\widehat{YOZ})$ . Aflați măsura $m(\widehat{XOY})$ și $m(\widehat{YOZ})$ .

Rezolvare:
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Analizând desenul observăm că: $m(\widehat{XOY})+m(\widehat{YOZ})=180^\circ$
Știm că $m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$
$\Rightarrow\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})+m(\widehat{YOZ})= 180^\circ \ \ \ | \ \ \cdot8$
$\Rightarrow 7\cdot m(\widehat{YOZ})+8\cdot m(\widehat{YOZ})=8\cdot180^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ$
$\Rightarrow 15 \cdot m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ \ | \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 1440^\circ \ \ : \ \ \ 15$
$\Rightarrow m(\widehat{YOZ})= 96^\circ$
Înlocuim și aflăm măsura $m(\widehat{XOY})$ :
$m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot m(\widehat{YOZ})$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7}{{8}}\cdot 96^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{7\cdot 96^\circ}{{8}}$ $\Rightarrow m(\widehat{XOY})=\frac{672^\circ}{{8}}=84^\circ$

Exercițiul 3:

Determinați măsura unghiului $m(\widehat{MON})$ știind că măsura complementului suplementului său este de $63^\circ$ .

Rezolvare:
Dacă citim atent enunțul problemei aceasta ne precizează că complementul suplementului unghiului $\widehat{MON}$ este $63^\circ$ . Scriem matematic această informație:
Notăm suplementul unghiului $\widehat{MON}$ cu $\widehat{NOP}$ și obținem informația:
$m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Notăm complementul unghiului $\widehat{NOP}$ cu $\widehat{NOQ}$ și obținem informația:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Scriem datele problemei:
Realizăm desenul:
Plecăm de la informația furnizată de enunțul problemei că:
$m(\widehat{NOP})+m(\widehat{NOQ})=90^\circ$
Știm că $m(\widehat{NOQ})=63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})+63 ^\circ=90^\circ \ \ \ | \ \ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=90^\circ -63^\circ$ $\Rightarrow m(\widehat{NOP})=27^\circ$
Mai știm din enunțul problemei că: $m(\widehat{MON})+m(\widehat{NOP})=180^\circ$
Înlocuim $m(\widehat{NOP})=27^\circ$ și obținem:
$m(\widehat{MON})+27^\circ=180^\circ \ \ \ | \ \ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=180^\circ -27^\circ$
$\Rightarrow m(\widehat{MON})=153^\circ$

Succes!

Daca te ajuta poti descarca lecția in format pdf de aici: Unghiuri-Complementare-Suplementare (3)

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

04
May
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VII-a Semestrul II

categories: a VII-a, SEMESTRUL II

Încearcă să fii un om de valoare și nu neapărat un om de succes. – Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! De azi a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(more…)

Model-Teza-clasa-a-VII-a-Semestrul-II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}$ este:.................................

Rezolvare:

$\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}=$ $\sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}$

Exercițiul 2 (0,5 puncte):

Raționalizând fracția: $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ obținem:.....................

Rezolvare:

$_{{}}^{\sqrt{5}+1)}\textrm{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}}=$ $\sqrt{5}+1$

Exercițiul 3 (1 punct):

Rezultatul calculului: $(2a+1)^2 - (2a)^2=$ este...........................

Rezolvare:

$(2a+1)^2 - (2a)^2=$ $(2a)^2+2\cdot2a\cdot1+(1)^2 - (2a)^2=$ $4a^2+4a+1 -4a^2=$ $4a+1$

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă $x+\frac{1}{{x}}=4$ atunci $x^2+\frac{1}{{x^2}}$ este egal cu......................

Rezolvare:

Pornim de la relația $x+\frac{1}{{x}}=4$ și o ridicăm la pătrat iar relația $x+\frac{1}{{x}}$ o ridicăm la pătrat cu formula de calcul prescurtat : $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ . Astfel obținem:

$x+\frac{1}{{x}}=4 /^2 \Rightarrow$ $(x+\frac{1}{{x}})^2=4^2 \Rightarrow$ $x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{{x}} +(\frac{1}{{x}})^2=16 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 +2=16 /-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =16-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =14$

Exercițiul 5 (0,5puncte):

Soluția ecuației $x+\sqrt{2}=0$ este: .........................

Rezolvare:

$x+\sqrt{2}=0 /-\sqrt{2} \Rightarrow$ $x=-\sqrt{2}$

Exercițiul 6 (0,5puncte):

$sin 45^\circ$ este egal cu ..............

Rezolvare:

$sin 45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete:

Exercițiul 1:(1,5 puncte):

Media geometrică a numerelor: $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|$ și $b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ .

Rezolvare:

Știm că $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ .

Pentru a calcula $\sqrt{a\cdot b}$ trebuie să aducem a și b la o formă mai simplă.

Pentru a aduce numărul "a" la o formă mai simplă trebuie să comparăm $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ să aflăm dacă numărul a este un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a compara $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ trebuie să ridicăm la pătrat pentru a scăpa de redicali.

$2\cdot\sqrt{6} \sqcup 6\cdot\sqrt{2} /^2$ $\Rightarrow$ $2^2 \cdot6 \sqcup 6^2 \cdot2$ $\Rightarrow$ $4 \cdot6 \sqcup 36 \cdot2$ $\Rightarrow$ $24 \lt 72$ $\Rightarrow 2\cdot\sqrt{6} \lt 6\cdot\sqrt{2} \Rightarrow$ numărul "a" este un număr negativ $\Rightarrow$ $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|=-2\cdot\sqrt{6}+6\cdot\sqrt{2}=6\cdot\sqrt{2}- 2\cdot\sqrt{6}$

Pentru a aduce numărul "b" la o formă mai simplă trebuie să scoatem de sub radical:

$b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ $= \sqrt{2\cdot 36} + \sqrt{4\cdot 6}$ $=6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6}$

În concluzie $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2} - 2\sqrt{ 6})\cdot(6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6} )}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2})^2- (2\sqrt{ 6} )^2}$ $=\sqrt{36\cdot 2- 4\cdot 6}}$ $=\sqrt{72- 24}}$ $=\sqrt{48}}$ $=\sqrt{16\cdot3 }}$ $=4\sqrt{3 }}$ .

Exercițiul 2:(1,5 puncte):

Rezolvați ecuația: $(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem:

$(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

$(x)^2-2\cdot x \cdot 2+(2)^2-(x\cdot 3-x \cdot2x-1\cdot3+1\cdot2x)=3(x^2-3^2)+25$

$x^2-4x+4-3x +2x^2+3-2x=3(x^2-9)+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-27+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-2$

$3x^2-9x-3x^2 = -2-7$

$-9x= -9$

$-9x= -9 /:(-9)$ $\Rightarrow x= 1$

Exercițiul 3:(1,5 puncte):

În trapezul ABCD cu $AB \parallel CD$ , $m(\widehat{A})= m(\widehat{D})= 90^{\circ}$ , se consideră $BE\perp CD$ , unde $E\in(CD).$ Știind că $AB=6cm,$ $CD=10cm$ și $BD \perp BC$ , determinați:

a) lungimea înălțimii BE.

b) perimetrul trapezului ABCD.

c) aria trapezului ABCD, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg.

Rezolvare:

Scriem datele problemei după care le analizăm.

Trasăm desenul respectând datele problemei.

a) Observăm că triunghiul este dreptunghic în unghiul B și putem aplica teorema înălțimii $[ BE ]$ .

Mai știm Că $\left [ AB \right ] \equiv \left [ DE \right ]$ $\Rightarrow \left [ EC \right ]=4 cm$

$\bigtriangleup DBC$ $(\widehat{DBC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.Î $\Rightarrow$ $BE^2=DE \cdot EC$ $\Rightarrow BE^2=6 cm \cdot 4 cm$ $\Rightarrow BE^2= 24 cm^2$ $\Rightarrow BE= \sqrt{24 cm^2}$ $\Rightarrow BE= \sqrt{4\cdot 6 } cm$ $\Rightarrow BE= 2\sqrt{6 } cm$

Știm că $\left [ BE \right ] \equiv \left [ AD \right ] \Rightarrow$ $AD= 2\sqrt{6 } cm$

b) Pentru a calcula perimetrul trapezului trebuie să aflam și latura $\left [ BC \right ]$ .

Știm că triunghiul $\bigtriangleup BEC$ este dreptunghic în unghiul $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ astfel putem aplica Teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturii $\left [ BC \right ]$ .

$\bigtriangleup BEC$ $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.P. $\Rightarrow$ $BC^2=BE^2+EC^2$ $\Rightarrow BC^2=(2\sqrt{6}cm)^2+(4cm)^2$ $\Rightarrow BC^2=2^2\cdot6} cm^2+16cm^2$

$\Rightarrow BC^2=4\cdot6} cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=24 cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=40 cm^2$

$\ \Rightarrow BC=\sqrt{40cm ^2}$ $\Rightarrow BC=\sqrt{4 \cdot 10cm ^2}$ $\Rightarrow BC=2\sqrt{ 10} cm$

$P_{{ABCD}}= AB+BC+CD+AD$ $\Rightarrow P_{{ABCD}}= 6 cm+2\sqrt{ 10} cm+10 cm+2\sqrt{ 6} cm$

$\Rightarrow P_{{ABCD}}= 16 cm+2(\sqrt{ 10} +\sqrt{ 6}) cm$ .

c) $A_{ABCD}= \frac{(B+b)\cdot h}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(AB+DC)\cdot AD}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(6 cm+10 cm)\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{16cm\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{32\sqrt{6}cm^2 }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= 16\sqrt{6}cm^2$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

23
Mar
2017

Exerciții rezolvate la Înmulțirea fracțiilor zecimale

categories: Fracții zecimale

"Fă azi ce alţii nu fac ca să trăieşti mâine cum alţii nu pot."

Zig Ziglar

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul precedent am efectuat câteva exerciții ușoare la înmulțirea fracțiilor zecimale. Azi îți propun să rezolvăm împreună câteva exerciții cu un grad de dificultate mai ridicat!

(more…)

Exercițiul 1:

Dacă $x \cdot (y-z)=2,4$ și $x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ , atunci calculați:

$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )$

Rezolvare:

$x \cdot (y-z)=2,4 \Rightarrow$ $x \cdot y- x \cdot z=2,4$

$x \cdot (z+t)=3,1 \Rightarrow$ $x \cdot z+ x \cdot t=3,1$

Adunăm cele două relații și obținem:

$x \cdot y- x \cdot z+x \cdot z+ x \cdot t=2,4 + 3,1$

Observăm că $x \cdot z$ se reduce și obținem:

$x \cdot y+ x \cdot t=5,5$
$x \cdot( y+ t )=5,5$
Înmulțim relația cu 2,4 și obținem:
$x \cdot( y+ t )=5,5 | \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=5,5 \cdot 2,4$
$x \cdot 2,4 \cdot( y+ t )=13,20$

Exercițiul 2 :

Dacă $x+y=7,05$ și $y+z=14,1$ atunci calculați: $(x+3y+2z) \cdot (z-x)$

Rezolvare:

$x+y=7,05$ $\Rightarrow$ $x+y =7,05$
$y+z=14,1$ $| \cdot 2$ $\Rightarrow$ $2y+2z=28,2$

Adunam cele două relații si obținem:

$x+y+2y+2z=7,05+28,2$
$x+3y+2z=35,25$

Observăm ca am obținut prima paranteză.

Revenim la cele două relații inițiale:

$x+y=7,05$
$y+z=14,1$

Scădem din a doua relație prima relație și obținem:

$y+z-x-y=14,1-7,05$
$z-x=7,05$

Înmulțim cele două relații obținute:

$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=35,25 \cdot 7,05$
$(x+3y+2z)\cdot (z-x)=248,5125$

Exercițiul 3:

Determinați cifrele a și b care verifică relația:

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare și obținem:

Pentru ca avem peste tot același numitor putem scrie relația fară numitor:

Desfacem în baza 10 numerele:

și obținem:

$(10 \cdot a + a+ 10 \cdot b +b)\cdot b=1287$
$(11 \cdot a + 11 \cdot b )\cdot b=1287$
$11 \cdot (a +b)\cdot b=1287 | : 11$
$(a +b)\cdot b=117$
$(a +b)\cdot b= 3^{{2}}\cdot 13$
Verificăm varianta $b=3$
$(a+3)\cdot 3=117$
$3a+9=117$
$3a=117 -9$
$3a=108$
$a=108 : 3$
$a=36$

Această variantă nu ne convine deoarece a trebuie să fie cifră.

Verificăm cea de-a doua variantă $b=3 ^{2} =9$ și obținem:

$(a+9)\cdot 9=117$
$9a+81=117$
$9a=117-81$
$9a=36$
$a=36:9$
$a=4$

Această variantă este ok deci obținem soluția $a=4$ și $b=9$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
Jan
2017

Relații între mulțimi de numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul de data trecută am discutat despre Operații cu mulțimi. Am invățat ce operații putem face intre mulțimi, despre reuniunea a două mulțimi, despre intersecția a două mulțimi și diferența a două mulțimi dar și diferența simetrică a două mulțimi. Azi te invit să studiem împreună lecția Relații între Mulțimi, să vedem ce sunt mulțimile egale și mulțimile disjuncte dar și mulțimile finite și mulțimile infinite.

(more…)

Două mulțimi A și B sunt egale, dacă sunt formate din același elemente. Se notează A=B.

Observație: Orice element care aparține mulțimii A este și element al mulțimii B și reciproc orice element care aparține mulțimii B este și element al mulțimii A.

Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține mulțimii B sau invers, se spune ca mulțimile A și B sunt diferite și se notează: $A \neq B$ .

Dacă intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea vidă (cele două mulțimi A și B nu au nici un element comun) atunci mulțimile A și B sunt disjuncte.

Incluziunea: Mulțimea A este inclusă în mulțimea B și se notează : $A\subset B$ , dacă orice element al mulțimii A aparține mulțimii B.

Dacă mulțimea B include mulțimea se notează: $B \supset A$
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu aparține și mulțimii B spunem că mulțimea A nu este inclusă în mulțimea B și notăm: $A \not \subseteq B$ sau spunem că B nu include mulțimea A și notăm: $B \not \supset \ A$ .

Observații:

Mulțimea vidă este inclusă în orice mulțime $\not \bigcirc\subset A$

Orice mulțime este inclusă în ea însăși $A \subset A$ .

Dacă A și B sunt două mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset A$ atunci $A=B$ .

Dacă A, B și C sunt trei mulțimi, astfel încât $A \subset B$ și $B \subset C$ , atunci $A \subset C$ .

Submulțimi:

Dacă mulțimea A este inclusă în mulțimea B, adică $A \subset B$ se spune că mulțimea A este o submulțime a mulțimii B.

Observații:

Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi.
Numărul submulțimilor unei mulțimi A este egal cu $2^{{card A}}$
Mulțimea submulțimilor (părților) lui A se notează cu P(A).

Exemplu: Fie mulțimea $M=\left \{ 1,3,5 \right \}$ . CArdinalul mulțimii M Card M =3 . Mulțimea M are $2^{3}=8$ submulțimi.

$\not\bigcirc$ , $\left \{ 1 \right \}$ , $\left \{ 3 \right \}$ , $\left \{ 5 \right \}$ , $\left \{ 1,3 \right \}$ , $\left \{ 1,5 \right \}$ , $\left \{ 3,5 \right \}$ , $M$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

12
Jan
2017

Exerciții Rezolvate Operații cu Mulțimi

categories: Multimi

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am discutat despre Operații cu Mulțimi. Am invățat ce este Reuniunea a două mulțimi,Intersecția a două mulțimi, Diferența a două mulțimi și Produsul cartezian a două mulțimi. Azi te invit să aplicăm ceea ce am discutat în articolul de ieri la lecția Operații cu Mulțimi în câteva exerciții rezolvate.

(more…)

EXERCIŢIUL 1: Se dau mulțimile: $A=\left \{ 1,2,3\right \}$ , $B=\left \{ 2,4,6\right \}$ și $C=\left \{ 3,5,7\right \}$ . Calculați: $A\cup B$ , $A\cap B$ , $A\setminus B$ , $A\cup C$ , $A\cap C$ , $A\setminus C$ .

Rezolvare:

$A \cup B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,2,3,4,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 2 \right \}$

$A \setminus B=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 2,4,6 \right \}=\left \{ 1,3 \right \}$

$A\cup C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cup \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2,3,5,7 \right \}$

$A\cap C=\left \{ 1,2,3 \right \}\cap \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 3 \right \}$

$A\setminus C=\left \{ 1,2,3 \right \}\setminus \left \{ 3,5,7 \right \}=\left \{ 1,2 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinați mulțimile A și B astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile:

$A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$

$A\cap B=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$A\setminus B=\left \{ 4,6 \right \}$ .

Rezolvare:

Desenam cele 2 mulțimi:

Pentru a identifica mai ușor cele două mulțimi A și B vom reprezenta întâi intersecția celor două mulțimi:

Apoi vom reprezenta pe desen $A\setminus B$ .

Din reuniunea celor două mulțimi $A\cup B=\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}$ observăm că mai avem un elemnt $\left \{ 5 \right \}$ pe care nu l-am atribuit nici unei mulțimi rezultă ca elementul $\left \{ 5 \right \}\in B$ .

Astfel am găsit mulțimile:

$A= \left \{1,2,3,4,6 \right \}$

$B= \left \{1,2,3,5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

14
Dec
2016

Mulţimi de Numere

categories: Multimi

Dragul meu părinte, bine te-am găsit! În cel de-al doilea capitol din programa de matematică pentru clasa a V-a se va studia Mulţimile de Numere!

O mulţime este o grupare de obiecte, simboluri etc., bine definite şi distincte, numite elementele mulţimii. (more…)

Mulţimea numerelor naturale:

Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale se numeşte Mulţimea Numerelor Naturale.

Se notează:

Mulţimea numerelor naturale nenule:

Mulţimea ale cărei elemente sunt toate numere naturale mai puţin 0 se numeşte "Mulţimea Numerelor Naturale Nenule".

Relaţii între element şi mulţime:
Dacă A este o mulţime şi x este un element al mulţimii M, se spune că elementul x aparţine mulţimii A (sau x aparţine lui A) şi se notează:

Mulţimea vidă: Mulţimea care nu are nici un element se numeşte Mulţimea Vidă şi se notează: $\oslash$

Mulţimile Finite sunt mulţimile cu un număr finit (limitat) de elemente.

Mulţimile Infinite sunt mulţimile care nu au un număr finit de elemente (spunem că au un infinit de numere)

Cardinalul unei mulţimi finite A:
este numărul de elemente al unei mulţimi.
se notează card A.
Moduri de definire a mulţimilor:
enuntarea unei propietăţi $A=\left \{ x/x\in N si 3\cdot x+1\leq 10 \right \}$
enumerarea elementelor: $A=\left \{ 1, 2, 3,10 \right \}$
prin enumerarea elementelor în interiorul unei diagrame numită diagrama Venn-Euler.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!