clasa a V-a - Matematica Mai Usoara

Etichetă: clasa a V-a

29
sept.
2017

Segment de dreaptă. Semidreapta

categories: Elemente de Geometrie. Unități de măsură, Geometrie a VI-a

"Singurul lucru mai rău decât să începi ceva și să ratezi........ este să nu începi acel ceva"

Seth Godin

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Azi îți propun o nouă lecție de Geometrie în Plan. În articolele anterioare am vorbit despre Dreaptă și Plan. Azi îți propun lecția "Segment de dreaptă. Semidreapta".

Dacă copilul tau preferă o lecție video vă invit pe canalul meu de YouTube să urmărești lecția Segment de dreaptă. Semidreapta".

PS: Asigura-te ca te-ai abonat la canalul meu de YouTube pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Segment de dreaptă:

Este o porțiune din acea dreaptă delimitat de două puncte distincte numite extremitățile segmentului sau capetele segmentului.
Se notează : $\left [ AB \right ]$

Segmentul de dreaptă închis:

Se notează: $\left [ AB \right ]$
Include cele două puncte A și B

Segmentul de dreaptă deschis:

Se notează: $\left ( AB \right )$
nu include cele două puncte A și B.

Segmentul de dreaptă nul:

Este segmentul de dreaptă care are proprietatea că punctele care delimitează segmentul coincid.

Semidreapta:

Este un segment de dreaptă mărginit la un singur capăt.

Se notează: $\left [ MN$

M se numește origine

Semidreaptă închisă:

Este semidreapta care își conține originea
Se notează: $\left [ MN$

Semidreaptă deschisă:

Este semidreapta care nu își conține originea.
Se notează: $\left ( MN$

Semidrepte opuse:

Sunt două semidrepte conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și sensuri diferite.

Semidrepte identice:

Sunt două semidrepte de acelasi fel (închise sau deschise), conținute în aceeași dreaptă, care au aceeași origine și același sens.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

18
sept.
2017

Planul

categories: Geometrie a VI-a

" Dacă începi astăzi, vei vedea rezultate cu o zi mai devreme decât dacă aștepți până mâine. Începe astăzi! "

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi te invit sa parcurgem împreună încă o lecție de Geometrie: Planul.

(mai mult…)

Planul:

Ni-l imaginăm ca o suprafață netedă, întinsă la nesfârșit în toate direcțiile, alcătuită din puncte.

Îl notăm cu o literă din alfabetul grecesc: $\alpha, \beta, \gamma, \Delta ,\Psi , \Omega .............$ , sau cu trei litere mari într-o paranteză rotundă cu condiția să reprezinte trei puncte necoliniare ce-i aparțin (ABC).

Pozițiile Relative A Unui Punct Față De Un Plan:

Punct Interior unui plan:

Punct Exterior unui plan:

Dreaptă inclusă în plan:

Dacă o dreaptă d are toate punctele într-un plan $\alpha$ , atunci dreapta este inclusă în planul $\alpha$ . Se notează: $d \subset \alpha$ .

Observație:

Dacă $A \in \alpha$ și $B \in \alpha$ $\Rightarrow AB \subset \alpha$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poți lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi și pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poți găsi și aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor

dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag și mult respect Alina Nistor!

18
sept.
2017

Exerciții rezolvate la Numere Prime

categories: Mulţimea numerelor naturale

" Nimic nu-I poate opri pe omul cu atitudine pozitivă, nimic nu-l poate ajuta pe omul cu mentalitate greșită".

Thomas Jefferson

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

Azi îți propun să lucrăm câteva exerciții la o lecție extrem de importanta Numere Prime între ele. (mai mult…)

Exercițiul 1: Descompune în factori primi numerele de mai jos și arată că numerele sunt prime între ele.

a) 24 și 77

b) 360 și 1001

c) 84 și 125

Rezolvare:

a) 24 și 77

Descompunem în factori primi cele două numere.

$24=2^3 \cdot 3$

$77=7\cdot 11$

$(24, 77)=1$

Deoarece c.m.m.d.c-ul celor două numere este 1 $\Rightarrow$ cele două numere nu au nici un divisor comun în afară de 1 deci sunt prime între ele.

b) 360 și 1001

Descompunem în factori primi cele două numere.

$360=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$1001=7\cdot 11 \cdot 13$

$(360, 1001)=1$ $\Rightarrow$ 360 și 1001 sunt numere prime între ele.

c) 84 și 125

Descompunem în factori primi cele două numere.

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$125=5^ 3$

$(84,125)=1$ $\Rightarrow$ 84 și 125 sunt numere prime între ele.

Exercițiul 2: Arată că numerele naturale $(4n+3,\ \ \ 6n+5)$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere naturale $4n+3$ și $6n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $4n+3$ și $6n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+3 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 3 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+9$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 6n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 2 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 12n+10-12n-9 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(4n+3, 6n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $4n+3$ și $6n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Arată că numerele naturale $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele oricare ar fi $n\in N$ .

Rezolvare:

Pentru a demonstra că numerele : $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele trebuie să arătăm că cele două numere natural $5n+6$ și $4n+5$ au c.m.m.d.c-ul 1.

Pentru a arăta că cele două numere au c.m.m.d.c-ul 1 vom presupune că există un număr natural "d" care divide numerele $5n+6$ și $4n+5$ .

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 5n+6 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 4 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+24$

$d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 4n+5 \ \ \ \ \ | \ \ \ \cdot 5 \Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25$

Scădem cele două relații și obținem: $d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 20n+25-20n-24 \ \$ $\Rightarrow d\ \ \ \vdots\ \ \ \ 1$ $\Rightarrow$ $(5n+6, 4n+5)=1$ $\Rightarrow$ numerele $5n+6$ și $4n+5$ sunt prime între ele.

Exercițiul 3: Află numărul natural x astfel încât:

a) $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$

b) $(\overline{51x}\ \ \ ,\ \ \ 12)=1$

Rezolvare:

Pentru a demonstra că cele două numere $\overline{5x}$ și 10 nu au nici un divizor comun scriem mulțimea divizorilor lui 10.

$D_{{10}}= \left \{ 1\ \ \ ;\ \ \ 2\ \ \ ;\ \ 5\ \ \ ;\ \ \ 10 \right \}$

Dacă $(\overline{5x}\ \ \ ,\ \ \ 10)=1$ $\Rightarrow$ numerele: 2, 5 și 10 nu trebuie să dividă $\overline{5x}$ $\Rightarrow$

Dacă 2 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x este un număr impar $\Rightarrow$ $x\in \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}$ ; dacă 5 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0 sau 5; dacă 10 nu divide $\overline{5x}$ $\Rightarrow$ x nu poate fi 0

$\Rightarrow x\in \left \{ 1,3,7,9 \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informații să îți

fie utile atunci când îți ajuți copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă dorești să ai acces la mai multe exemple de exerciții cu un

grad de dificultate ridicat rezolvate și explicate pas cu pas te

invit să te înscrii în “Clubul de Matematică Math More Easy.”

08
aug.
2017

Exerciții rezolvate la Ultima Cifră a unui Număr Natural

categories: Numere Naturale

"Zadarnic vei vrea să-l înveți pe cel ce nu e dornic să fie învățat, dacă nu-l vei fi făcut mai întâi dornic de a învăța."
Comenius

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. În articolul anterior am vorbit despre cum putem afla Ultima cifră a unui număr natural. Azi îți propun câteva exemple de exerciții rezolvate și explicate pas cu pas la această lecție dificilă pentru clasa a V-a.

Exercițiul 1:

Calculați ultima cifră a numerelor:

a) $2^{1299}; \ \ \ 2^{2020};$

b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Rezolvare:

a) Pentru a calcula $2^{1299};$ mai întâi privim atent puterile numărului 2.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 1299 la 4 și obținem: $1299 \ \ \ : \ \ \ 4=324 \ \ \ rest \ \ \ 3$ $\Rightarrow 1299=4\cdot 324 +3$ Atunci putem scrie că: $U(2^{1299})=U(2^{4\cdot 324 +3})=U[(2^{4})^{ 324} \cdot 2^3)]$ $=U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)$ Consultăm tabelul cu puterile lui 2 și observăm că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $U[(2^{4})^{ 324}] \ \ \ \cdot \ \ \ U( 2^3)=U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8$ Consultăm tabelul cu puterile lui 6.

Observăm că 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6 astfel obținem: $U(6^{ 324}) \ \ \ \cdot \ \ \ 8=U(6 \cdot 8)=U(48)=8$ Am obținut că $U(2^{ 1299})=8$ Calculăm acum pentru $U(2^{ 2020})=?$ Avem mai sus tabelul cu puterile lui 2 și am observat că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim puterea 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4=505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(2^{2020})=U(2^{4\cdot 505 +0})=U[(2^{4})^{ 505} \cdot 2^0)]$ . Știm că orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 2^{0}=1$ . Am văzut mai sus că $2^{4}$ are ultima cifră 6 astfel obținem: $=U[(6^{ 505} \cdot 1)]=U(6 \cdot1)=6$ . Am obținut că: $U(2^{ 2020}) = 6$ b) $21^{324}; \ \ \ 19^{257}; \ \ \ 17^{2020};$

Calculăm $U(21^{ 324}) = ?$

$U(21^{ 324}) = U(1^{ 324})$ Știm că 1 ridicat la orice putere este egal cu 1. $\Rightarrow U(1^{ 324}) = 1$

Calculăm $U(19 ^{ 257}) = ?$

$U(19 ^{ 257}) = U(9^{ 257}) =$ Calculăm puterile lui 9.

Observăm că ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 257 la 2 și obținem: $257 \ \ \ : \ \ \ 2 = 128 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Atunci putem scrie că: $U(9^ {257})= U(9^ {2\cdot128+1})= U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)=$ Consultând tabelul cu puterile lui 9 observăm că $9^2$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U(9^ {2})^{128} \cdot U(9^1)= U(1^{128})\ \ \ \cdot \ \ \ 9=U(1 \cdot 9 )=9$ Am obținut că $U(19^{ 257}) = 9$

Calculăm $U(17^{ 2020}) = ?$

$U(17^{ 2020}) = U(7^{ 2020})$ = ? Calculăm puterile lui 7.

Observăm că ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2020 la 4 și obținem: $2020 \ \ \ : \ \ \ 4 = 505 \ \ \ rest \ \ \ 0$ Atunci putem scrie că: $U(7^{ 2020}) = U[(7^4)^{ 505}]$ Consultând tabelul cu puterile lui 7 observăm că $7^4$ are ultima cifră egală cu 1, astfel obținem: $U[(7^4)^{ 505}] = U(1^{505})=1$ Am obținut că $U(17^{ 2020})=1$ .

Învăț pentru mine
Dragul meu părinte își propun câteva exerciții pe care să le rezolve copilul tău urmărind exemplele explicate și rezolvate mai sus! Determină ultima cifră a numerelor: a) $2^{99}; \ \ \ 2^{2018}; \ \ \ 2^{2024};$ b) $41^{2017}; \ \ \ 125^{2017}; \ \ \ 2017^{2018};$ c) $4^{1999}; \ \ \ 129^{2022}; \ \ \ 2016^{2018};$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

02
aug.
2017

Ultima cifră a unui număr natural

categories: Numere Naturale

"Cu cât un copil a văzut și a înțeles mai mult, cu atât vrea el să vadă și să înțeleagă mai mult."
Jean Piaget

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În articolul anterior am vorbit despre "Pătratul unui număr natural". Astăzi îți propun o nouă lecție care mă ajută să demonstrez dacă un număr natural este pătrat perfect sau nu: "Ultima cifră a unui număr natural".

Șirul de numere: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ............... este șirul $0 ^{2}, 1 ^{2}, 2 ^{2}, 3 ^{2}, 4 ^{2}, 5 ^{2}, 6 ^{2}, .............., n ^{2}, ..........$ și se numește șirul numerelor naturale pătrate perfecte. Fie $x$ un număr natural. Notăm cu $U(x)$ ultima cifră a numărului $x$ . Să privim cu atenție următorul tabel:

Observăm ca ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi: $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ . Observație:

Dacă ultima cifră a unui număr natural este $2, 3, 7\ \ sau \ \ \ 8$ atunci acel număr natural nu poate fi pătrat perfect.
Dacă ultima cifră a unui număr natural este $0, 1, 4, 5, 6 \ \ sau \ \ \ 9$ acel număr natural este pătrat perfect.

Pentru a afla ultima cifră a unui număr vor avea în vedere următoarele reguli de calcul:

$U(x+y)=U(U(x)+U(y))$

$U(x\cdot y)=U(U(x)\cdot U(y))$

$U(x^n)=U[(U(x))^n]$

Exemple:

$U(79 +24)=U(U(79) +U(24))=U(9+4)=U(13)=3$

$U(98 \cdot 82)=U(U(98) \cdot U(82))=U(8 \cdot 2)=U(16)=6$

$U(36 ^{89})=U(U(36) ^{89})=U(6^ ^{89})=6$

Să analizăm atent următorul tabel:

Observație:

Numerele $1,5 \ \ \ si \ \ \ 6$ ridicate la orice putere îmi dă ultima cifră $1,5 \ \ \ si \ \ \ respectiv \ \ \ 6$ .

La numerele $2,3, 7 \ \ \ si \ \ \ 8$ se repetă ultima cifră din patru în patru puteri. La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 4, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 2,3,7 sau respectiv 8 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Iar la numerele $4 \ \ \ si \ \ \ 9$ se repetă ultima cifră din două în două puteri.La aceste numere ca să pot afla ultima cifră împart exponentul la 2, iar ultima cifră va fi egală cu ultima cifră a numărului 4 sau respectiv 9 ridicat la puterea egală cu restul împărțirii.

Exemple: Determinați ultima cifră a numerelor:

$2^{{2017}}\ \ \ si \ \ 4^{{2017}}$

Rezolvare:

Calculăm pentru $2^{{2017}}$ . Scriem puterile lui 2.

Observăm ca ultima cifră se repetă din 4 în 4. Împărțim 2017 la 4

Obținem astfel $2017\ \ \ : \ \ \ 4 =504 \ \ \ rest \ \ \ 1$ Rezultă că $U(2^{2017})= U[(2^4)^{2017} \cdot 2^1]=U(2^4)^{2017}\cdot U(2^1)$ Privind puterile lui 2 observăm că ultima cifră a lui $2^4$ este 6, iar ultima cifră a lui $2^1$ este 2. Astfel obținem că $U(6^{2017})\cdot 2= U(6 \cdot 2) = U(12) = 2$

Observație: Am precizat mai sus ca 6 la orice putere are ultima cifră egala tot cu 6.

Calculăm ultima cifră pentru numărul $U(4^{2017})$ =

Scriem puterile lui 4.

Observăm că la numărul 4 ultima cifră se repetă din 2 în 2. Împărțim 2017 la 2 :

Obținem astfel: $2017 \ \ \ :\ \ \ 2 = 1008 \ \ \ rest\ \ \ 1$ Rezultă că: $U(4^{2017})=U[(4^2)^{1008} \cdot 4^1]=U[(4^2)^{1008}] \cdot U(4^1)=$ Ultima cifră a lui $4^2$ este 6 iar ultima cifră a lui $4^1$ este 4. Înlocuiesc și obțin: $U(6^{1008})\cdot U(4^1)= U(6 \cdot 4)= U(24)= 4$ . Te invit să exersezi și tu 3 exerciții identice pe care ți le propun în rubrica:

Învăț pentru viitorul meu: Determină ultima cifră a numerelor: $9^{2017}; \ \ \ 3^{2019} ;\ \ \ 8^{2021}.$

Succes! PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi ! Math More Easy - YouTube https:/ https://www.facebook.com/MathMoreEasy. Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

09
iul.
2017

Exerciții rezolvate la Compararea puterilor

categories: Mulţimea numerelor naturale

"Educația nu e cât de mult ai memorat sau cât știi. E capacitatea de a face diferența între ce știi și ce nu știi".

Anatole France

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi revin cu o lecție nouă la capitolul Numere Naturale: Exerciții rezolvate la Compararea Puterilor.

Exercițiul 1: Comparați numerele:

a) $4 ^{17}$ și $2 ^{34}$

b) $3 ^{27}$ și $9 ^{13}$

c) $8 ^{17}$ și $2^{52}$

Rezolvare:

$4 ^{17}$ și $2 ^{34}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem să-l scriem pe 4 ca bază $2 ^2$ .
$({2 ^2})^{17}$ și $2 ^{34}$
Aplicăm Regulile de Calcul cu Puteri pentru primul număr, înmulțim exponenții și obținem:
$2 ^{2\cdot 17}$ și $2 ^{34}$ $\Rightarrow 2 ^{34}$ = $2 ^{34}$

b) $3 ^{27}$ și $9 ^{13}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe $9=3 ^{2}$ și obținem:
$3 ^{27}$ și $(3 ^{2}) ^{13}$ $\Rightarrow 3 ^{27}$ și $3 ^{2\cdot 13}$ $\Rightarrow 3 ^{27}$ $\gt \ \ \ 3 ^{26}$

c) $8 ^{17}$ și $2 ^{52}$

- Observăm că putem modifica bazele atunci îl vom scrie pe $8= 2^{3}$ și obținem:
- $(2^{3})^{17}$ și $2^{52$ $\Rightarrow 2^{3\cdot 17}$ și $2^{52}$ $\Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}$

Exercițiul 2: Comparați numerele:

a) $2 ^{48}$ și $3 ^{32}$

b) $2 ^{60}$ și $3 ^{36}$

c) $3 ^{42}$ și $5 ^{28}$

d) ${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$

Rezolvare:

a) $2^{48}$ și $3^{32}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel $48=3\cdot16$ și $32=2\cdot16$ . Obținem:
$2^{3\cdot16}$ și $3^{2\cdot16}$ $\Rightarrow (2^3)^{16}$ și $(3^2)^{16}$
Ridicăm la putere știind că $2^3=8$ și $3^2=9$ obținem:
$8^{16} \lt 9^{16}$
Numărul cu baza mai mică este mai mic.

b) $2^{60}$ și $3^{36}$

Pentru a compara cele două numere trebuie mai întâi să le aducem ori la aceeași bază ori să egalăm exponenții. Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: $60=10\cdot 6$ și $36=6\cdot 6$ . Obținem:
$2^{10\cdot 6}$ și $3^{6\cdot 6}$ $\Rightarrow (2^{10})^ 6$ și $(3^{6})^ 6$
Ridicăm la putere știind că $2^{10}=1024$ și $3^{6}=729$ . Obținem:
$1024^{6} \gt 729^6$
Numărul cu baza mai mare este mai mare.

c) $3^{42}$ și $5^{28}$

Observăm că nu putem schimba baza atunci vom egala exponenții și vom scrie astfel: $42=3\cdot 14$ și $28=2 \cdot 14$ . Obținem:
$3^{3\cdot14}$ și $5^{2\cdot14}$ $\Rightarrow (3^3)^{14}$ și $(5^2)^{14}$
Ridicăm la putere știind că $3^3= 27$ și $5^2= 25$ obținem:
$27^{14}\ \ \gt\ \ 25^{14}$ .

d) ${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$

Observăm că la primul număr avem puterea unei puteri cu alte cuvinte exponentul este tot o putere $2^3$ . Mai întâi ridicăm la putere exponentul știind că $2^3 = 8$ și obținem: ${ 2^2}^3=2^8$ .

La cel de-al doilea număr aplicăm Regulile de calcul cu puteri, înmulțim puterile și obținem: $(2^3)^2=2^{3\cdot 2}= 2^6$

${ 2^2}^3$ și $(2^2)^3$ $\Rightarrow 2^8 \ \ \gt \ \ 2^6$

Exercițiul 3: Comparați numerele:

a) $8^{18} - 7\cdot 8^{17}$ și $16^{14} - 15\cdot 16^{13}$

c) $(9^{15}\cdot 3^{14})^4$ și $(81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}$

Rezolvare:

a) $8^{18} - 7\cdot 8^{17}$ și $16^{14} - 15\cdot 16^{13}$

Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Pentru că avem operația de scădere între termenii celor două numere trebuie să dam factor comun baza care se repetă la puterea cea mai mică
$8^{17}\cdot (8^{18-17} - 7\cdot 8^{17-17})$ și $16^{13}\cdot (16^{14-13} - 15\cdot 16^{13-13})$
$8^{17}\cdot (8^{1} - 7\cdot 8^{0})$ și $16^{13}\cdot (16^{1} - 15\cdot 16^{0})$
Știm că orice număr la puterea 0 este egal cu 1 $\Rightarrow 8^0=1$ și $\Rightarrow 16^0=1$
Obținem:
$8^{17}\cdot (8 - 7\cdot 1)$ și $16^{13}\cdot (16 - 15\cdot 1)$
$8^{17}\cdot (8 - 7)$ și $16^{13}\cdot (16 - 15)$
$8^{17}\cdot 1$ și $16^{13}\cdot 1$ $\Rightarrow 8^{17}$ și $16^{13}$
Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la aceeași bază.
Știm că putem scrie: $8=2^{3}$ și $16=2^{4}$ astfel obținem:
$(2^{3})^{17}$ și $(2^{4})^{13}$ $\Rightarrow 2^{3\cdot 17}$ și $2^{4\cdot 13}$ $\Rightarrow 2^{51} \lt 2^{52}$

b) $(9^{15}\cdot 3^{14})^4$ și $(81^{3}\cdot 27^{7})^3 \cdot 243 ^{15}$

Pentru a putea compara cele două numere trebuie să le aducem la o formă mai simplă. Observăm că putem scrie $9=3^2$ ; $81=3^4$ ; $27=3^3$ și $243=3^5$ astfel obținem:
$[(3^2)^{15}\cdot 3^{14}]^4$ și $[(3^4)^{3}\cdot (3^3)^{7}]^3 \cdot (3^5) ^{15}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și înmulțim puterile:
$(3^{2\cdot15}\cdot 3^{14})^4$ și $(3^{4\cdot3}\cdot 3^{3\cdot7})^3 \cdot 3 ^{5\cdot15}$
$(3^{30}\cdot 3^{14})^4$ și $(3^{12}\cdot 3^{21})^3 \cdot 3 ^{75}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri (adunam puterile) și obținem:
$(3^{30+14})^4$ și $(3^{12+21})^3 \cdot 3 ^{75}$
$(3^{44})^4$ și $(3^{33})^3 \cdot 3 ^{75}$
Aplicăm Regulile de calcul cu puteri și înmulțim puterile:
$3^{44\cdot 4}$ și $3^{33 \cdot 3} \cdot 3 ^{75}$
$3^{176}$ și $3^{99} \cdot 3 ^{75}$
$3^{176}$ și $3^{99+75}$
$3^{176} \gt 3^{174}$

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

07
mai
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VIII-a Semestrul II

categories: a VIII-a, SEMESTRUL II

Şcoala trebuie să te înveţe a fi propriul tău dascăl, cel mai bun şi cel mai aspru.

Nicolae Iorga

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! A început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a VIII-a Semestrul II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ este:……………………………

Rezolvare:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{2\cdot 3}-3\sqrt{6}$ $=\sqrt{6}-3\sqrt{6}$ $=-2\sqrt{6}$

Exercițiul 2 (1 punct):

Simplificând cu $x^2+1$ raportul : $\frac{x^4-1}{{x^2+1}}$ se obține:.....................................

Rezolvare:

Aplicăm formulele de calcul prescurtat pentru expresia: $x^4-1$ și se obține:

$\frac{x^4-1}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2)^2-1^2}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}=$ $\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{{x^2+1}}^{(x^2+1}=$ $\frac{x^2-1}{1}$ $=x^2-1$ .

Exercițiul 3 (1 punct):

Soluția ecuației: $x-\sqrt{3}=0$ este: ........................................

Rezolvare:

$x-\sqrt{3}=0$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}=0 /-\sqrt{3}$ $\Rightarrow x=-\sqrt{3}$

Exercițiul 4 (1 punct):

Se considera funcția $f : R \to R$ , $f (x)=x-3$ . Valoarea funcției în punctul x=3 este egală cu: .........................

Rezolvare:

Pentru a afla valoarea functiei în punctul x=3 calculăm $f (3)$ (îl înlocuim pe x cu 3 în funcție.

$f (3)=3-3=0$

Exercițiul 5 (1punct):

Volumul cubului cu lungimea diagonalei de $\sqrt{12}cm$ este: ........................

Rezolvare:

Știm că diagonala cubului este egală cu:

$d=l\sqrt{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{12}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3}\Rightarrow$ $l\sqrt{3}=2\sqr{3} / :\sqr{3} \Rightarrow$ $l=2 cm$

Știm că volumul cubului are formula: $V= l^3$ ; înlocuim latura cu 2 cm și obținem:

$V= l^3 \Rightarrow$ $V= (2cm)^3 \Rightarrow$ $V= 8cm^3$ .

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete.

Exercițiul 1 (1,5 puncte):

Se consideră expresia: $E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ .

a) Determina'i valorile reale ale lui x pentru care expresia E(x) este bine definită.

b) Demonstrați că E(x)=1, $(\forall ) x \in R \setminus \left \{ -2; 1\right \}$ .

Rezolvare:

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2}$ $\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

a)Punem condițiile de existență ale fracțiilor (numitorul fracției trebuie să fie diferit de 0):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1$ $\Rightarrow 3x \neq \frac{1}{{3}}$

$\Rightarrow x \in R\setminus \left \{ \frac{1}{{3}} , 2 \right \}$

$E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2}) : \frac{3x-1}{x-2$

Înmulțim cu a doua fracție răsturnată.

$\Rightarrow E(x)=(1-x+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$

Aducem la același numitor în paranteză.

$\Rightarrow E(x)=(_{{}}^{x-2)}\textrm{1}- _{{}}^{x-2)}\textrm{x}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$ $\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2}{x-2}- \frac{x(x-2)}{x-2}+\frac{x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=(\frac{x-2-x^2+2x+x^2+1}{x-2})\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=\frac{3x-1}{x-2}\cdot \frac{x-2}{3x-1}$
$\Rightarrow E(x)=1$

Exercițiul 2 (1,5 puncte):

Se consideră funcția $f : R \to R ,$ $f(x)= -x+2$ .

a) Calculați media aritmetică a numerelor $a=f(0)$ și $b=f(2)$ .

b) Reprezentați grafic funcția f(x).

c) Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f(x) și axele de coordonate OX și OY.

Rezolvare:

a) $f(0)=0+2=2$

$f(2)=-2+2=0$

$M_{a}=\frac{f(0)+f(2)}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2+0}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}=\frac{2}{{2}} \Rightarrow$ $M_{a}= 1$

b) Pentru a reprezenta grafic funcția f(x) facem intersecția cu cele două axe OX și OY
$\cap OX :$ $y=0 \Rightarrow f(x)=0$ $\Rightarrow -x+2=0$ $\Rightarrow -x=-2$ $\Rightarrow x=2$ $\Rightarrow A(2;0)$
$\cap OY:$ $x=0 \Rightarrow f(0)=0+2=2$ $\Rightarrow B(0;2)$

Exercițiul 3 (1,5 puncte):

O piramidă triunghiulară regulată VABC are latura $AB=4\sqrt{6} cm$ și $VO=2\sqrt{6} cm$ , unde O este centrul bazei ABC. Calculați:

a) aria laterală a piramidei;

b) distanța de la O la planul (VBC)

c) distanța de la punctul A la planul (VBC)

d) măsura unghiului format de planele (VBC) și (ABC).

Rezolvare:

Scriem datele problemei și apoi le analizăm:

Realizăm și desenul:

a) Știm formula arie laterale: $A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ .

Pentru a calcula $A_{{l}}$ trebuie să aflăm mai întâi apotema piramidei $a_{{p}}=VM$ .

VABC este piramidă triunghiulară regulată $\Rightarrow \bigtriangleup ABC$ echilateral $\Rightarrow$ AM înălțimea $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow AM=\frac{l\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{AB\sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\sqrt{6\cdot 3}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{4\cdot 3\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=\frac{12\sqrt{2}}{{2}}$ $\Rightarrow AM=6\sqrt{2} cm$

Știm că $OM= \frac{1}{{3}}\cdot AM$ $\Rightarrow OM= \frac{1}{{3}}\cdot 6\sqrt{2} cm$ $\Rightarrow OM= \frac{6\sqrt{2}}{{3}} cm$ $\Rightarrow OM= 2\sqrt{2}} cm$ .

Aplicăm Teorema lui Pitagora în $\bigtriangleup VOM$ pentru a afla apotema VM.

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ $\Rightarrow$ T.P $\Rightarrow VM^2=VO^2+OM^2$ $\Rightarrow VM^2= (2\sqrt{6} cm)^2 + (2\sqrt{2} cm)^2$

$\Rightarrow VM^2= 2^2\cdot (\sqrt{6})^2 cm^2 + 2^2\cdot (\sqrt{2})^2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 4\cdot 6 cm^2 + 4\cdot 2 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 24 cm^2 + 8 cm^2$

$\Rightarrow VM^2= 32 cm^2$ $\Rightarrow VM= \sqrt{32 cm^2}$ $\Rightarrow VM= \sqrt{16 \cdot2} cm$

$\Rightarrow VM= 4\sqrt{2} cm$

Aflăm și perimetrul bazei. Pentru ca $\bigtriangleup ABC$ este echilateral $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot l$ $\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot AB$

$\Rightarrow P_{b}= 3 \cdot 4\sqrt{6} cm$ $\Rightarrow P_{b}= 12\sqrt{6} cm$ .

Înlocuim în aria laterală și obținem:

$A_{l}= \frac{P_{b}\cdot a_{p}}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12\sqrt{6} cm\cdot 4\sqrt{2} cm}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{12 \cdot 4 \sqrt{6\cdot 2} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{12} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48 \sqrt{4 \cdot 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= \frac{48\cdot 2 \sqrt{ 3} cm^2}{2}$ $\Rightarrow A_{l}= 48\sqrt{ 3} cm^2$

b) $d(O; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$ și $\left \{ O \right \} \in AM$ $\Rightarrow \left [ OM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

$OM=2\sqrt{2}cm$

c) $d(A; (VBC))=?$

Știm că AM înălțime în $\bigtriangleup ABC$ $\Rightarrow \left [ AM \right ]\perp \left [ BC \right ]$

d) $m(\widehat{ (VOM),(ABC)} )$ =?

$\bigtriangleup VOM((\widehat{VOM})=90^\circ )$ : $sin (\widehat{VMO})= \frac{VO}{{VM}}$ $=\frac{2\sqrt{6}cm}{4\sqrt{2}cm}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow m((\widehat{VMO})= 60^\circ)$ $\Rightarrow m((\widehat{VMA})= 60^\circ)$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

04
mai
2017

Model Rezolvat Teza clasa a VII-a Semestrul II

categories: a VII-a, SEMESTRUL II

Încearcă să fii un om de valoare și nu neapărat un om de succes. – Albert Einstein

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! De azi a început școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model-Teza-clasa-a-VII-a-Semestrul-II

Subiectul I (total 4,5 puncte):

Exercițiul 1 (0,5 puncte):

Rezultatul calculului: $\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}$ este:.................................

Rezolvare:

$\sqrt{20}+\sqrt{45}-3\sqrt{5}=$ $\sqrt{4\cdot 5}+\sqrt{9\cdot 5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3\sqrt{5}=$ $2\sqrt{5}$

Exercițiul 2 (0,5 puncte):

Raționalizând fracția: $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ obținem:.....................

Rezolvare:

$_{{}}^{\sqrt{5}+1)}\textrm{\frac{4}{\sqrt{5}-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5})^2-1^2}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1}}=$ ${\frac{4(\sqrt{5}+1)}{4}}=$ $\sqrt{5}+1$

Exercițiul 3 (1 punct):

Rezultatul calculului: $(2a+1)^2 - (2a)^2=$ este...........................

Rezolvare:

$(2a+1)^2 - (2a)^2=$ $(2a)^2+2\cdot2a\cdot1+(1)^2 - (2a)^2=$ $4a^2+4a+1 -4a^2=$ $4a+1$

Exercițiul 4 (1 punct):

Dacă $x+\frac{1}{{x}}=4$ atunci $x^2+\frac{1}{{x^2}}$ este egal cu......................

Rezolvare:

Pornim de la relația $x+\frac{1}{{x}}=4$ și o ridicăm la pătrat iar relația $x+\frac{1}{{x}}$ o ridicăm la pătrat cu formula de calcul prescurtat : $(a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2$ . Astfel obținem:

$x+\frac{1}{{x}}=4 /^2 \Rightarrow$ $(x+\frac{1}{{x}})^2=4^2 \Rightarrow$ $x^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{{x}} +(\frac{1}{{x}})^2=16 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 +2=16 /-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =16-2 \Rightarrow$ $x^2+(\frac{1}{{x}})^2 =14$

Exercițiul 5 (0,5puncte):

Soluția ecuației $x+\sqrt{2}=0$ este: .........................

Rezolvare:

$x+\sqrt{2}=0 /-\sqrt{2} \Rightarrow$ $x=-\sqrt{2}$

Exercițiul 6 (0,5puncte):

$sin 45^\circ$ este egal cu ..............

Rezolvare:

$sin 45^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}$

Subiectul II: (total 4,5 puncte):Pe foaia de examen se trec rezolvarile complete:

Exercițiul 1:(1,5 puncte):

Media geometrică a numerelor: $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|$ și $b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ .

Rezolvare:

Știm că $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ .

Pentru a calcula $\sqrt{a\cdot b}$ trebuie să aducem a și b la o formă mai simplă.

Pentru a aduce numărul "a" la o formă mai simplă trebuie să comparăm $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ să aflăm dacă numărul a este un număr pozitiv sau negativ.

Pentru a compara $2\cdot\sqrt{6}$ cu $6\cdot\sqrt{2}$ trebuie să ridicăm la pătrat pentru a scăpa de redicali.

$2\cdot\sqrt{6} \sqcup 6\cdot\sqrt{2} /^2$ $\Rightarrow$ $2^2 \cdot6 \sqcup 6^2 \cdot2$ $\Rightarrow$ $4 \cdot6 \sqcup 36 \cdot2$ $\Rightarrow$ $24 \lt 72$ $\Rightarrow 2\cdot\sqrt{6} \lt 6\cdot\sqrt{2} \Rightarrow$ numărul "a" este un număr negativ $\Rightarrow$ $a=\left \| 2\cdot\sqrt{6} - 6\cdot\sqrt{2} \right \|=-2\cdot\sqrt{6}+6\cdot\sqrt{2}=6\cdot\sqrt{2}- 2\cdot\sqrt{6}$

Pentru a aduce numărul "b" la o formă mai simplă trebuie să scoatem de sub radical:

$b= \sqrt{72} + \sqrt{24}$ $= \sqrt{2\cdot 36} + \sqrt{4\cdot 6}$ $=6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6}$

În concluzie $M_{{g}} =\sqrt{a\cdot b}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2} - 2\sqrt{ 6})\cdot(6 \sqrt{2} + 2\sqrt{ 6} )}$ $=\sqrt{(6 \sqrt{2})^2- (2\sqrt{ 6} )^2}$ $=\sqrt{36\cdot 2- 4\cdot 6}}$ $=\sqrt{72- 24}}$ $=\sqrt{48}}$ $=\sqrt{16\cdot3 }}$ $=4\sqrt{3 }}$ .

Exercițiul 2:(1,5 puncte):

Rezolvați ecuația: $(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

Rezolvare: Aplicăm formulele de calcul prescurtat și obținem:

$(x-2)^2-(x-1)(3-2x)=3(x+3)(x-3)+25$

$(x)^2-2\cdot x \cdot 2+(2)^2-(x\cdot 3-x \cdot2x-1\cdot3+1\cdot2x)=3(x^2-3^2)+25$

$x^2-4x+4-3x +2x^2+3-2x=3(x^2-9)+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-27+25$

$3x^2-9x+7=3x^2-2$

$3x^2-9x-3x^2 = -2-7$

$-9x= -9$

$-9x= -9 /:(-9)$ $\Rightarrow x= 1$

Exercițiul 3:(1,5 puncte):

În trapezul ABCD cu $AB \parallel CD$ , $m(\widehat{A})= m(\widehat{D})= 90^{\circ}$ , se consideră $BE\perp CD$ , unde $E\in(CD).$ Știind că $AB=6cm,$ $CD=10cm$ și $BD \perp BC$ , determinați:

a) lungimea înălțimii BE.

b) perimetrul trapezului ABCD.

c) aria trapezului ABCD, rotunjită la cel mai apropiat număr întreg.

Rezolvare:

Scriem datele problemei după care le analizăm.

Trasăm desenul respectând datele problemei.

a) Observăm că triunghiul este dreptunghic în unghiul B și putem aplica teorema înălțimii $[ BE ]$ .

Mai știm Că $\left [ AB \right ] \equiv \left [ DE \right ]$ $\Rightarrow \left [ EC \right ]=4 cm$

$\bigtriangleup DBC$ $(\widehat{DBC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.Î $\Rightarrow$ $BE^2=DE \cdot EC$ $\Rightarrow BE^2=6 cm \cdot 4 cm$ $\Rightarrow BE^2= 24 cm^2$ $\Rightarrow BE= \sqrt{24 cm^2}$ $\Rightarrow BE= \sqrt{4\cdot 6 } cm$ $\Rightarrow BE= 2\sqrt{6 } cm$

Știm că $\left [ BE \right ] \equiv \left [ AD \right ] \Rightarrow$ $AD= 2\sqrt{6 } cm$

b) Pentru a calcula perimetrul trapezului trebuie să aflam și latura $\left [ BC \right ]$ .

Știm că triunghiul $\bigtriangleup BEC$ este dreptunghic în unghiul $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ astfel putem aplica Teorema lui Pitagora pentru a afla lungimea laturii $\left [ BC \right ]$ .

$\bigtriangleup BEC$ $(\widehat{BEC})= 90^{\circ}$ $\Rightarrow$ T.P. $\Rightarrow$ $BC^2=BE^2+EC^2$ $\Rightarrow BC^2=(2\sqrt{6}cm)^2+(4cm)^2$ $\Rightarrow BC^2=2^2\cdot6} cm^2+16cm^2$

$\Rightarrow BC^2=4\cdot6} cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=24 cm^2+16cm^2$ $\Rightarrow BC^2=40 cm^2$

$\ \Rightarrow BC=\sqrt{40cm ^2}$ $\Rightarrow BC=\sqrt{4 \cdot 10cm ^2}$ $\Rightarrow BC=2\sqrt{ 10} cm$

$P_{{ABCD}}= AB+BC+CD+AD$ $\Rightarrow P_{{ABCD}}= 6 cm+2\sqrt{ 10} cm+10 cm+2\sqrt{ 6} cm$

$\Rightarrow P_{{ABCD}}= 16 cm+2(\sqrt{ 10} +\sqrt{ 6}) cm$ .

c) $A_{ABCD}= \frac{(B+b)\cdot h}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(AB+DC)\cdot AD}{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{(6 cm+10 cm)\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{16cm\cdot 2\sqrt{6}cm }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= \frac{32\sqrt{6}cm^2 }{{2}}\Rightarrow$ $A_{ABCD}= 16\sqrt{6}cm^2$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

“Math More Easy Club”

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

01
mai
2017

Model Rezolvat Teza clasa a V-a Semestrul II

categories: a V-a, SEMESTRUL II

Dacă A reprezintă succesul în viață, Atunci A= x+y+z, în care x reprezintă munca, y reprezintă joaca, iar z să știi să-ți ții gura. – Albert Einstein.

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! Azi este ultima zi de vacantă! De mâine începe școala iar perioada următoare este pentru toți elevi una solicitantă deoarece urmează perioada tezelor. Așa că azi îți propun un model de teză rezolvat și explicat pas cu pas pe înțelesul tuturor, dar și un model nerezolvat (asemănător) pe care copilul tău să îl rezolve singur urmărind modelul rezolvat de mine.

(mai mult…)

Model Propus Teza clasa a V-a Semestrul II

Exercițiul 1 (1punct):

Scrieți sub formă de fracție ordinară numerele: $0,3;$ $2,07$ ; $2,1(3)$ .

Rezolvare:

$0,3=\frac{3}{10}$ ;

$2,07=\frac{207}{100}$ ;

$2,1(3)=\frac{213-21}{90}=$ $\frac{192}{90}^{{(2}}=$ $\frac{96}{45}^{{(3}}=$ $\frac{32}{15}$

Exercițiul 2 (1punct):

Calculați: $9,35 : 5 - 0,87=$

Rezolvare:

$9,35 : 5 - 0,87=$ $1,87 - 0,87=1$

Exercițiul 3 (1punct):

Aflați numărul x care este soluție a ecuației:

$7,18-x=3,21$

Rezolvare:

$7,18-x=3,21 \Rightarrow$ $x=7,18 - 3,21 \Rightarrow$ $x=3,97$

Exercițiul 4 (1,5puncte):

Calculați: $1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=$

Rezolvare:

Conform ordinii efectuarii operațiilor,mai întâi trebuie să ridicăm la putere.

$1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (3,1^2-4,61) \right ] : 2=$

$1,5\cdot \left [ 6,4+2,2\cdot (9,61-4,61) \right ] : 2=$

Următoarea operație pe care trebuie să o facem este scăderea din paranteza rotundă. Pentru că am efectuat toate operațiile din paranteza rotundă, transformăm paranteza pătrată în paranteză rotundă.

$1,5\cdot (6,4+2,2\cdot 5 ) : 2=$

Următoarea operație este înmulțirea din paranteza rotundă.

$1,5\cdot (6,4+11 ) : 2=$

Apoi adunarea din paranteza rotundă.

$1,5\cdot 17,4 : 2=$

Pentru că înmulțirea și împărțirea sunt operații de același ordin și nu mai avem nici o paranteză efectuăm operațiile în ordinea în care sunt scrise. Astfel obținem:

$26,10 : 2=13,05$

Exercițiul 5 (1,5 puncte):

Rezolvați ecuația: $\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2$

Rezolvare:

Această ecuație se rezolvă pe metoda pasului invers.

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2$

Prima oară îl eliminăm pe 1,5 prin operația inversă împărțirii, adică înmulțim întreaga relație cu 1,5.

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] : 1,5 = 7,2 / \cdot1.5$

$\left [ 3\cdot(x+2,7)-4,2 \right ] = 7,2\cdot1.5$

Putem elimina și paranteza pătrată.

$3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8$

La pasul II scăpăm de 4,2 prin operația inversă scăderii și anume adunare.

$3\cdot(x+2,7)-4,2 = 10,8 / +4,2$

$3\cdot(x+2,7) = 10,8 +4,2$

$3\cdot(x+2,7) = 15$

Următorul pas (III) împărțim cu trei întreaga relație.

$3\cdot(x+2,7) = 15 / :3$

$(x+2,7) = 15 :3$

$x+2,7 = 5$

Ultima operație scădem 2,7.

$x+2,7 = 5 / -2,7$

$x= 5-2,7$

$x= 2,3$

Exercițiul 6 (1,5 puncte):

Media aritmetică a două numere este 8,6. Aflați cele două numere dacă se știe că diferența lor este 1,5.

Rezolvare:
Notăm cu a și b cele două numere.
Scriem formula mediei aritmetice pentru cele două numere

$M_{{a}}= \frac{a+b}{2}$

$M_{{a}}=8,6$ $\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}=8,6$ $\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}=8,6 / \cdot2 \Rightarrow$ $a+b=8,6 \cdot 2$

$\Rightarrow$ $a+b=17,2$

Dar mai știm din enunțul problemei că diferența celor două numere este 1,5.

Astfel obținem următoarea relație: $a-b=1,5$ .

Dar mai sus am obținut și relația: $a+b=17,2$

Adunăm cele două relații și obținem: $a+b+a-b=17,2+1,5 \Rightarrow$

$2a=18,7 \Rightarrow$ $a=18,7:2 \Rightarrow$ $a=9,35$

Înlocuim a în prima relație și îl aflăm pe b.

$9,35 +b =17,2$ $\Rightarrow$ $b= 17,2 - 9,35$ $\Rightarrow$ $b=7,85$

Exercițiul 7 (1 punct):

Calculați și exprimați rezultatul în $m^{2}$ : $0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=?m^2$

Rezolvare:

Transformăm $0,07 dam^2$ și $140 dm^2$ în $m^2$ .

Știm că $1 dam =10 m$ atunci $1 dam^2 =100 m^2$

și $1 dm =0,1 m$ atunci $1 dm^2 =0,01 m^2$

Astfel $0,07 dam^2 =7 m^2$ și $140 dm^2 =1,4 m^2$

Înlocuim și obținem: $0,07 dam^2 -2,3 m^2+140 dm^2=7m^2 -2,3 m^2 +1,4 m^2$

$4,7m^2 +1,4 m^2=6,1 m^2$

Exercițiul 7 (1,5 puncte):

Un dreptunghi are perimetrul egal cu 16 dm. Știind că lățimea este egală cu o treime din lungime, aflați aria dreptunghiului.

Rezolvare:

Știm că perimetrul este suma laturilor și că $P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l$

Din datele problemei mai știm $l = \frac{1}{3}\cdot L$ $\Rightarrow L =3\cdot l$

Înlocuim în formula perimetrului și aflăm lățimea.

$P_{{ABCD}}=2\cdot L+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=2\cdot 3\cdot l+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=6\cdot l+2\cdot l \Rightarrow$ $P_{{ABCD}}=8\cdot l \Rightarrow$ $8\cdot l = 16 dm \Rightarrow l= 16 dm :8$ $l= 2 dm$

Înlocuim și aflăm lungimea : $L =3\cdot l \Rightarrow L=3\cdot 2 dm \Rightarrow L=6 dm$

Știm Aria dreptunghiului : $A_{{ABCD}}=L \cdot l \Rightarrow$ $A_{{ABCD}}=6dm \cdot 2dm \Rightarrow$ $A_{{ABCD}}=12dm^2$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și recomandă-i

"Math More Easy Club"

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

03
apr.
2017

Exerciții rezolvate la Suma Gauss a Fracțiilor Zecimale

categories: Fracții zecimale

"Îi poți da unui elev câte o lecție în fiecare zi, dar dacă îl poți îndruma să învețe stârnindu-i curiozitatea, el își va dedica întreaga viață învățăturii."
Clay P. Bedford

Dragul meu părinte bine te-am regăsit. Astăzi te invit să efectuam împreună câteva exerciții la adunarea fracțiilor zecimale, exerciții cu un grad de dificultate ridicat în care apare Suma Gauss.

(mai mult…)

Exercițiul 1:

Efectuați următoarele calcule:

1,1 + 2,2 + 3,3 + ....................+ 9,9 =

Rezolvare:

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{11}{10}+\frac{22}{10}+\frac{33}{10}+.....................+\frac{99}{10}=$
$\frac{11+22+33+...................+99}{10}=$
$\frac{1\cdot 11+2\cdot 11+3\cdot 11+...................+9\cdot 11}{10}=$
$\frac{11\cdot (1 + 2 +3 +...................+9)}{10}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{11\cdot [9\cdot (9+1): 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot [9\cdot 10 : 2]}{10}=$
$\frac{11\cdot (90 : 2)}{10}=$
$\frac{11\cdot 45}{10}=$
$\frac{495}{10}=49,5$

PS: Dragul meu părinte dacă copilul tău nu a înțeles Suma Gauss sau nu-și mai amintește cum se calculează te invit sa descarci PDF-ul gratuit (special conceput cu foarte multe exemple pentru fiecare clasa de la a V-a la a-VIII-a) de aici:

http://mathmoreeasy.ro/pdf-gratuit-suma-gauss-explicatie-definitie-si-exercitii-rezolvate/

Exercițiul 2:

Efectuați următoarele calcule:

$1,11+2,22+3,33+.............+9,99$

Transformăm fracțiile zecimale în fracții ordinare:

$\frac{111}{100}+\frac{222}{100}+\frac{333}{100}+.....................+\frac{999}{100}=$
$\frac{111+222+333+.........+999}{100}=$
$\frac{111\cdot 1+111\cdot 2+111\cdot 3+.........+111\cdot 9}{100}=$
$\frac{111\cdot (1+ 2+ 3+.........+ 9)}{100}=$

Observăm că am obținut Suma Gauss a primelor 9 numere naturale consecutive, aplicăm formula lui Gauss și obținem:

$\frac{111\cdot [9 \cdot (9+1)]:2}{100}=$
$\frac{111\cdot (9 \cdot 10:2)}{100}=$
$\frac{111\cdot (90 : 2)}{100}=$
$\frac{111\cdot 45}{100}=$
$\frac{4995}{100}=49,95$

PDF Gratuit: Suma Gauss – Explicatie, Definitie si Exercitii rezolvate

Exercițiul 3:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă efectuăm înmulțirile obținem:

$5 \cdot 200 = 1000$

Exercițiul 4:

Calculați suma:

Rezolvare:

Dacă adunăm primele două fracții zecimale obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Adunăm următoarele 2 fracții zecimale și obținem:

Observăm că am adunat până în acest moment 4 fracții zecimale iar cifra 8 se repetă de 3 ori. Dacă continuăm adunarea și adunăm toate fracțiile zecimale obținem:

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică. Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăți în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Etichetă: clasa a V-a

Planul:

Învăț pentru mine