capacitate 2017 - Matematica Mai Usoara

Etichetă: capacitate 2017

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Gasesti lecția in format pdf aici : Inmultirea-Nnumerelor-Reprezentate--prin -Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Observaţie:Prin "Inmulţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu produsul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea suma exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Împărţirea a două numere reale reprezentate prin litere" (nu neapărat termeni asemenea) se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu câtul coeficienţilor termenilor daţi, iar partea literală este formată din toate literele luate o singură dată, iar ca exponent fiecare literă va avea diferenţa exponenţilor pe care i-a avut în termenii daţi.

Observaţie: Prin "Ridicarea la puterea întreagă a unui număr real reprezentat prin litere" se obţine un termen nou care are coeficientul egal cu puterea întreagă a coeficienţului iniţial, iar partea literală este formată din aceleaşi litere ca ale temenului iniţial, fiecare literă având exponent egal cu produsul dintre exponentul iniţial şi puterea la care s-a ridicat numărul real reprezentat prin literă.

Observaţie:

Operaţiile de adunare, scădere, înmulţire, împărţire şi ridicare la putere a expresiilor algebrice îşi pastrează aceleaşi reguli şi proprietăţi ca la numere reale.

La înmulţirea unui factor cu o paranteză (proprietatea de distributivitate a înmulţirii faţă de adunare şi scădere) înmulţim factorul din faţa parantezei cu fiecare termen din paranteză.

La înmulţirea a două paranteze înmulţim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din cea de-a doua paranteză, iar la final reducem termenii asemenea.

La împărţirea unei paranteze cu un factor împărţim fiecare termen din paranteză la factor, dacă operaţia de împărţire este posibilă, dacă nu scriem termenii ca fracţie.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

25
oct.
2016

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

categories: Calcul cu numere reale reprezentate prin litere

Dragul meu părinte bine te-am regăsit! În cel de-al doilea capitol de algebră în clasa a VIII-a se studiază "Calcule cu numere reale reprezentate prin litere", iar prima lecţie din acest capitol este de "Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere". Totuşi copilul tău nu este străin de acest tip de calcul al numerelor reprezentate prin litere, ele au mai fost studiate şi în clasele anterioare doar ca în acest capitol aplicăm aceste informaţii pe "mulţimea numerelor reale"

Gasesti lecția in format pdf aici : Adunarea-Si-Scaderea-Nr-Reale-Prin-Litere

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

(mai mult…)

Definiţie:Se numeşte expresie algebrică o succesiune de numere şi sau litere legate între ele prin operaţii aritmetice (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere).

Observaţii:

Expresia algebrică obţinută prin înmulţirea unui număr cu o literă se numeşte "termen al expresiei algebrice".

Exemplu: $7\cdot x$ , $4x$ , $2\cdot\sqrt{3}\cdot x$ , $3\cdot\sqrt{5}\cdot x - 9z ^{3}$ .

Numărul care apare în scrierea unui termen se numeşte "coeficientul termenului".

Literele care intră în componenţa unui termen alcătuiesc "partea literală".

Observaţie: Cu numerele reale reprezentate prin litere se pot efectua operaţii de:
adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere, ele având aceleşi proprietăţi ca şi la numere reale.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Definiţie:Se numesc termeni asemenea acei termeni care conţin aceeaşi parte literală la acelaşi exponent.

Adunarea şi scăderea cu termeni asemenea se numeşte "operaţia de reducere a termenilor asemenea".

"Operaţia de reducere a termenilor asemenea" este operaţia prin care se obţine un termen asemenea celor doi, iar coeficientul noului termen este obţinut prin efectuarea operaţiei indicate asupra celor doi termeni asemenea.

"Forma canonică" este expresia algebrică care nu conţine termeni asemenea

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

20
oct.
2016

Exerciții rezolvate la numere reale!

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Bine te-am regăsit dragul meu părinte! În articolul pe care l-am publicat luni pe blog am rezolvat trei exerciţii la lecţia mulţimea numerelor reale. Astăzi revin cu un nou articol în care mai explic pas cu pas doua exemple de exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat pentru a veni în ajutorul tău şi al copilului tău.

EXERCIŢIUL 1: Determinaţi elementele mulţimilor:

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$ şi $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

Rezolvare: Să aflăm întâi mulţimea A.

$A=\left \{ x\epsilon N|$ $\frac{15}{2x+1}\epsilon N \}$

Exerciţiul îmi cere să găsesc toate valorile numere naturale care îndeplinesc condiţia: $\frac{15}{2x+1}\epsilon N$ $\Rightarrow$ $2x+1 \epsilon D_{{15}}$ .

Numitorul 2x+1 trebuie să aparţină mulţimii divizorilor lui 15, deoarece împărţirea 15 la 2x+1 trebuie să fie o împărţire exactă, astfel încât rezultatul să aparţină mulţimii numerelor naturale.

$D_{{15}}=\left \{ 1,3,5,15 \right \}$

$2x+1=1 | -1 \Rightarrow 2x=1-1 \Rightarrow2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x+1=3 | -1 \Rightarrow 2x=3 -1 \Rightarrow 2x=2 | :2 \Rightarrow x=1$

$2x+1=5 | -1 \Rightarrow 2x=5 -1 \Rightarrow 2x=4 | :2 \Rightarrow x=2$

$2x+1=15 | -1 \Rightarrow 2x=15 -1 \Rightarrow 2x=14 | :2 \Rightarrow x=7$

Soluţie : $x \epsilon \left \{ 0, 1,2,7\right \}$ .

Determinăm şi mulţimea $B=\left \{ x\epsilon Z|$ $\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z \}.$

La această mulţime trebuie să prelucrăm numărătorul în funcţie de numitor, astfel încât să găsim mulţimea divizorilor unui număr întreg.

$\frac{3x+9}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x+18}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{6x-9+27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $\frac{3(2x-3)}{2x-3}+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ $3+\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$

Deoarece $3\epsilon Z$ , este suficient să demonstrez că $\frac{27}{2x-3}\epsilon Z$ $\Rightarrow$ ${2x-3}\epsilon D_{27}$

Deoarece sunt pe multimea Z, $\Rightarrow D_{27}=\left \{ \pm1, \pm3,\pm9, \pm27 \right \}$

$2x-3=1| +3 \Rightarrow 2x=1+3 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-3=-1| +3 \Rightarrow 2x=-1+3 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$

$2x-3=3| +3 \Rightarrow 2x=3+3 \Rightarrow 2x=6| :2 \Rightarrow x=3$

$2x-3=-3| +3 \Rightarrow 2x=-3+3 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$

$2x-3=9|+3 \Rightarrow 2x=9+3 \Rightarrow 2x=12| :2 \Rightarrow x=6$ $2x-3=-9|+3 \Rightarrow 2x=-9+3 \Rightarrow 2x=-6| :2 \Rightarrow x=-3$

$2x-3=27|+3 \Rightarrow 2x=27+3 \Rightarrow 2x=30| :2 \Rightarrow x=15$

$2x-3=-27|+3 \Rightarrow 2x=-27+3 \Rightarrow 2x=-24| :2 \Rightarrow x=-12$

Soluţie : $x\in \left \{ -12;-3;0;1;2;6;15 \right \}$

EXERCIŢIUL 2: Determinaţi $x\in Z$ pentru care $\frac{\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{52-14\sqrt{3}}}{2x-1}\in Z$

Rezolvare: Pentru a determina valorile pe care le poate lua x trebuie sa determinam numarătorul. Vom scrie cei doi radicali de la numărător cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat ca un număr la puterea a doua.

Astfel vom scrie $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$ , iar $\sqrt{52-14\sqrt{3}}=\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}$ .

Obţinem astfel: $\frac{\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}+\sqrt{(7-\sqrt{3})^2}}{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{\left \| 2+\sqrt{3} \right \|+\left \| 7-\sqrt{3} \right \|}{2x-1}\in Z$

Considerăm $\sqrt{3}\simeq 1,73$ obţinem: $2+ 1,73 =3,73$ şi $7-1,73 =5,27$

Deoarece $\left \| 2+\sqrt{3} \right \|$ şi $\left \| 7-\sqrt{3} \right \|$ sunt numere pozitive, sunt mai mari decît 0,ambele numere ies de sub modul cu sumnul +, adica $2+\sqrt{3}$ şi $7-\sqrt{3}$ .

Obţinem astfel: $\frac{ 2+\sqrt{3} +7-\sqrt{3} }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 2 +7 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $\frac{ 9 }{2x-1}\in Z$ $\Rightarrow$ $2x-1\in D_{9}$ .

$D_{9} =\left \{ \pm1;\pm3;\pm9 \right \}$ .

$2x-1=1| +1 \Rightarrow 2x=1 +1 \Rightarrow 2x=2| :2 \Rightarrow x=1$
$2x-1=-1| +1 \Rightarrow 2x=-1 +1 \Rightarrow 2x=0| :2 \Rightarrow x=0$

$2x-1=3| +1 \Rightarrow 2x=3 +1 \Rightarrow 2x=4| :2 \Rightarrow x=2$

$2x-1=-3| +1 \Rightarrow 2x=-3 +1 \Rightarrow 2x=-2| :2 \Rightarrow x=-1$

$2x-1=9| +1 \Rightarrow 2x=9 +1 \Rightarrow 2x=10| :2 \Rightarrow x=5$ $2x-1=-9| +1 \Rightarrow 2x=-9 +1 \Rightarrow 2x=-8| :2 \Rightarrow x=-4$

Soluţie: $x\in \left \{ -4;-1; 0; 1; 2; 5 \right \}$

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimite un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

Dacă ai în jurul tău un parinte sau un copil care are dificultăti în a înțelege matematica fă un gest frumos și invită-l să aprecieze pagina de Facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

17
oct.
2016

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Dragul meu părinte bine te-am regăsit!

În ultimul articol pe care l-am postat am vorbit despre multimea numerelor reale. Astăzi te invit să rezolvăm împreună câteva aplicaţii la această lecţie. Unele exerciţii au un grad de dificultate mai scăzut, iar unele au grad de dificultate ridicat. De aceea o să le explic pas cu pas, pentru a veni în ajutorul tuturor celor care nu înţeleg foarte bine matematica.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:Se dau următoarele fracţii: $\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{55}{1133}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{14}{2\cdot7}$ , $\frac{85}{15}$ , $\frac{35}{56}$ , $\frac{19}{72}$ , $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}$

Determinaţi din şirul de fracţii de mai sus fracţiile:

- ireductibile; subunitare;supraunitare;echiumitare.

Rezolvare: Observăm că unele fracţii pot fi simplificate aşa că mai întâi vom aduce şirul la forma cea mai simplă simplificând fracţiile care permit această operaţie:

$\frac{2}{6}^{(2}=\frac{1}{3}$ ; $\frac{55}{1133}^{(11}=\frac{5}{103}$ ; $\frac{3}{9}^{(3}=\frac{1}{3}$ ;

$\frac{14}{2\cdot7}=\frac{14}{14}^{(14}=\frac{1}{1}=1$ ; $\frac{85}{15}^{(5}=\frac{17}{3}$ ; $\frac{35}{56}^{(7}=\frac{5}{8}$ ; $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}=\frac{60}{60}^{(60}=1$

Obţinem astfel şirul: $\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{5}{103}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{8}{15}$ , $1$ , $\frac{17}{3}$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{19}{72}$ , $1.$

- fracţii ireductibile: (fracţii care nu se poate simplifica, numărătorul şi numitorul , sunt numere prime între ele):

$\frac{1}{2}$ , $\frac{61}{37}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{19}{72}$ .

-fracţii subunitare: (fracţii care au numărătorul mai mic decât numitorul):

$\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{55}{1133}$ , $\frac{4}{21}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{35}{56}$ , $\frac{19}{72}$

- fracţii supraunitare: (fracţii care au numărătorul mai mare decât numitorul):

$\frac{61}{37}$ ; $\frac{85}{15}$

- fracţii echiunitare: (fracţii care au numărătorul egal cu numitorul):

$\frac{14}{2\cdot7}$ ; $\frac{4\cdot3\cdot5}{60}$ .

EXERCIŢIUL 2: Amplificaţi fracţiile: $\frac{7}{15}$ , $\frac{3}{12}$ , $\frac{5}{16}$ , $\frac{3}{10}$ , $\frac{11}{24}$ , astfel încât să aibă acelaşi numitor comun.

Rezolvare: Determinăm numitorul comun calculând c.m.m.m.c (cel mai mic multiplu comun) al numerelor de la numitor.

Pentru a determina c.m.m.m.c-ul numitorilor trebuie sa desfacem în factori primi numerele după care luăm toate numerele prime o singură dată la puterea cea mai mare.

În concluzie putem scrie:

$15= 3\cdot5$

$12= 2^{2}\cdot3$

$16= 2^{4}$

$10= 2\cdot5$

$24= 2 ^{3}\cdot3$

$c.m.m.m.c= 2 ^{4}\cdot3\cdot5=16\cdot3\cdot5=240$ .

Pentru a ştii cu cât amplific fiecare fracţie impart 240 la numitor:Obţin astfel următoarele fracţii:

EXERCIŢIUL 3:Fie mulţimea $A= \left \{ (-2)^{2}\right \$ ; $(-3)^{-2}$ ; $\sqrt{0,09}$ ; $\sqrt{5\frac{5}{9}}$ ; $(-1)^{4}$ ; $\sqrt{18}$ ; $\sqrt{1\frac{2}{25}}$ ; $(-\frac{1}{{2}}) ^{-1}$ ; $\sqrt{5\frac{3}{9}}$ $\}$ .

Calculaţi: $A\bigcap_{}^{}N ; A\bigcap_{}^{}Z; A\bigcap_{}^{}Q; A\bigcap_{}^{}(Q\setminus Z); A\bigcap_{}^{}R; A\bigcap_{}^{}(R\setminus Q)$

Rezolvare: Observăm că trebuie să rescriem mulţimea efectuând calculele:

$(-2) ^{2}= 4$

$(-3) ^{-2}= \frac{1}{3 ^2}=\frac{1}{9}$

$\sqrt{0,09}= 0,3 =\frac{3}{10}$

$\sqrt{5\frac{5}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+5}{9}}}=\sqrt{\frac{50}{9}}}=\frac{5\sqrt2}{3}$

$(-1)^{4}= 1$

$\sqrt{18}= \sqrt{9\cdot2}=3 \sqrt{2}$

$\sqrt{1\frac{2}{25}}= \sqrt{\frac{1\cdot25+2}{25}}}=\sqrt{\frac{27}{25}}}=\frac{3\sqrt3}{5}$

$(-\frac{1}{2}) ^{-1}=(-2)$

$\sqrt{5\frac{3}{9}}= \sqrt{\frac{5\cdot9+3}{9}}}=\sqrt{\frac{48}{9}}}=\frac{4\sqrt3}{3}$

Obţinem astfel mulţimea: $A= \left \{ 4$ ; $\frac{1}{9}$ ; $\frac{3}{10}$ ; $\frac{5\sqrt{2}}{3}$ ; $1$ ; $3\sqrt{2}$ ; $\frac{3\sqrt{3}}{5}$ ; $(-2)$ ; $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ $\}$ .

$A\bigcap {N}= \left \{ 4;1 \right \}$

$A\bigcap {Z}= \left \{-2;1; 4 \right \}$

$A\bigcap {Q}= \left \{ 4;$ $\frac{1}{{9}}$ ; $\frac{3}{10}$ ; $1$ ; $(-2)$ $\}$

$A\bigcap(Q\setminus Z)=$ $\left \{ \frac{1}{9};\frac{3}{10} \right \}$

$A\bigcap {R}= A$

$A\bigcap {(R\setminus Q)}=$ $\left \{\frac{5\sqrt{2}}{3};3\sqrt{2};\frac{3\sqrt{3}}{5}; \frac{4\sqrt{3}}{3} \right \}$ .

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in noul an şcolar.

Dacă ţi-a plăcut articolul te invit sa distribui acest material şi să inviţi şi alţi părinţi să viziteze acest blog!

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

09
oct.
2016

Mulţimi de numere reale.

categories: Mulţimea Numerelor Reale

Dragul meu părinte, bine te-am regasăsit. Revin după o pauză cam lungă, cu un nou articol.
De data aceasta prima lecţie de algebră pentru clasa a VIII-a: “Mulţimi de numere reale”.

Alte articole la Numere Reale gasesti aici:

Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate

Reprezentarea pe Axă a Numerelor Reale. Aproximări!

Scoaterea si Introducerea factorilor sub Radical

Sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi faci temele pentru acasă la matematică.

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

26
iul.
2014

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

categories: Numere Naturale

Dragul meu părinte, în acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii cu un grad de dificultate mai ridicat, frecvent întâlnite la lecţia ”Adunarea şi Scăderea numerelor naturale”, având în vedere modul în care tu, părinte drag ar trebui te foloseşti de aceste informaţii şi să îi explici copilului tău aceste noţiuni.

(mai mult…)

EXERCIŢIUL 1:

Calculaţi suma: 1+2+3+4+.........................+80 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare unul complicat, însă nu este un exerciţiu greu.

La prima vedere, mulţi copii sunt tentaţi să piardă vremea făcând adunatea termen cu termen, însă aşa cum bine îti dai seama acest lucru este imposibil, iar dacă ar fii posibil ar necesita foarte mult timp de lucru. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să-l abandoneze.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

1+2+3+4+.........................+80 = ?

Din proprietăţile adunării pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

1+2+3+4+.........................+80 = ?

putem scrie:

1+80+2+79+3+78+4+77+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că adunarea este asociativă.Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

(1+80)+(2+79)+(3+78)+(4+77)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 81, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

81+81+81+81+...........= ?

Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 80 sunt 80 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 80:2 termeni, adică 40 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 40 de termeni de 81.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru 81 adunat de 40 de ori:

81+81+81+81+...........+81= ?

Adică putem scrie :

40 x 81=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 3240

RĂSPUNS CORECT: 3240

EXERCIŢIUL 2:

Calculaţi suma: 1+3+5+.........................+99= ?

Rezolvare:

Ca şi la exerciţiul anterior, acest exerciţiu este greu de calculat termen cu termen, asa că cea mai bună variantă este abordarea unei rezolvări utilizând proprietăţile matematicii:

1+3+5+.........................95+97+99= ?

Din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că aceasta este comutativă, adică putem schimba poziţia termenilor, rezultatul este acelaşi. Astfel în loc de:

1+3+5+.........................+95+97+99 = ?

putem scrie:

1+99+3+97+5+95+...........= ?

De asemenea, tot din proprietăţile adunării (pe care le-am enunţat la lecţia "Adunarea şi Scăderea numerelor naturale" ) ştim că adunarea este asociativă. Dacă aplicăm această proprietate a asociativităţii in exerciţiul nostru obţinem:

(1+99)+(3+97)+(5+95)+...........= ?

Observăm că rezultatul fiecărei paranteze este 100, astfel exerciţiul nostru se rezumă la:

100+100+100+...........= ?

Însă se pune problema câţi termeni avem în acest caz?

Ştim că între numărul natural 1 şi numărul natural 100 sunt 100 termenidintre care 50 sunt numere naturale pare, iar 50 sunt numere naturale impare.

În cazul acestui exerciţiu avem de calculat suma numerelor naturale impare cuprinse între numărul natural 1 şi numărul natural 100. În concluzie avem 50 termeni.

Grupaţi câte doi, obţinem un număr de 50:2 termeni, adică 25 termeni care se repetă.

În cazul nostru vom avea 25 de termeni de 100.

Astfel obţinem în exerciţiul nostru numărul natural 100 adunat de 25 de ori:

100+100+100+100+...........+100= ?

Adică putem scrie :

25 x 100=?

Făcând calculul înmulţirii obţinem: 2500

RĂSPUNS CORECT: 2500

EXERCIŢIUL 3:

Calculaţi suma: 3+6+9+12+.........................+2001 = ?

Rezolvare:

Dragul meu părinte, acest exerciţiu pare şi mai complicat faţă de cele oreyentate anterior deoarece avem de calculat mult mai multe numere, însă nu este un exerciţiu greu.

Dacă la exerciţiile anterioare era dificil de efectuat o adunare termen cu termen, în cazul acestui exerciţiu este aproape imposibil să abordezi o astfel de metoda a adunării termen cu termen. Pentru mulţi copii este mult mai simplu să abandoneze reuolvarea unui astfel de exerciţiu.

Dar să vedem cum îl putem rezolva împreună fără a pierde foarte mult timp cu calculele.

3+6+9+12+.........................+2001 = ?

După cum bine observi, dragul meu părinte, exerciţiul ne cere să adunăm termenii din 3 în 3, cuprinşi între numerele naturale 3 şi 2001.

Se pune problema câţi termeni numere naturale sunt între 3 şi 2001, număraţi din 3 în 3?

Pentru a afla răspunsul la acestă întrebare, îl împărţim pe 2001 la 3 si obţinem astfel:

2001 : 3 = 667 termeni.

Observăm că numărul natural 667 este un număr impar, acest lucru înseamnă că dacă vrem să grupam termenii 2 câte 2, obţinem 666 termeni pe care îi grupăm 2 câte 2 plus încă un termen.

667 : 2 = 333 termeni + 1 termen liber

Dar care este numărul natural care are rolul de termen liber?

Dacă încercăm să grupăm termenii 2 câte 2, obţinem:

3+6+9+12+.........................+1992+1995+1998+2001 = ?

3+2001+6+1998+9+1995+12+1992+...................= ?

(3+2001)+(6+1998)+(9+1995)+(12+1992)+...........+termenul liber = ?

Avem astfel 333 paranteze +termenul liber .termenul liber.

Observăm că rezultatul din fiecare paranteză este 2004.

Obţinem astfel 2004 adunat de 333 de ori + termenul liber .

2004+2004+2004+2004+.........................+termenul liber = ?

Adică:

333 x 2004 + termenul liber = ?

Însă, dragul meu părinte, problema se pune ce număr natural este termenul liber?

Pentru a afla termenul liber, împărţim:

2004 : 2 =1002

Obţinem astfel:

333 x 2004 + 1002= ?

Efectuând calculele obţinem:

667 332+ 1002= ?

668 334.

RĂSPUNS CORECT: 668 334

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi !

Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

02
apr.
2014

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale

categories: Numere Naturale, Uncategorized

"În acest articol voi explica pas cu pas câteva exerciţii frecvent întâlnite la lecţia Scrierea şi citirea numerelor naturale".

EXERCIŢIUL 1:

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{aa}$ .

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.

În acest caz rezultă că a = 9.

Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{aa}$ este 99.

Răspuns corect:

99

EXERCIŢIUL 2:

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma $\displaystyle \overline{abc}$ :

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.

În acest caz exerciţiul ne cere să aflăm cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ : rezultă că a=b=c=9.

Astfel obţinem că cel mai mare număr de forma $\displaystyle \overline{abc}$ este 999.

Răspuns corect:

999 999

EXERCIŢIUL 3 :

Aflaţi cel mai mare număr natural de forma : $\displaystyle \overline{abc}$ format din cifre distincte.

Rezolvare:

Cel mai mare număr natural format dintr-o cifră este 9.
Acest exerciţiu ne cere cel mai mare număr natural format din cifre distincte deci în acest caz .
În exerciţiul nostru, pentru ca numărul natural de forma să fie cel mai mare trebuie să aibă cifra sutelor egală cu 9.
a = Cifra Sutelor
b = Cifra Zecilor
c = Cifra Unităţi
În concluzie a = 9.
Dar ştim că $a\neq b\neq c$ .
În concluzie b şi c nu pot lua valoarea 9.
Dar ştim că 8 şi 7 sunt următoarele numere naturale cele mai mari după 9.
În concluzie cifra zecilor a numărului nostru trebuie să fie 8, deci b=8, iar cifra unităţilor să fie 7 rezultă că c = 7.
Astfel obţinem numărul 987.

Răspuns corect: 987

EXERCIŢIUL 4 :

Ø Scrieţi toate numerele naturale de forma $\displaystyle \overline{xyzt}$ cu condiţia ca $x+y=z+t=4$ cu x, z, y, t distincte.

Rezolvare:

Exerciţiul nostru, spune că x, y, z, t sunt distincte, deci $x\neq y\neq z\neq t$ şi că $\begin{array}{l}x+y=4\\z+t=4\end{array}$
Analizând această condiţie obţinem: $\begin{array}{l}0+4=4\\1+3=4\\3+1=4\\4+0=4\end{array}$
În concluzie numerele noastre x, y, z, t pot lua pe rând valorile 0, 1, 3, 4.
Şi acum să vedem ce variante avem:

VariantaVarianta 2Varianta 1: $\displaystyle x=0,\text{ }y=4,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul de forma : 0413 care nu respectă condiţia impusă de exerciţiul nostru pentru că numărul nostru trebuie să fie format din patru numere.

Varianta 2 : $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=1,\text{ }t=3.$

Obţinem numărul 4013

Varianta 3 : $\displaystyle x=4,\text{ }y=0,\text{ }z\text{ }=3,\text{ }t=1.$

Obţinem numărul 4031

Varianta 4 : $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 1304.

Varianta 5: $\displaystyle x=1,\text{ }y=3,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 1340.

Varianta 6 : $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=0,\text{ }t=4.$

Obţinem numărul 3104.

Varianta 7 : $\displaystyle x=3,\text{ }y=1,\text{ }z\text{ }=4,\text{ }t=0.$

Obţinem numărul 3140.

Răspuns corect: 1304, 1340, 3104, 3140, 4013, 4031

PS: Nu uita să te abonezi pentru a afla când postez lectii video și dă un share să afle și prietenii tăi!
Math More Easy - YouTube https:/

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Matematica Mai Usoara

Etichetă: capacitate 2017

Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Bine te-am regăsit dragul meu părinte. În articolul pe care l-am postat ieri pe blog am vorbit despre "adunarea şi scăderea numerelor reale reprezentate prin litere".

În articolul de azi am să îţi vorbesc despre înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor reale reprezentate prin litere.

Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere.Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Adunarea şi Scăderea numerelor reprezentate prin litere.

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să îţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul la temele pentru acasă la matematică.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:nistor_madalina2005@yahoo.com

De asemenea, te invit să apreciezi şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy.

Pe mine mă poţi găsi şi aici: https://www.facebook.com/alinamadalina.nistor dacă ai întrebări sau nevoie de ajutor.

Cu mare drag şi mult respect Alina Nistor!

Exerciții rezolvate la numere reale!

Exerciții Rezolvate la Numere Reale

Dragul meu părinte, sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi ajuţi copilul să se pregătească şi să aibă numai note bune in noul an şcolar.

Dacă ai întrebări sau comentarii le poţi lăsa aici în rubrica de comentarii sau îmi poti trimitre un e-mail la adresa:mathmoreeasy@yahoo.com

De asemenea, te invit şi pe pagina de facebook a blogului:

https://www.facebook.com/MathMoreEasy

Mulţimi de numere reale.

Alte articole la Numere Reale gasesti aici:

Sper din tot sufletul ca aceste informaţii să-ţi fie utile atunci când îţi faci temele pentru acasă la matematică.

Exerciții rezolvate la Adunarea Numerelor Naturale. Suma Gauss

PS: Dragul meu părinte, dacă vrei mai multe exemple rezolvate de exerciţii cu Suma Gauss descarcă Pdf-ul gratuit de aici:

Exerciții rezolvate la Scrierea și Citirea Numerelor Naturale